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Partielle Integration

Partielle Integration ist die Produktregel, rückwärts benutzt. Mit ihr integriert ihr Produkte wie $x \cdot cos x$ .

Ein Produkt integrieren

\int x \cdot cos x d x = ?

Naheliegend ist: jeden Faktor einzeln integrieren. Aus $x$ wird $\frac{1}{2} x^{2}$ , aus $cos x$ wird $sin x$ . Die Probe durch Ableiten braucht die Produktregel:

(\frac{1}{2} x^{2} \cdot sin x)^{'} = x \cdot sin x + \frac{1}{2} x^{2} \cdot cos x

Herausgekommen ist etwas anderes als $x \cdot cos x$ . Einzeln integrieren geht bei Produkten schief.

Die Produktregel selbst zeigt den Weg:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

Ihr zweiter Summand $u \cdot v^{'}$ hat genau die Gestalt von $x \cdot cos x$ :

x \cdot cos x = u x \cdot v^{'} cos x

Also ist $u = x$ und $v^{'} = cos x$ . Zu $v^{'} = cos x$ gehört $v = sin x$ , denn $(sin x)^{'} = cos x$ . Die Produktregel mit $u = x$ und $v = sin x$ :

(x \cdot sin x)^{'} = u^{'} \cdot v 1 \cdot sin x + u \cdot v^{'}, gesucht x \cdot cos x

Der gesuchte Summand steht da, dazu der Summand $1 \cdot sin x$ . Den zieht ihr ab:

x \cdot cos x = (x \cdot sin x)^{'} - 1 \cdot sin x

Jetzt beide Seiten integrieren. Aus $(x \cdot sin x)^{'}$ wird wieder $x \cdot sin x$ :

\int x \cdot cos x d x = x \cdot sin x - \int 1 \cdot sin x d x

Das Integral rechts kennt ihr: $\int sin x d x = - cos x$ . Sein Ergebnis kommt in Klammern, denn das Minus gilt für alles, was aus dem Integral kommt:

\int x \cdot cos x d x = x \cdot sin x - (- cos x) + c = x \cdot sin x + cos x + c

Probe: $F (x) = x \cdot sin x + cos x$

F^{'} (x) = 1 \cdot sin x + x \cdot cos x - sin x = x \cdot cos x ✓

Herleitung: die Formel

Dieselben drei Zeilen noch einmal, darunter jeweils allgemein mit $u$ und $v$ :

(x \cdot sin x)^{'} = 1 \cdot sin x + x \cdot cos x

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

x \cdot cos x = (x \cdot sin x)^{'} - 1 \cdot sin x

u \cdot v^{'} = (u \cdot v)^{'} - u^{'} \cdot v

\int x \cdot cos x d x = x \cdot sin x - \int 1 \cdot sin x d x

\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x

Merken: $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ . Ein Faktor wird abgeleitet ( $u$ ), der andere wird integriert ( $v^{'}$ ).

Das Integral rechts heißt Restintegral. Die Formel tauscht das Ausgangsintegral gegen dieses Restintegral. Fertig integriert ist dabei nur ein Teil, nämlich $u \cdot v$ . Daher der Name: partiell heißt teilweise.

Der Kasten

Die vier Terme $u$ , $u^{'}$ , $v$ und $v^{'}$ stehen in einem Kasten. Links stehen die Funktionen, rechts ihre Ableitungen:

u = x v = sin x ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = cos x

Für $v$ reicht eine Stammfunktion ohne $+ c$ . Das $c$ kommt am Ende einmal dazu.

Kasten der partiellen Integration für x·cos x mit u, u', v und v'

Die Skizze zeigt, wo jeder Term des Kastens in der Formel steht.

Welcher Faktor wird abgeleitet?

Die Formel geht auch andersherum: $u = cos x$ und $v^{'} = x$ .

u = cos x v = \frac{1}{2} x^{2} ableiten integrieren u^{'} = - sin x v^{'} = x

\int x \cdot cos x d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot cos x - \int (- sin x) \cdot \frac{1}{2} x^{2} d x

Im Restintegral steht jetzt $x^{2}$ . Es ist schwerer als das Ausgangsintegral. Die Wahl war schlecht.

Die Tabelle zeigt, was mit jedem Faktor beim Ableiten und beim Integrieren passiert:

Faktor	abgeleitet	integriert
$x$	$1$	$\frac{1}{2} x^{2}$
$3 x + 2$	$3$	$\frac{3}{2} x^{2} + 2 x$
$x^{2}$	$2 x$	$\frac{1}{3} x^{3}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$
$sin x$	$cos x$	$- cos x$
$cos x$	$- sin x$	$sin x$

Polynome wie $x$ , $3 x + 2$ oder $x^{2}$ werden beim Ableiten einfacher und beim Integrieren schwerer. $e^{x}$ , $sin x$ und $cos x$ werden in keiner Richtung schwerer.

Merken: Das Polynom wird abgeleitet ( $u$ ), der andere Faktor wird integriert ( $v^{'}$ ). So wird das Restintegral einfacher.

Schema: ein Produkt partiell integrieren

Das eben Gerechnete als allgemeines Vorgehen:

1. Rollen wählen: $u$ ist das Polynom, $v^{'}$ ist der andere Faktor. 2. Kasten füllen: $u$ ableiten, $v^{'}$ integrieren. 3. Einsetzen: $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ . 4. Restintegral ausrechnen, sein Ergebnis in Klammern hinter das Minus setzen. 5. $+ c$ anhängen. Probe durch Ableiten.

Beispiele

a) $\int x \cdot e^{x} d x$

u = x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = e^{x}

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - (e^{x}) + c

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + c

b) $\int x \cdot sin x d x$

u = x v = - cos x ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = sin x

\int x \cdot sin x d x = x \cdot (- cos x) - \int 1 \cdot (- cos x) d x = - x \cdot cos x - (- sin x) + c

\int x \cdot sin x d x = - x \cdot cos x + sin x + c

c) $\int e^{2 x} \cdot x d x$

u = x v = \frac{1}{2} e^{2 x} ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = e^{2 x}

\int e^{2 x} \cdot x d x = x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x \cdot e^{2 x} - (\frac{1}{4} e^{2 x}) + c

\int e^{2 x} \cdot x d x = \frac{1}{2} x \cdot e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + c

d) $\int (3 x + 2) \cdot cos x d x$

u = 3 x + 2 v = sin x ableiten integrieren u^{'} = 3 v^{'} = cos x

\int (3 x + 2) \cdot cos x d x = (3 x + 2) \cdot sin x - \int 3 \cdot sin x d x = (3 x + 2) \cdot sin x - (- 3 cos x) + c

\int (3 x + 2) \cdot cos x d x = (3 x + 2) \cdot sin x + 3 cos x + c

Jetzt ihr

\int (x + 1) \cdot e^{x} d x

Lösung

(x + 1) \cdot e^{x} - (e^{x}) + c = x \cdot e^{x} + c

. Probe:

(x \cdot e^{x})^{'} = e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) \cdot e^{x}

✓

Übungen: ein Schritt

Bestimmt die Integrale mit partieller Integration.

a) $\int x \cdot e^{3 x} d x$

b) $\int x \cdot cos (2 x) d x$

c) $\int (2 x - 1) \cdot e^{x} d x$

d) $\int sin x \cdot 4 x d x$

e) $\int x \cdot e^{- 2 x} d x$

f) $\int (5 - x) \cdot cos x d x$

Lösungen Schritt für Schritt: ein Schritt

a) $\int x \cdot e^{3 x} d x$

u = x v = \frac{1}{3} e^{3 x} ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = e^{3 x}

\int x \cdot e^{3 x} d x = x \cdot \frac{1}{3} e^{3 x} - \int 1 \cdot \frac{1}{3} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x \cdot e^{3 x} - (\frac{1}{9} e^{3 x}) + c

\int x \cdot e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x \cdot e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + c

b) $\int x \cdot cos (2 x) d x$

u = x v = \frac{1}{2} sin (2 x) ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = cos (2 x)

\int x \cdot cos (2 x) d x = x \cdot \frac{1}{2} sin (2 x) - \int 1 \cdot \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} x \cdot sin (2 x) - (- \frac{1}{4} cos (2 x)) + c

\int x \cdot cos (2 x) d x = \frac{1}{2} x \cdot sin (2 x) + \frac{1}{4} cos (2 x) + c

c) $\int (2 x - 1) \cdot e^{x} d x$

u = 2 x - 1 v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 v^{'} = e^{x}

\int (2 x - 1) \cdot e^{x} d x = (2 x - 1) \cdot e^{x} - \int 2 \cdot e^{x} d x = (2 x - 1) \cdot e^{x} - (2 e^{x}) + c

\int (2 x - 1) \cdot e^{x} d x = (2 x - 3) \cdot e^{x} + c

d) $\int sin x \cdot 4 x d x$

u = 4 x v = - cos x ableiten integrieren u^{'} = 4 v^{'} = sin x

\int sin x \cdot 4 x d x = 4 x \cdot (- cos x) - \int 4 \cdot (- cos x) d x = - 4 x \cdot cos x - (- 4 sin x) + c

\int sin x \cdot 4 x d x = - 4 x \cdot cos x + 4 sin x + c

e) $\int x \cdot e^{- 2 x} d x$

u = x v = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = e^{- 2 x}

\int x \cdot e^{- 2 x} d x = x \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int 1 \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = - \frac{1}{2} x \cdot e^{- 2 x} - (\frac{1}{4} e^{- 2 x}) + c

\int x \cdot e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x \cdot e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + c

f) $\int (5 - x) \cdot cos x d x$

u = 5 - x v = sin x ableiten integrieren u^{'} = - 1 v^{'} = cos x

\int (5 - x) \cdot cos x d x = (5 - x) \cdot sin x - \int (- 1) \cdot sin x d x = (5 - x) \cdot sin x - (cos x) + c

\int (5 - x) \cdot cos x d x = (5 - x) \cdot sin x - cos x + c

Theorie: warum bei $v$ kein $+c$ steht

Nehmt beim Integral $\int x \cdot cos x d x$ für $v$ die Stammfunktion $sin x + k$ mit einer beliebigen Zahl $k$ :

\int x \cdot cos x d x = x \cdot (sin x + k) - \int 1 \cdot (sin x + k) d x

= x \cdot sin x + k \cdot x - (- cos x + k \cdot x) = x \cdot sin x + cos x

$+ k \cdot x$ und $- k \cdot x$ heben sich weg. Jede Stammfunktion als $v$ liefert dasselbe Ergebnis. Darum nehmt ihr die einfachste und schreibt $c$ einmal ans Ende.

Zwei Schritte hintereinander

Jeder Schritt macht das Polynom um einen Grad kleiner. Bei $x^{2}$ braucht ihr deshalb zwei Schritte.

\int x^{2} \cdot e^{x} d x

Schritt 1:

u = x^{2} v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = e^{x}

\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x

Das Restintegral ist wieder ein Produkt. Aus $x^{2}$ ist aber $2 x$ geworden.

Schritt 2: dieselbe Wahl, das Polynom $2 x$ wird abgeleitet.

u = 2 x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 v^{'} = e^{x}

\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - (2 e^{x})

Einsetzen: Das Ergebnis von Schritt 2 kommt als Ganzes in die Klammer hinter das Minus:

\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 e^{x}) + c = x^{2} \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{x} + 2 e^{x} + c

\int x^{2} \cdot e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) \cdot e^{x} + c

Das Polynom schrumpft von Schritt zu Schritt:

\int x^{2} \cdot e^{x} d x Schritt 1 \int 2 x \cdot e^{x} d x Schritt 2 \int 2 \cdot e^{x} d x

Nach zwei Schritten ist vom Polynom nur die Zahl $2$ übrig. Bei $x^{3}$ wären es drei Schritte.

Merken: So viele Schritte, wie der Grad des Polynoms angibt. In jedem Schritt dieselbe Wahl.

Beispiele

a) $\int x^{2} \cdot cos x d x$

Schritt 1:

u = x^{2} v = sin x ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = cos x

\int x^{2} \cdot cos x d x = x^{2} \cdot sin x - \int 2 x \cdot sin x d x

Schritt 2:

u = 2 x v = - cos x ableiten integrieren u^{'} = 2 v^{'} = sin x

\int 2 x \cdot sin x d x = 2 x \cdot (- cos x) - \int 2 \cdot (- cos x) d x = - 2 x \cdot cos x - (- 2 sin x) = - 2 x \cdot cos x + 2 sin x

Einsetzen:

\int x^{2} \cdot cos x d x = x^{2} \cdot sin x - (- 2 x \cdot cos x + 2 sin x) + c

\int x^{2} \cdot cos x d x = x^{2} \cdot sin x + 2 x \cdot cos x - 2 sin x + c

b) $\int x^{2} \cdot e^{2 x} d x$

Schritt 1:

u = x^{2} v = \frac{1}{2} e^{2 x} ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = e^{2 x}

\int x^{2} \cdot e^{2 x} d x = x^{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int 2 x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot e^{2 x} - \int x \cdot e^{2 x} d x

Schritt 2:

u = x v = \frac{1}{2} e^{2 x} ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = e^{2 x}

\int x \cdot e^{2 x} d x = x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x \cdot e^{2 x} - (\frac{1}{4} e^{2 x})

Einsetzen:

\int x^{2} \cdot e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot e^{2 x} - (\frac{1}{2} x \cdot e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + c

\int x^{2} \cdot e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot e^{2 x} - \frac{1}{2} x \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + c

Jetzt ihr

\int x^{2} \cdot sin x d x

Lösung

- x^{2} \cdot cos x + 2 x \cdot sin x + 2 cos x + c

Übungen: zwei und mehr Schritte

Bestimmt die Integrale mit partieller Integration.

a) $\int x^{2} \cdot e^{- x} d x$

b) $\int (x^{2} + 1) \cdot e^{x} d x$

c) $\int x^{2} \cdot cos (2 x) d x$

d) $\int x^{3} \cdot e^{x} d x$

Lösungen Schritt für Schritt: zwei und mehr Schritte

a) $\int x^{2} \cdot e^{- x} d x$

Schritt 1:

u = x^{2} v = - e^{- x} ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = e^{- x}

\int x^{2} \cdot e^{- x} d x = x^{2} \cdot (- e^{- x}) - \int 2 x \cdot (- e^{- x}) d x = - x^{2} \cdot e^{- x} + \int 2 x \cdot e^{- x} d x

Schritt 2:

u = 2 x v = - e^{- x} ableiten integrieren u^{'} = 2 v^{'} = e^{- x}

\int 2 x \cdot e^{- x} d x = 2 x \cdot (- e^{- x}) - \int 2 \cdot (- e^{- x}) d x = - 2 x \cdot e^{- x} - (2 e^{- x})

Einsetzen:

\int x^{2} \cdot e^{- x} d x = - x^{2} \cdot e^{- x} + (- 2 x \cdot e^{- x} - 2 e^{- x}) + c

\int x^{2} \cdot e^{- x} d x = - (x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{- x} + c

b) $\int (x^{2} + 1) \cdot e^{x} d x$

Schritt 1:

u = x^{2} + 1 v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = e^{x}

\int (x^{2} + 1) \cdot e^{x} d x = (x^{2} + 1) \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x

Schritt 2:

u = 2 x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 v^{'} = e^{x}

\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - (2 e^{x})

Einsetzen:

\int (x^{2} + 1) \cdot e^{x} d x = (x^{2} + 1) \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 e^{x}) + c

\int (x^{2} + 1) \cdot e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 3) \cdot e^{x} + c

c) $\int x^{2} \cdot cos (2 x) d x$

Schritt 1:

u = x^{2} v = \frac{1}{2} sin (2 x) ableiten integrieren u^{'} = 2 x v^{'} = cos (2 x)

\int x^{2} \cdot cos (2 x) d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot sin (2 x) - \int 2 x \cdot \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot sin (2 x) - \int x \cdot sin (2 x) d x

Schritt 2:

u = x v = - \frac{1}{2} cos (2 x) ableiten integrieren u^{'} = 1 v^{'} = sin (2 x)

\int x \cdot sin (2 x) d x = - \frac{1}{2} x \cdot cos (2 x) - \int 1 \cdot (- \frac{1}{2} cos (2 x)) d x = - \frac{1}{2} x \cdot cos (2 x) - (- \frac{1}{4} sin (2 x))

Einsetzen:

\int x^{2} \cdot cos (2 x) d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cdot cos (2 x) + \frac{1}{4} sin (2 x)) + c

\int x^{2} \cdot cos (2 x) d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot sin (2 x) + \frac{1}{2} x \cdot cos (2 x) - \frac{1}{4} sin (2 x) + c

d) $\int x^{3} \cdot e^{x} d x$

Schritt 1:

u = x^{3} v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 3 x^{2} v^{'} = e^{x}

\int x^{3} \cdot e^{x} d x = x^{3} \cdot e^{x} - \int 3 x^{2} \cdot e^{x} d x

Schritt 2:

u = 3 x^{2} v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 6 x v^{'} = e^{x}

\int 3 x^{2} \cdot e^{x} d x = 3 x^{2} \cdot e^{x} - \int 6 x \cdot e^{x} d x

Schritt 3:

u = 6 x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 6 v^{'} = e^{x}

\int 6 x \cdot e^{x} d x = 6 x \cdot e^{x} - \int 6 \cdot e^{x} d x = 6 x \cdot e^{x} - (6 e^{x})

Einsetzen, von innen nach außen:

\int 3 x^{2} \cdot e^{x} d x = 3 x^{2} \cdot e^{x} - (6 x \cdot e^{x} - 6 e^{x}) = 3 x^{2} \cdot e^{x} - 6 x \cdot e^{x} + 6 e^{x}

\int x^{3} \cdot e^{x} d x = x^{3} \cdot e^{x} - (3 x^{2} \cdot e^{x} - 6 x \cdot e^{x} + 6 e^{x}) + c

\int x^{3} \cdot e^{x} d x = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6) \cdot e^{x} + c

ln x integrieren: der Faktor 1

Eine einzelne Funktion wird zum Produkt, wenn ihr sie mit $1$ multipliziert. So lässt sich auch $ln x$ partiell integrieren.

\int ln x d x = ?

Zu $ln x$ kennt ihr keine Stammfunktion. Die Ableitung kennt ihr: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ . Also wird $ln x$ abgeleitet, und der Faktor $1$ wird integriert:

\int ln x d x = \int 1 \cdot ln x d x

u = ln x v = x ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = 1

\int 1 \cdot ln x d x = x \cdot ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x \cdot ln x - \int 1 d x = x \cdot ln x - (x) + c

\int ln x d x = x \cdot ln x - x + c

Probe: $F (x) = x \cdot ln x - x$

F^{'} (x) = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x ✓

Hier steht $ln x$ ohne Betrag, denn $ln x$ gibt es nur für $x > 0$ .

Die Tabelle der Faktoren bekommt zwei neue Zeilen:

Faktor	abgeleitet	integriert
$1$	$0$	$x$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$x \cdot ln x - x$

Abgeleitet verschwindet der Logarithmus. Integriert bleibt er stehen.

Merken: $ln x$ wird immer abgeleitet ( $u = ln x$ ), auch neben einem Polynom.

Beispiele

a) $\int x \cdot ln x d x$

u = ln x v = \frac{1}{2} x^{2} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x

\int x \cdot ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - \int \frac{1}{2} x d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - (\frac{1}{4} x^{2}) + c

\int x \cdot ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - \frac{1}{4} x^{2} + c

b) $\int x^{2} \cdot ln x d x$

u = ln x v = \frac{1}{3} x^{3} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x^{2}

\int x^{2} \cdot ln x d x = \frac{1}{3} x^{3} \cdot ln x - \int \frac{1}{3} x^{3} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{3} x^{3} \cdot ln x - \int \frac{1}{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} \cdot ln x - (\frac{1}{9} x^{3}) + c

\int x^{2} \cdot ln x d x = \frac{1}{3} x^{3} \cdot ln x - \frac{1}{9} x^{3} + c

c) $\int \frac{l n x}{x ^{2}} d x = \int x^{- 2} \cdot ln x d x$

u = ln x v = - x^{- 1} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x^{- 2}

\int x^{- 2} \cdot ln x d x = - x^{- 1} \cdot ln x - \int (- x^{- 1}) \cdot \frac{1}{x} d x = - x^{- 1} \cdot ln x - \int (- x^{- 2}) d x = - x^{- 1} \cdot ln x - (x^{- 1}) + c

\int \frac{ln x}{x ^{2}} d x = - \frac{1}{x} \cdot ln x - \frac{1}{x} + c

Jetzt ihr

\int x^{3} \cdot ln x d x

Lösung

\frac{1}{4} x^{4} \cdot ln x - \frac{1}{16} x^{4} + c

Übungen: ln x mal Potenz

Bestimmt die Integrale mit partieller Integration.

a) $\int x \cdot ln x d x$

b) $\int (x + 1) \cdot ln x d x$

c) $\int \frac{l n x}{x ^{3}} d x$

d) $\int x^{4} \cdot ln x d x$

Lösungen Schritt für Schritt: ln x mal Potenz

a) $\int x \cdot ln x d x = \int x^{\frac{1}{2}} \cdot ln x d x$

u = ln x v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x^{\frac{1}{2}}

\int x^{\frac{1}{2}} \cdot ln x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot ln x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot ln x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot ln x - (\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + c

\int x \cdot ln x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + c

b) $\int (x + 1) \cdot ln x d x$

u = ln x v = \frac{1}{2} x^{2} + x ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x + 1

\int (x + 1) \cdot ln x d x = (\frac{1}{2} x^{2} + x) \cdot ln x - \int (\frac{1}{2} x^{2} + x) \cdot \frac{1}{x} d x = (\frac{1}{2} x^{2} + x) \cdot ln x - \int (\frac{1}{2} x + 1) d x

= (\frac{1}{2} x^{2} + x) \cdot ln x - (\frac{1}{4} x^{2} + x) + c

\int (x + 1) \cdot ln x d x = (\frac{1}{2} x^{2} + x) \cdot ln x - \frac{1}{4} x^{2} - x + c

c) $\int \frac{l n x}{x ^{3}} d x = \int x^{- 3} \cdot ln x d x$

u = ln x v = - \frac{1}{2} x^{- 2} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x^{- 3}

\int x^{- 3} \cdot ln x d x = - \frac{1}{2} x^{- 2} \cdot ln x - \int (- \frac{1}{2} x^{- 2}) \cdot \frac{1}{x} d x = - \frac{1}{2} x^{- 2} \cdot ln x - \int (- \frac{1}{2} x^{- 3}) d x

= - \frac{1}{2} x^{- 2} \cdot ln x - (\frac{1}{4} x^{- 2}) + c

\int \frac{ln x}{x ^{3}} d x = - \frac{ln x}{2 x ^{2}} - \frac{1}{4 x ^{2}} + c

d) $\int x^{4} \cdot ln x d x$

u = ln x v = \frac{1}{5} x^{5} ableiten integrieren u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x^{4}

\int x^{4} \cdot ln x d x = \frac{1}{5} x^{5} \cdot ln x - \int \frac{1}{5} x^{5} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{5} x^{5} \cdot ln x - \int \frac{1}{5} x^{4} d x = \frac{1}{5} x^{5} \cdot ln x - (\frac{1}{25} x^{5}) + c

\int x^{4} \cdot ln x d x = \frac{1}{5} x^{5} \cdot ln x - \frac{1}{25} x^{5} + c

Das Integral kommt wieder

Manchmal steht nach zwei Schritten das Integral wieder da, mit dem ihr angefangen habt.

\int e^{x} \cdot sin x d x

Hier gibt es kein Polynom, und keiner der beiden Faktoren wird beim Ableiten einfacher: $e^{x}$ bleibt $e^{x}$ , aus $sin x$ wird $cos x$ , dann $- sin x$ . Die Wahl ist also frei. Hier wird $sin x$ abgeleitet und $e^{x}$ integriert, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = sin x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = cos x v^{'} = e^{x}

\int e^{x} \cdot sin x d x = e^{x} \cdot sin x - \int e^{x} \cdot cos x d x

Schritt 2:

u = cos x v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = - sin x v^{'} = e^{x}

\int e^{x} \cdot cos x d x = e^{x} \cdot cos x - \int e^{x} \cdot (- sin x) d x = e^{x} \cdot cos x + \int e^{x} \cdot sin x d x

Einsetzen:

\int e^{x} \cdot sin x d x = e^{x} \cdot sin x - (e^{x} \cdot cos x + \int e^{x} \cdot sin x d x)

\int e^{x} \cdot sin x d x = e^{x} \cdot sin x - e^{x} \cdot cos x - \int e^{x} \cdot sin x d x

Das Ausgangsintegral steht auf beiden Seiten. Gebt ihm einen Namen, $I$ , und löst die Gleichung nach $I$ auf wie nach einer Unbekannten:

I 2 I I = e^{x} \cdot sin x - e^{x} \cdot cos x - I = e^{x} \cdot sin x - e^{x} \cdot cos x = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (sin x - cos x) ∣ + I ∣: 2

\int e^{x} \cdot sin x d x = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (sin x - cos x) + c

Probe: $F (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (sin x - cos x)$

F^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (sin x - cos x) + \frac{1}{2} e^{x} \cdot (cos x + sin x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot 2 sin x = e^{x} \cdot sin x ✓

Merken: Steht das Ausgangsintegral wieder da, nennt es $I$ und löst die Gleichung nach $I$ auf. Das $+ c$ kommt nach dem Auflösen.

Im zweiten Schritt andersherum?

Tauscht ihr im zweiten Schritt die Rollen, also $u = e^{x}$ und $v^{'} = cos x$ , dann entsteht:

\int e^{x} \cdot cos x d x = e^{x} \cdot sin x - \int e^{x} \cdot sin x d x = e^{x} \cdot sin x - I

Eingesetzt in Schritt 1:

I = e^{x} \cdot sin x - (e^{x} \cdot sin x - I) = I

$I = I$ stimmt immer und sagt nichts. Der zweite Schritt hat den ersten rückgängig gemacht.

Merken: Im zweiten Schritt dieselbe Wahl wie im ersten.

Beispiele

a) $I = \int e^{x} \cdot cos x d x$ , Wahl: $e^{x}$ wird abgeleitet, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = e^{x} v = sin x ableiten integrieren u^{'} = e^{x} v^{'} = cos x

I = e^{x} \cdot sin x - \int e^{x} \cdot sin x d x

Schritt 2:

u = e^{x} v = - cos x ableiten integrieren u^{'} = e^{x} v^{'} = sin x

\int e^{x} \cdot sin x d x = e^{x} \cdot (- cos x) - \int e^{x} \cdot (- cos x) d x = - e^{x} \cdot cos x + I

Einsetzen und auflösen:

I 2 I = e^{x} \cdot sin x - (- e^{x} \cdot cos x + I) = e^{x} \cdot sin x + e^{x} \cdot cos x - I = e^{x} \cdot (sin x + cos x) ∣ + I ∣: 2

\int e^{x} \cdot cos x d x = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (sin x + cos x) + c

b) $I = \int sin x \cdot cos x d x$ , Wahl: $sin x$ wird abgeleitet.

u = sin x v = sin x ableiten integrieren u^{'} = cos x v^{'} = cos x

I = sin x \cdot sin x - \int cos x \cdot sin x d x = (sin x)^{2} - I

Hier ist das Integral schon nach einem Schritt wieder da:

I 2 I = (sin x)^{2} - I = (sin x)^{2} ∣ + I ∣: 2

\int sin x \cdot cos x d x = \frac{1}{2} (sin x)^{2} + c

c) $I = \int e^{2 x} \cdot sin x d x$ , Wahl: $sin x$ wird abgeleitet, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = sin x v = \frac{1}{2} e^{2 x} ableiten integrieren u^{'} = cos x v^{'} = e^{2 x}

I = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot sin x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} \cdot cos x d x

Schritt 2:

u = cos x v = \frac{1}{2} e^{2 x} ableiten integrieren u^{'} = - sin x v^{'} = e^{2 x}

\int e^{2 x} \cdot cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot cos x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot (- sin x) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot cos x + \frac{1}{2} I

Einsetzen und auflösen:

I \frac{5}{4} I I = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot sin x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} \cdot cos x + \frac{1}{2} I) = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot cos x - \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot cos x = \frac{2}{5} e^{2 x} \cdot sin x - \frac{1}{5} e^{2 x} \cdot cos x ∣ + \frac{1}{4} I ∣ \cdot \frac{4}{5}

\int e^{2 x} \cdot sin x d x = \frac{1}{5} e^{2 x} \cdot (2 sin x - cos x) + c

Jetzt ihr

\int e^{- x} \cdot cos x d x

Lösung

\frac{1}{2} e^{- x} \cdot (sin x - cos x) + c

Übungen: das Integral kommt wieder

Bestimmt die Integrale mit partieller Integration.

a) $\int e^{- x} \cdot sin x d x$

b) $\int e^{3 x} \cdot cos x d x$

c) $\int e^{x} \cdot sin (2 x) d x$

Lösungen Schritt für Schritt: das Integral kommt wieder

a) $I = \int e^{- x} \cdot sin x d x$ , Wahl: $sin x$ wird abgeleitet, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = sin x v = - e^{- x} ableiten integrieren u^{'} = cos x v^{'} = e^{- x}

I = - e^{- x} \cdot sin x - \int (- e^{- x}) \cdot cos x d x = - e^{- x} \cdot sin x + \int e^{- x} \cdot cos x d x

Schritt 2:

u = cos x v = - e^{- x} ableiten integrieren u^{'} = - sin x v^{'} = e^{- x}

\int e^{- x} \cdot cos x d x = - e^{- x} \cdot cos x - \int (- e^{- x}) \cdot (- sin x) d x = - e^{- x} \cdot cos x - I

Einsetzen und auflösen:

I 2 I = - e^{- x} \cdot sin x + (- e^{- x} \cdot cos x - I) = - e^{- x} \cdot sin x - e^{- x} \cdot cos x - I = - e^{- x} \cdot (sin x + cos x) ∣ + I ∣: 2

\int e^{- x} \cdot sin x d x = - \frac{1}{2} e^{- x} \cdot (sin x + cos x) + c

b) $I = \int e^{3 x} \cdot cos x d x$ , Wahl: $cos x$ wird abgeleitet, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = cos x v = \frac{1}{3} e^{3 x} ableiten integrieren u^{'} = - sin x v^{'} = e^{3 x}

I = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x - \int \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot (- sin x) d x = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x + \frac{1}{3} \int e^{3 x} \cdot sin x d x

Schritt 2:

u = sin x v = \frac{1}{3} e^{3 x} ableiten integrieren u^{'} = cos x v^{'} = e^{3 x}

\int e^{3 x} \cdot sin x d x = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot sin x - \int \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x d x = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot sin x - \frac{1}{3} I

Einsetzen und auflösen:

I \frac{10}{9} I I = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3 x} \cdot sin x - \frac{1}{3} I) = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x + \frac{1}{9} e^{3 x} \cdot sin x - \frac{1}{9} I = \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot cos x + \frac{1}{9} e^{3 x} \cdot sin x = \frac{3}{10} e^{3 x} \cdot cos x + \frac{1}{10} e^{3 x} \cdot sin x ∣ + \frac{1}{9} I ∣ \cdot \frac{9}{10}

\int e^{3 x} \cdot cos x d x = \frac{1}{10} e^{3 x} \cdot (sin x + 3 cos x) + c

c) $I = \int e^{x} \cdot sin (2 x) d x$ , Wahl: $sin (2 x)$ wird abgeleitet, in beiden Schritten.

Schritt 1:

u = sin (2 x) v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = 2 cos (2 x) v^{'} = e^{x}

I = e^{x} \cdot sin (2 x) - \int e^{x} \cdot 2 cos (2 x) d x = e^{x} \cdot sin (2 x) - 2 \int e^{x} \cdot cos (2 x) d x

Schritt 2:

u = cos (2 x) v = e^{x} ableiten integrieren u^{'} = - 2 sin (2 x) v^{'} = e^{x}

\int e^{x} \cdot cos (2 x) d x = e^{x} \cdot cos (2 x) - \int e^{x} \cdot (- 2 sin (2 x)) d x = e^{x} \cdot cos (2 x) + 2 I

Einsetzen und auflösen:

I 5 I = e^{x} \cdot sin (2 x) - 2 (e^{x} \cdot cos (2 x) + 2 I) = e^{x} \cdot sin (2 x) - 2 e^{x} \cdot cos (2 x) - 4 I = e^{x} \cdot sin (2 x) - 2 e^{x} \cdot cos (2 x) ∣ + 4 I ∣: 5

\int e^{x} \cdot sin (2 x) d x = \frac{1}{5} e^{x} \cdot (sin (2 x) - 2 cos (2 x)) + c

Schema: ein Produkt integrieren

Alle Fälle dieses Kapitels in einem Vorgehen:

1. Umformen, wenn es geht. Ausmultiplizieren oder ein Potenzgesetz macht manches Produkt zu einer Summe oder zu einer einzigen Potenz. Dann reichen die bekannten Regeln: - $\int x \cdot (x^{2} + 1) d x = \int (x^{3} + x) d x = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + c$ - $\int e^{x} \cdot e^{2 x} d x = \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + c$ 2. Rollen wählen: $ln x$ ist immer $u$ . Sonst ist das Polynom $u$ . Ohne Polynom ( $e$ mal $sin$ oder $cos$ ) ist die Wahl frei, und sie bleibt im zweiten Schritt gleich. 3. Kasten füllen und einsetzen: $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ . 4. Restintegral ausrechnen und sein Ergebnis in Klammern hinter das Minus setzen: - ein bekanntes Integral: ausrechnen, fertig. - wieder ein Produkt, das Polynom einen Grad kleiner: noch ein Schritt mit derselben Wahl. - das Ausgangsintegral ist wieder da: $I$ nennen, Gleichung nach $I$ auflösen. - schwerer als vorher: die andere Wahl probieren. Wird es mit beiden Wahlen schwerer, hilft partielle Integration hier nicht. 5. $+ c$ anhängen. Probe durch Ableiten.