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Flächenberechnungen

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Ein Flächeninhalt zählt jedes Flächenstück positiv, auch die Stücke unter der x-Achse. Das Integral zählt die Stücke unter der x-Achse negativ.

Zum Beispiel: Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f (x) = 2 x - 4$ und der x-Achse von $x = 0$ bis $x = 4$ ?

Gerade f(x) = 2x − 4 mit zwei Dreiecken A₁ und A₂ von 0 bis 4

Die Fläche besteht aus zwei Dreiecken, jedes 2 breit und 4 hoch:

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 A_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4

Zusammen sind das $A = 4 + 4 = 8$ FE (Flächeneinheiten; 1 FE ist ein Kästchen, 1 breit und 1 hoch).

Und das Integral von 0 bis 4?

\int_{0}^{4} (2 x - 4) d x = [x^{2} - 4 x]_{0}^{4} = (16 - 16) - (0 - 0) = 0

Das Integral ist 0. Die Fläche ist 8 FE.

Nullstelle: $2 x - 4 = 0$ , also $x = 2$ . Dort wechselt der Graph die Seite. Wir teilen bei 2 und integrieren jedes Stück für sich:

\int_{0}^{2} (2 x - 4) d x = [x^{2} - 4 x]_{0}^{2} = (4 - 8) - (0 - 0) = - 4

\int_{2}^{4} (2 x - 4) d x = [x^{2} - 4 x]_{2}^{4} = (16 - 16) - (4 - 8) = 4

	Stück von 0 bis 2 (unter der x-Achse)	Stück von 2 bis 4 (über der x-Achse)	zusammen
Integral	$- 4$	$4$	$- 4 + 4 = 0$
Flächeninhalt	$4$	$4$	$4 + 4 = 8$

Das Minus sagt nur: Dieses Stück liegt unter der x-Achse. Der Betrag macht aus jedem Teilintegral (dem Integral über ein Stück) seinen Flächeninhalt:

A = \int_{0}^{2} (2 x - 4) d x + \int_{2}^{4} (2 x - 4) d x = ∣ - 4∣ + ∣4∣ = 4 + 4 = 8

Welche Zahl gilt? Das sagt die Aufgabe:

Aufgabe	Antwort
„Berechne das Integral von 0 bis 4."	$0$
„Berechne den Flächeninhalt von 0 bis 4."	$8$ FE

Bei einer Geraden reichen Dreiecke. Bei einer Kurve rechnet nur das Integral. Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f (x) = x^{2} - 4$ und der x-Achse von $x = 0$ bis $x = 3$ ?

Parabel x² − 4 von 0 bis 3: Stück A₁ unter, Stück A₂ über der x-Achse

Nullstellen: $x^{2} - 4 = 0$ , also $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 2$ . Zwischen 0 und 3 liegt nur $x_{2} = 2$ .

Stammfunktion: $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ . Ihre Werte an den Grenzen der Stücke:

F (0) = 0 F (2) = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3} F (3) = 9 - 12 = - 3

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = - \frac{16}{3} - 0 = - \frac{16}{3}$	$\frac{16}{3}$
von 2 bis 3	$F (3) - F (2) = - 3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$	$\frac{7}{3}$

A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7, 67

Die Fläche ist etwa 7,67 FE groß. Das Integral über das ganze Intervall ist $F (3) - F (0) = - 3$ .

Schema: So wird der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse auf einem Intervall von a bis b berechnet, allgemein für jede Funktion.

1. Nullstellen von f bestimmen: $f (x) = 0$ lösen. 2. Nur die Nullstellen zwischen a und b behalten. Sie teilen das Intervall in Stücke. 3. Stammfunktion F bilden und für jedes Stück das Teilintegral $F (rechts) - F (links)$ berechnen. 4. Die Beträge der Teilintegrale addieren. 5. Antwort mit Einheit: $A = \dots$ FE.

Merken: An jeder Nullstelle im Intervall teilen. Jedes Teilintegral bekommt seinen eigenen Betrag. Die Beträge addieren.

Weitere Beispiele:

Fünf Beispiele a) bis e): Flächenstücke über und unter der x-Achse

a) $f (x) = x^{2} + 1$ von 0 bis 3. Nullstellen: keine, $x^{2} + 1$ ist immer positiv. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x$ mit $F (0) = 0$ und $F (3) = 9 + 3 = 12$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$F (3) - F (0) = 12 - 0 = 12$	$12$

$A = 12$ FE

b) $f (x) = x^{2} - 9$ von 0 bis 3. Nullstellen: $- 3$ und $3$ . Keine liegt zwischen 0 und 3, denn 3 ist der Rand. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ mit $F (0) = 0$ und $F (3) = 9 - 27 = - 18$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$F (3) - F (0) = - 18 - 0 = - 18$	$18$

$A = 18$ FE

c) $f (x) = x^{3}$ von $- 1$ bis 2. Nullstelle: 0. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4}$ mit $F (- 1) = \frac{1}{4}$ , $F (0) = 0$ und $F (2) = 4$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$F (0) - F (- 1) = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = 4 - 0 = 4$	$4$

$A = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$ FE

d) $f (x) = x^{3} - 4 x$ von $- 1$ bis 3. Nullstellen: $x (x^{2} - 4) = 0$ , also $- 2$ , 0 und 2. Zwischen $- 1$ und 3 liegen 0 und 2. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ mit

F (- 1) = \frac{1}{4} - 2 = - \frac{7}{4} F (0) = 0 F (2) = 4 - 8 = - 4 F (3) = \frac{81}{4} - 18 = \frac{9}{4}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$F (0) - F (- 1) = 0 + \frac{7}{4} = \frac{7}{4}$	$\frac{7}{4}$
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = - 4 - 0 = - 4$	$4$
von 2 bis 3	$F (3) - F (2) = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4}$	$\frac{25}{4}$

$A = \frac{7}{4} + 4 + \frac{25}{4} = 12$ FE

e) $f (x) = cos x$ von 0 bis $π$ . Nullstelle: $\frac{π}{2}$ . $F (x) = sin x$ mit $F (0) = 0$ , $F (\frac{π}{2}) = 1$ und $F (π) = 0$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis $\frac{π}{2}$	$F (\frac{π}{2}) - F (0) = 1 - 0 = 1$	$1$
von $\frac{π}{2}$ bis $π$	$F (π) - F (\frac{π}{2}) = 0 - 1 = - 1$	$1$

$A = 1 + 1 = 2$ FE

Jetzt ihr

f (x) = x^{2} - 1

von 0 bis 2

Lösung

Nullstelle 1; Teilintegrale

- \frac{2}{3}

und

\frac{4}{3}

;

A = 2

Übungen:

Berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im angegebenen Intervall.

a) $f (x) = x^{2} - 2 x$ von 0 bis 3

b) $f (x) = 3 - x$ von 0 bis 5

c) $f (x) = x^{3} - x$ von 0 bis 2

d) $f (x) = sin x$ von 0 bis $\frac{3 π}{2}$

e) $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ von 0 bis 4

Lösungen Schritt für Schritt:

a) Nullstellen: $x (x - 2) = 0$ , also 0 und 2. Zwischen 0 und 3 liegt 2. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ mit

F (0) = 0 F (2) = \frac{8}{3} - 4 = - \frac{4}{3} F (3) = 9 - 9 = 0

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = - \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$
von 2 bis 3	$F (3) - F (2) = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$

$A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2, 67$ FE

b) Nullstelle: $3 - x = 0$ , also 3. $F (x) = 3 x - \frac{1}{2} x^{2}$ mit

F (0) = 0 F (3) = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2} F (5) = 15 - \frac{25}{2} = \frac{5}{2}

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$F (3) - F (0) = \frac{9}{2}$	$\frac{9}{2}$
von 3 bis 5	$F (5) - F (3) = \frac{5}{2} - \frac{9}{2} = - 2$	$2$

$A = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2} = 6, 5$ FE

c) Nullstellen: $x (x^{2} - 1) = 0$ , also $- 1$ , 0 und 1. Zwischen 0 und 2 liegt 1, denn 0 ist der Rand. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ mit

F (0) = 0 F (1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} F (2) = 4 - 2 = 2

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 1	$F (1) - F (0) = - \frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
von 1 bis 2	$F (2) - F (1) = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$	$\frac{9}{4}$

$A = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2} = 2, 5$ FE

d) Nullstellen von $sin x$ zwischen 0 und $\frac{3 π}{2}$ : nur $π$ . $F (x) = - cos x$ mit

F (0) = - 1 F (π) = 1 F (\frac{3 π}{2}) = 0

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis $π$	$F (π) - F (0) = 1 + 1 = 2$	$2$
von $π$ bis $\frac{3 π}{2}$	$F (\frac{3 π}{2}) - F (π) = 0 - 1 = - 1$	$1$

$A = 2 + 1 = 3$ FE

e) Nullstellen: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , pq-Formel: $x = 2 \pm 4 - 3$ , also 1 und 3. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ mit

F (0) = 0 F (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} F (3) = 9 - 18 + 9 = 0 F (4) = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac{4}{3}

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 1	$F (1) - F (0) = \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$
von 1 bis 3	$F (3) - F (1) = - \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$
von 3 bis 4	$F (4) - F (3) = \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$

$A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$ FE

Die eingeschlossene Fläche

Eine eingeschlossene Fläche ist ringsum begrenzt, vom Graphen und von der x-Achse. Ihre Grenzen liefert darum der Graph selbst: Es sind seine Nullstellen.

Zum Beispiel: Welche Fläche schließt der Graph von $f (x) = x^{2} - 4$ mit der x-Achse ein?

Parabel x² − 4 schließt mit der x-Achse eine Fläche von −2 bis 2 ein

Nullstellen: $x^{2} - 4 = 0$ , also $- 2$ und $2$ . Das sind die Grenzen. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ mit

F (- 2) = - \frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3} F (2) = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 2	$F (2) - F (- 2) = - \frac{16}{3} - \frac{16}{3} = - \frac{32}{3}$	$\frac{32}{3}$

$A = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ FE

Hat der Graph mehr als zwei Nullstellen, liegen dazwischen mehrere Stücke. Welche Fläche schließt der Graph von $f (x) = x^{3} - 4 x$ mit der x-Achse ein?

Graph von x³ − 4x mit zwei gleich großen Flächenstücken A₁ und A₂

Nullstellen: $x (x^{2} - 4) = 0$ , also $- 2$ , 0 und 2. Die äußeren Grenzen sind $- 2$ und 2, die Nullstelle 0 teilt. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ mit

F (- 2) = 4 - 8 = - 4 F (0) = 0 F (2) = 4 - 8 = - 4

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 0	$F (0) - F (- 2) = 0 + 4 = 4$	$4$
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = - 4 - 0 = - 4$	$4$

$A = 4 + 4 = 8$ FE

Ohne Teilen, von $- 2$ bis 2 in einem Stück: $F (2) - F (- 2) = - 4 + 4 = 0$ , und auch der Betrag davon ist $∣0∣ = 0$ .

Schema: So wird die Fläche berechnet, die ein Graph mit der x-Achse einschließt, allgemein für jede Funktion.

1. Nullstellen von f bestimmen: $f (x) = 0$ lösen. 2. Die kleinste und die größte Nullstelle sind die Grenzen. Jede Nullstelle dazwischen teilt. 3. Stammfunktion F bilden und für jedes Stück das Teilintegral $F (rechts) - F (links)$ berechnen. 4. Die Beträge der Teilintegrale addieren: $A = \dots$ FE.

Merken: Steht kein Intervall in der Aufgabe, sind die Nullstellen die Grenzen.

Weitere Beispiele:

Drei Beispiele a) bis c): eingeschlossene Flächen mit der x-Achse

a) $f (x) = - x^{2} + 2 x$ . Nullstellen: $x (- x + 2) = 0$ , also 0 und 2. $F (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ mit $F (0) = 0$ und $F (2) = - \frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$

$A = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ FE

b) $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ . Nullstellen: $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ , also $- 2$ , 0 und 2. Bei 0 berührt der Graph die x-Achse nur (Berührstelle); er bleibt auf derselben Seite. $F (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ mit

F (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{32}{3} = - \frac{96}{15} + \frac{160}{15} = \frac{64}{15} F (0) = 0 F (2) = \frac{32}{5} - \frac{32}{3} = \frac{96}{15} - \frac{160}{15} = - \frac{64}{15}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 0	$F (0) - F (- 2) = - \frac{64}{15}$	$\frac{64}{15}$
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = - \frac{64}{15}$	$\frac{64}{15}$

$A = \frac{64}{15} + \frac{64}{15} = \frac{128}{15} \approx 8, 53$ FE. Beide Teilintegrale haben dasselbe Vorzeichen: Die Teilung bei der Berührstelle 0 ändert nichts.

c) $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ . Nullstellen mit $z = x^{2}$ :

z^{2} - 5 z + 4 = 0 z = 1 oder z = 4 x = \pm 1 oder x = \pm 2

Grenzen $- 2$ und 2, dazwischen teilen $- 1$ und 1. $F (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3} + 4 x$ mit

F (1) = \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 = \frac{3}{15} - \frac{25}{15} + \frac{60}{15} = \frac{38}{15} F (2) = \frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 8 = \frac{96}{15} - \frac{200}{15} + \frac{120}{15} = \frac{16}{15}

F (- 1) = - \frac{38}{15} F (- 2) = - \frac{16}{15}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis $- 1$	$F (- 1) - F (- 2) = - \frac{38}{15} + \frac{16}{15} = - \frac{22}{15}$	$\frac{22}{15}$
von $- 1$ bis 1	$F (1) - F (- 1) = \frac{38}{15} + \frac{38}{15} = \frac{76}{15}$	$\frac{76}{15}$
von 1 bis 2	$F (2) - F (1) = \frac{16}{15} - \frac{38}{15} = - \frac{22}{15}$	$\frac{22}{15}$

$A = \frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15} = \frac{120}{15} = 8$ FE

Jetzt ihr

f (x) = x^{2} - 9

Lösung

Grenzen

- 3

und 3; Teilintegral

F (3) - F (- 3) = - 36

;

A = 36

Übungen:

Berechnet den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.

a) $f (x) = x^{2} - 1$

b) $f (x) = - x^{2} + 4 x$

c) $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$

d) $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Lösungen Schritt für Schritt:

a) Nullstellen: $x^{2} - 1 = 0$ , also $- 1$ und 1. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ mit $F (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ und $F (1) = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 1	$F (1) - F (- 1) = - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{4}{3}$	$\frac{4}{3}$

$A = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ FE

b) Nullstellen: $x (- x + 4) = 0$ , also 0 und 4. $F (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$ mit $F (0) = 0$ und $F (4) = - \frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 4	$F (4) - F (0) = \frac{32}{3}$	$\frac{32}{3}$

$A = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ FE

c) Nullstellen: $x (x^{2} - 6 x + 8) = 0$ , also $x = 0$ oder mit der pq-Formel $x = 3 \pm 9 - 8$ , damit 0, 2 und 4. Grenzen 0 und 4, dazwischen teilt 2. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ mit

F (0) = 0 F (2) = 4 - 16 + 16 = 4 F (4) = 64 - 128 + 64 = 0

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 2	$F (2) - F (0) = 4$	$4$
von 2 bis 4	$F (4) - F (2) = - 4$	$4$

$A = 4 + 4 = 8$ FE

d) Nullstellen: $x (x^{2} - 6 x + 9) = x (x - 3)^{2} = 0$ , also 0 und 3. Bei 3 berührt der Graph die x-Achse nur. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2}$ mit $F (0) = 0$ und

F (3) = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} = \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} = \frac{27}{4}

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$F (3) - F (0) = \frac{27}{4}$	$\frac{27}{4}$

$A = \frac{27}{4} = 6, 75$ FE

Fläche zwischen zwei Graphen

Die Fläche zwischen zwei Graphen besteht aus lauter schmalen senkrechten Streifen. Jeder Streifen ist so hoch, wie der obere Graph über dem unteren liegt: $f (x) - g (x)$ .

Zum Beispiel: Welche Fläche schließen die Graphen von $f (x) = 4$ und $g (x) = x^{2}$ ein?

Fläche zwischen y = 4 und y = x² mit einem Streifen der Höhe 3 bei x = 1

Herleitung: Ein Streifen ist ein schmales Rechteck.

A_{Rechteck} = H \overset{o}{¨} he \cdot Breite

A_{Streifen} = (f (x) - g (x)) \cdot d x

Alle Streifen zusammen, von einem Schnittpunkt bis zum anderen, ergeben das Integral:

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f (x) - g (x)) d x

Die Grenzen $x_{1}$ und $x_{2}$ sind die Schnittstellen (die x-Werte der Schnittpunkte). Dort haben beide Graphen dasselbe y, also gilt $f (x) = g (x)$ :

4 = x^{2} x_{1} = - 2 x_{2} = 2

Die Streifenhöhe ist eine eigene Funktion, die Differenzfunktion d (d wie Differenz). Ihre Stammfunktion heißt D, also $D^{'} (x) = d (x)$ :

d (x) = f (x) - g (x) = 4 - x^{2} D (x) = 4 x - \frac{1}{3} x^{3}

D (- 2) = - 8 + \frac{8}{3} = - \frac{16}{3} D (2) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Zwischen den beiden Schnittstellen liegt ein Stück:

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 2	$D (2) - D (- 2) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$	$\frac{32}{3}$

$A = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ FE

Und wenn die Fläche unter der x-Achse liegt? Wir schieben beide Graphen nach unten.

Dieselbe Fläche dreimal, um 0, 2 und 4 nach unten verschoben

verschoben	oberer Graph	unterer Graph	Streifenhöhe	$A$
nicht	$4$	$x^{2}$	$4 - x^{2}$	$\frac{32}{3}$
2 nach unten	$2$	$x^{2} - 2$	$2 - (x^{2} - 2) = 4 - x^{2}$	$\frac{32}{3}$
4 nach unten	$0$	$x^{2} - 4$	$0 - (x^{2} - 4) = 4 - x^{2}$	$\frac{32}{3}$

Die Streifen bleiben gleich hoch, also bleibt die Fläche gleich. In der letzten Zeile ist der obere Graph $y = 0$ : die x-Achse selbst.

Merken: Für die Fläche zwischen zwei Graphen spielt die x-Achse keine Rolle. Es zählt nur die Streifenhöhe $f (x) - g (x)$ .

Welcher Graph oben liegt, müsst ihr nicht vorher wissen. Andersherum gerechnet ändert sich nur das Vorzeichen:

\int_{- 2}^{2} (x^{2} - 4) d x = - \frac{32}{3} A = - \frac{32}{3} = \frac{32}{3}

Schema: So wird die Fläche berechnet, die zwei Graphen einschließen, allgemein für jedes Paar von Funktionen.

1. Schnittstellen bestimmen: $f (x) = g (x)$ lösen. 2. Differenzfunktion bilden: $d (x) = f (x) - g (x)$ . 3. Stammfunktion D bilden und zwischen je zwei benachbarten Schnittstellen das Teilintegral $D (rechts) - D (links)$ berechnen. 4. Die Beträge der Teilintegrale addieren: $A = \dots$ FE.

Weitere Beispiele:

Vier Beispiele a) bis d): Fläche zwischen zwei Graphen

a) $f (x) = x + 2$ , $g (x) = x^{2}$ . Schnittstellen: $x + 2 = x^{2}$ , also $x^{2} - x - 2 = 0$ und mit der pq-Formel $x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$ : $- 1$ und 2. $d (x) = - x^{2} + x + 2$ , $D (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ mit

D (- 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = - \frac{7}{6} D (2) = - \frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3} = \frac{20}{6}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 2	$D (2) - D (- 1) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$	$\frac{9}{2}$

$A = \frac{9}{2} = 4, 5$ FE

b) $f (x) = - x^{2} + 4$ , $g (x) = x^{2} - 4$ . Schnittstellen: $- x^{2} + 4 = x^{2} - 4$ , also $x^{2} = 4$ : $- 2$ und 2. $d (x) = (- x^{2} + 4) - (x^{2} - 4) = - 2 x^{2} + 8$ , $D (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 8 x$ mit

D (- 2) = \frac{16}{3} - 16 = - \frac{32}{3} D (2) = - \frac{16}{3} + 16 = \frac{32}{3}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 2	$D (2) - D (- 2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$	$\frac{64}{3}$

$A = \frac{64}{3} \approx 21, 33$ FE

c) $f (x) = 3 x^{2} - 8$ , $g (x) = - 5$ . Schnittstellen: $3 x^{2} - 8 = - 5$ , also $x^{2} = 1$ : $- 1$ und 1. $d (x) = 3 x^{2} - 8 - (- 5) = 3 x^{2} - 3$ , $D (x) = x^{3} - 3 x$ mit $D (- 1) = - 1 + 3 = 2$ und $D (1) = 1 - 3 = - 2$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 1	$D (1) - D (- 1) = - 2 - 2 = - 4$	$4$

$A = 4$ FE

d) $f (x) = x$ , $g (x) = x$ . Schnittstellen: $x = x$ , quadriert $x = x^{2}$ , also $x (x - 1) = 0$ : 0 und 1. $d (x) = x^{\frac{1}{2}} - x$ , $D (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2}$ mit $D (0) = 0$ und $D (1) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 1	$D (1) - D (0) = \frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ FE

Jetzt ihr

f (x) = 5 x

g (x) = x^{2}

Lösung

Schnittstellen 0 und 5;

d (x) = 5 x - x^{2}

;

A = \frac{125}{6} \approx 20, 83

Übungen:

Berechnet den Inhalt der Fläche, die die Graphen von f und g einschließen.

a) $f (x) = 3 x$ , $g (x) = x^{2}$

b) $f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = - x^{2} + 1$

c) $f (x) = x^{2} - 6 x$ , $g (x) = - 2 x$

d) $f (x) = cos x$ , $g (x) = - cos x$ zwischen $- \frac{π}{2}$ und $\frac{π}{2}$

Lösungen Schritt für Schritt:

a) Schnittstellen: $3 x = x^{2}$ , also $x (x - 3) = 0$ : 0 und 3. $d (x) = 3 x - x^{2}$ , $D (x) = \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}$ mit $D (0) = 0$ und $D (3) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$D (3) - D (0) = \frac{9}{2}$	$\frac{9}{2}$

$A = \frac{9}{2} = 4, 5$ FE

b) Schnittstellen: $x^{2} - 1 = - x^{2} + 1$ , also $2 x^{2} = 2$ und $x^{2} = 1$ : $- 1$ und 1. $d (x) = (x^{2} - 1) - (- x^{2} + 1) = 2 x^{2} - 2$ , $D (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x$ mit $D (- 1) = - \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$ und $D (1) = \frac{2}{3} - 2 = - \frac{4}{3}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 1	$D (1) - D (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = - \frac{8}{3}$	$\frac{8}{3}$

$A = \frac{8}{3} \approx 2, 67$ FE

c) Schnittstellen: $x^{2} - 6 x = - 2 x$ , also $x^{2} - 4 x = 0$ und $x (x - 4) = 0$ : 0 und 4. $d (x) = (x^{2} - 6 x) - (- 2 x) = x^{2} - 4 x$ , $D (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ mit $D (0) = 0$ und $D (4) = \frac{64}{3} - 32 = - \frac{32}{3}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 4	$D (4) - D (0) = - \frac{32}{3}$	$\frac{32}{3}$

$A = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ FE

d) Schnittstellen: $cos x = - cos x$ , also $cos x = 0$ : $- \frac{π}{2}$ und $\frac{π}{2}$ . $d (x) = cos x - (- cos x) = 2 cos x$ , $D (x) = 2 sin x$ mit $D (- \frac{π}{2}) = - 2$ und $D (\frac{π}{2}) = 2$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- \frac{π}{2}$ bis $\frac{π}{2}$	$D (\frac{π}{2}) - D (- \frac{π}{2}) = 2 + 2 = 4$	$4$

$A = 4$ FE

Mehrere Schnittstellen

Schneiden sich zwei Graphen mehr als zweimal, liegt mal der eine oben, mal der andere. Zwischen je zwei benachbarten Schnittstellen liegt dann ein eigenes Flächenstück.

Zum Beispiel: Welche Fläche schließen die Graphen von $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 x$ ein?

Graphen von x³ und 4x mit zwei gleich großen Flächenstücken

Schnittstellen: $x^{3} = 4 x$ , also $x^{3} - 4 x = 0$ und $x (x^{2} - 4) = 0$ : $- 2$ , 0 und 2.

d (x) = x^{3} - 4 x D (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}

D (- 2) = 4 - 8 = - 4 D (0) = 0 D (2) = 4 - 8 = - 4

Ohne Teilen, von $- 2$ bis 2 in einem Stück: $D (2) - D (- 2) = - 4 + 4 = 0$ . Das Integral ist 0, die Skizze zeigt zwei Flächenstücke. Bei 0 wechseln oben und unten, dort wechselt d das Vorzeichen. Also teilen wir bei 0:

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 2$ bis 0	$D (0) - D (- 2) = 0 + 4 = 4$	$4$
von 0 bis 2	$D (2) - D (0) = - 4 - 0 = - 4$	$4$

$A = 4 + 4 = 8$ FE

Schema: So wird die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet, allgemein für beliebig viele Schnittstellen.

1. Schnittstellen bestimmen: $f (x) = g (x)$ lösen. Ist ein Intervall vorgegeben, zählen nur die Schnittstellen darin, und die Intervallränder sind die äußeren Grenzen. 2. Differenzfunktion bilden: $d (x) = f (x) - g (x)$ . 3. Stammfunktion D bilden und zwischen je zwei benachbarten Grenzen das Teilintegral $D (rechts) - D (links)$ berechnen. 4. Die Beträge der Teilintegrale addieren: $A = \dots$ FE.

Merken: An jeder Schnittstelle teilen. Jedes Teilintegral bekommt seinen eigenen Betrag. Die Beträge addieren.

Weitere Beispiele:

Vier Beispiele a) bis d): Flächen zwischen Graphen mit mehreren Schnittstellen

a) $f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x$ . Schnittstellen: $x^{3} - x = x (x^{2} - 1) = 0$ : $- 1$ , 0 und 1. $d (x) = x^{3} - x$ , $D (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ mit $D (- 1) = - \frac{1}{4}$ , $D (0) = 0$ und $D (1) = - \frac{1}{4}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$D (0) - D (- 1) = \frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
von 0 bis 1	$D (1) - D (0) = - \frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ FE

b) $f (x) = x^{3} - x^{2}$ , $g (x) = 2 x$ . Schnittstellen: $x^{3} - x^{2} - 2 x = x (x^{2} - x - 2) = 0$ , also $x = 0$ oder $x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$ : $- 1$ , 0 und 2. $d (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x$ , $D (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ mit

D (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{12}{12} = - \frac{5}{12} D (0) = 0 D (2) = 4 - \frac{8}{3} - 4 = - \frac{8}{3}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$D (0) - D (- 1) = \frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$
von 0 bis 2	$D (2) - D (0) = - \frac{8}{3} = - \frac{32}{12}$	$\frac{32}{12}$

$A = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12} \approx 3, 08$ FE

c) $f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2}$ . Schnittstellen: $x^{4} - x^{2} = x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ : $- 1$ , 0 und 1. Bei 0 berühren sich die Graphen nur. $d (x) = x^{4} - x^{2}$ , $D (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ mit

D (- 1) = - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = - \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{2}{15} D (0) = 0 D (1) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = - \frac{2}{15}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$D (0) - D (- 1) = - \frac{2}{15}$	$\frac{2}{15}$
von 0 bis 1	$D (1) - D (0) = - \frac{2}{15}$	$\frac{2}{15}$

$A = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} = \frac{4}{15} \approx 0, 27$ FE

d) $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x$ im Intervall von 0 bis 2. Schnittstellen: $x^{2} - x = x (x - 1) = 0$ : 0 und 1. Grenzen 0 und 2, dazwischen teilt 1. $d (x) = x^{2} - x$ , $D (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ mit

D (0) = 0 D (1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{6} D (2) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 1	$D (1) - D (0) = - \frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
von 1 bis 2	$D (2) - D (1) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$

$A = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$ FE

Jetzt ihr

f (x) = x^{3} + 2 x

g (x) = 3 x^{2}

Lösung

Schnittstellen 0, 1 und 2; Teilintegrale

\frac{1}{4}

und

- \frac{1}{4}

;

A = \frac{1}{2}

Übungen:

Berechnet den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g.

a) $f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 9 x$

b) $f (x) = 2 x^{3}$ , $g (x) = 2 x$

c) $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x$ im Intervall von 0 bis 4

d) $f (x) = sin x$ , $g (x) = - sin x$ im Intervall von 0 bis $2 π$

Lösungen Schritt für Schritt:

a) Schnittstellen: $x^{3} - 9 x = x (x^{2} - 9) = 0$ : $- 3$ , 0 und 3. $d (x) = x^{3} - 9 x$ , $D (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{9}{2} x^{2}$ mit

D (- 3) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} = - \frac{81}{4} D (0) = 0 D (3) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} = - \frac{81}{4}

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 3$ bis 0	$D (0) - D (- 3) = \frac{81}{4}$	$\frac{81}{4}$
von 0 bis 3	$D (3) - D (0) = - \frac{81}{4}$	$\frac{81}{4}$

$A = \frac{81}{4} + \frac{81}{4} = \frac{81}{2} = 40, 5$ FE

b) Schnittstellen: $2 x^{3} - 2 x = 2 x (x^{2} - 1) = 0$ : $- 1$ , 0 und 1. $d (x) = 2 x^{3} - 2 x$ , $D (x) = \frac{1}{2} x^{4} - x^{2}$ mit $D (- 1) = - \frac{1}{2}$ , $D (0) = 0$ und $D (1) = - \frac{1}{2}$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von $- 1$ bis 0	$D (0) - D (- 1) = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
von 0 bis 1	$D (1) - D (0) = - \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ FE

c) Schnittstellen: $x^{2} - 3 x = x (x - 3) = 0$ : 0 und 3. Grenzen 0 und 4, dazwischen teilt 3. $d (x) = x^{2} - 3 x$ , $D (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ mit

D (0) = 0 D (3) = 9 - \frac{27}{2} = - \frac{9}{2} D (4) = \frac{64}{3} - 24 = - \frac{8}{3}

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis 3	$D (3) - D (0) = - \frac{9}{2}$	$\frac{9}{2}$
von 3 bis 4	$D (4) - D (3) = - \frac{8}{3} + \frac{9}{2} = - \frac{16}{6} + \frac{27}{6} = \frac{11}{6}$	$\frac{11}{6}$

$A = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \approx 6, 33$ FE

d) Schnittstellen: $sin x = - sin x$ , also $sin x = 0$ : 0, $π$ und $2 π$ . Grenzen 0 und $2 π$ , dazwischen teilt $π$ . $d (x) = 2 sin x$ , $D (x) = - 2 cos x$ mit $D (0) = - 2$ , $D (π) = 2$ und $D (2 π) = - 2$ .

Stück	Teilintegral	Betrag
von 0 bis $π$	$D (π) - D (0) = 2 + 2 = 4$	$4$
von $π$ bis $2 π$	$D (2 π) - D (π) = - 2 - 2 = - 4$	$4$

$A = 4 + 4 = 8$ FE