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[m3 IR 16:54] Kosten + Erlös

Die Werkstatt hinter dem T-Shirt-Stand näht jetzt selbst. Der Chef rechnet mit einer festen Zahl je Stück. Zwanzig Shirts mehr kosten gleich viel und bringen gleich viel ein, sagt er. Die Buchhaltung misst zwei Stellen nach:

Schritt	Kosten steigen um	Erlös steigt um
0 auf 20 Stück	296 €	800 €
40 auf 60 Stück	104 €	0 €

Beide Schritte sind zwanzig Stück groß. Vier gemessene Zahlen, und keine passt zur festen Zahl des Chefs.

Die gemessene Kostenreihe

Die Buchhaltung hat für jede Menge aufgeschrieben, was der Tag gekostet hat. Die dritte Spalte ist keine Kostenspalte. Sie zeigt den Sprung von der Zeile darüber zu dieser Zeile.

Menge $x$	Kosten $K (x)$	Zuwachs
0 Stück	200 €
20 Stück	496 €	296 €
40 Stück	648 €	152 €
60 Stück	752 €	104 €
80 Stück	904 €	152 €
100 Stück	1200 €	296 €

Bei null Stück stehen schon 200 € da. Diese 200 € heißen Fixkosten $K_{f}$ . Darin stecken Miete, Maschine und Strom.

Lest die Zuwachsspalte von oben nach unten.

296 · 152 · 104 · 152 · 296

Die Sprünge werden erst kleiner und ab der Mitte wieder größer.

Die Kurve steigt überall. Die Doppelpfeile über den Schritten steigen nicht gleichmäßig.

Die Kostenfunktion

Für jede Menge sollt ihr den Kostenwert ausrechnen können. Darum schreibt die Werkstatt die Reihe als Funktion.

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 20 x + 200

Die Buchhaltung hat die vier Zahlen darin so gewählt, dass die Funktion die gemessene Reihe trifft. Prüft das bei 60 Stück nach. Setzt die 60 für jedes $x$ ein.

K (60) = 0, 002 \cdot 6 0^{3} - 0, 3 \cdot 6 0^{2} + 20 \cdot 60 + 200

Rechnet die beiden vorderen Teile einzeln aus.

0, 002 \cdot 6 0^{3} = 0, 002 \cdot 216000 = 432

0, 3 \cdot 6 0^{2} = 0, 3 \cdot 3600 = 1080

20 \cdot 60 = 1200

432 - 1080 + 1200 + 200 = 752

Die 752 € stehen auch in der Kostentabelle in der Zeile für 60 Stück. Die 200 am Ende der Funktion sind die Fixkosten $K_{f}$ . Es sind die 200 € aus der Zeile für null Stück. Setzt dafür null ein.

K (0) = 0, 002 \cdot 0^{3} - 0, 3 \cdot 0^{2} + 20 \cdot 0 + 200 = 200

Der Preis je Stück

Aus dem Vorkapitel kennt ihr die Nachfragefunktion des Stands:

x (p) = 100 - 2 p

Dort geht ein Preis hinein, heraus kommt eine Menge. Für die Werkstatt braucht ihr es umgekehrt, denn sie plant mit Stückzahlen. Also stellt ihr nach $p$ um:

2 p = 100 - x ⟹ p (x) = 50 - 0, 5 x

p (40) = 50 - 0, 5 \cdot 40 = 30

Bei 40 Stück am Tag bringt der Stand 30 € je Shirt.

Die Erlösfunktion

Der Erlös ist das Geld, das hereinkommt. Bei 40 Stück zu je 30 € sind das $40 \cdot 30 = 1200$ €. Ihr bekommt ihn also aus Preis mal Menge.

E (x) = p (x) \cdot x = (50 - 0, 5 x) \cdot x

(50 - 0, 5 x) \cdot x = 50 x - 0, 5 x^{2}

Probe bei 40 Stück.

E (40) = 50 \cdot 40 - 0, 5 \cdot 4 0^{2} = 2000 - 800 = 1200

Das Rechteck hat die Menge als Grundseite und den Preis als Höhe. Seine Fläche ist der Erlös.

Die gemessene Erlösreihe

Menge $x$	Preis $p (x)$	Erlös $E (x)$	Zuwachs
0 Stück	50 €	0 €
20 Stück	40 €	800 €	800 €
40 Stück	30 €	1200 €	400 €
60 Stück	20 €	1200 €	0 €
80 Stück	10 €	800 €	−400 €
100 Stück	0 €	0 €	−800 €

Auch hier steht in jeder Zeile derselbe Schritt von zwanzig Stück. Die Zuwachsspalte wird nach unten kleiner und ab 60 Stück negativ. Ab 60 Stück nimmt der Stand durch Mehrverkauf weniger ein.

Schema

Um die Erlösfunktion zu bekommen, braucht ihr zuerst den Preis als Funktion der Menge. Danach ist es eine Multiplikation.

a) Nachfragefunktion $x (p)$ nach $p$ umstellen, das ergibt $p (x)$ . Oben wurde aus $x (p) = 100 - 2 p$ so $p (x) = 50 - 0, 5 x$ .

b) $E (x) = p (x) \cdot x$ aufstellen und ausmultiplizieren. Oben ergab das $E (x) = 50 x - 0, 5 x^{2}$ .

c) Für einen Wert die Menge einsetzen, in $E (x)$ und in $K (x)$ .

Der Name für diesen Kostenverlauf

Eine Kostenfunktion mit diesem Verlauf heißt ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Sie hat Grad drei, denn ihr höchster Exponent ist die 3 in $0, 002 x^{3}$ . Im ersten Teil werden die Zuwächse kleiner. Dieser Teil heißt degressiv. Im zweiten Teil werden sie wieder größer. Dieser Teil heißt progressiv. In der Werkstatt steckt dahinter ein Alltagsgrund. Anfangs nutzen die Näherinnen die Maschinen besser aus. Später drängeln sie sich, und es kommen Überstunden dazu.

Was aus der Eingangsfrage geworden ist

Der Chef wollte eine feste Zahl je Stück. Gemessen waren zwei gleich große Schritte. Bei den Kosten standen 296 € gegen 104 €. Beim Erlös standen 800 € gegen 0 €. Beide Male hängt die Zahl davon ab, bei welcher Menge ihr den Schritt macht. Bei einer festen Zahl je Stück stünde überall derselbe Sprung. Im ersten Bild sind die Doppelpfeile verschieden lang. Genau darum steht die Menge $x$ in $K (x)$ und in $E (x)$ .

Zum Üben

Jetzt ihr: Eine Bäckerei verkauft Brote mit der Nachfragefunktion $x (p) = 180 - 30 p$ . Ihre Kosten sind $K (x) = 0, 01 x^{2} + 2 x + 120$ .

a) Stellt $p (x)$ auf und daraus $E (x)$ .

b) Rechnet $E (60)$ und $K (60)$ aus.

(Lösung: a) $p (x) = 6 - \frac{x}{30}$ und $E (x) = 6 x - \frac{x ^{2}}{30}$ ; b) $E (60) = 6 \cdot 60 - \frac{6 0 ^{2}}{30} = 360 - 120 = 240$ € und $K (60) = 0, 01 \cdot 6 0^{2} + 2 \cdot 60 + 120 = 36 + 120 + 120 = 276$ €)