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[M4 mg v1] Mengen

Menge und Element

Eine Menge ist wie ein Kreis um Dinge. Für jedes Ding steht fest: Es ist drin oder nicht drin.

Die Menge $M$ enthält die Zahlen 1, 3, 5 und 7. Was in einer Menge drin ist, heißt Element.

Zeichen	gelesen
$3 \in M$	3 ist Element von $M$
$2 \in / M$	2 ist kein Element von $M$

Ohne Kreis schreibt man die Elemente in geschweifte Klammern, getrennt durch ein Semikolon:

M = {1; 3; 5; 7}

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: ${3; 1; 7; 5}$ ist dieselbe Menge. Jedes Element zählt nur einmal.

> Hinweis: Man trennt mit Semikolon, weil das Komma im Deutschen zu Dezimalzahlen gehört. ${2, 5; 3}$ hat zwei Elemente: 2,5 und 3.

Eine Menge kann auch gar kein Element haben. Sie heißt leere Menge: ${}$ oder $\emptyset$ .

Jetzt ihr

Sei

M = {1; 3; 5; 7}

. Richtig oder falsch? a)

5 \in M

4 \in M

7 \in / M

Lösung

a) richtig b) falsch c) falsch

Teilmenge

Jetzt geht es um zwei Mengen: $A = {1; 3}$ und $B = {1; 3; 5; 7}$ . Liegt $A$ ganz in $B$ ?

Man prüft jedes Element von $A$ : 1 ist in $B$ , 3 ist in $B$ . Kein Element von $A$ fehlt in $B$ . Dann heißt $A$ Teilmenge von $B$ , geschrieben $A \subseteq B$ .

Regel: $A \subseteq B$ gilt, wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist. Fehlt nur eines, gilt $A ⊈ B$ .

Weitere Mengen, geprüft mit $B = {1; 3; 5; 7}$ :

Menge	Prüfung	Teilmenge?
${1; 2}$	2 fehlt in $B$	nein
${7}$	7 ist in $B$	ja
${1; 3; 5; 7}$	keins fehlt	ja
${}$	kein Element, das fehlen kann	ja

Auch $B$ selbst ist also Teilmenge von $B$ . Und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

> Hinweis: $\in$ steht zwischen einem Element und einer Menge: $3 \in B$ . $\subseteq$ steht zwischen zwei Mengen: ${3} \subseteq B$ .

Jetzt ihr

Sei

B = {2; 4; 6; 8}

. Ist die Menge Teilmenge von

B

? a)

{4; 8}

{4; 5}

Lösung

a) ja b) nein, 5 fehlt in

B

Schnittmenge

Zwei Mengen können sich überlappen: $A = {1; 2; 3; 4}$ und $B = {3; 4; 5; 6}$ . Welche Elemente liegen in beiden?

3 und 4 liegen in $A$ und in $B$ . Sie liegen dort, wo sich die Kreise überlappen. Diese Menge heißt Schnittmenge, gelesen „A geschnitten B“.

Regel: $A \cap B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und in $B$ liegen.

$A$	$B$	$A \cap B$
${1; 2; 3; 4}$	${3; 4; 5; 6}$	${3; 4}$
${1; 2}$	${5; 6}$	${}$
${1; 3}$	${1; 3; 5; 7}$	${1; 3}$

Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, ist die Schnittmenge leer. Ist $A \subseteq B$ , dann ist $A \cap B = A$ .

Vereinigungsmenge

Wieder $A = {1; 2; 3; 4}$ und $B = {3; 4; 5; 6}$ . Jetzt werden beide Mengen zu einer zusammengelegt.

Die Vereinigungsmenge, gelesen „A vereinigt B“, enthält alles, was in einem der beiden Kreise liegt.

3 und 4 liegen in beiden Mengen, stehen aber nur einmal in der Klammer. Jedes Element zählt nur einmal.

Regel: $A \cup B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ liegen, auch die in beiden.

$A$	$B$	$A \cup B$
${1; 2}$	${5; 6}$	${1; 2; 5; 6}$
${1; 3}$	${1; 3; 5; 7}$	${1; 3; 5; 7}$
${2}$	${}$	${2}$

> Hinweis: $\cap$ sieht aus wie ein n wie in „und“: in beiden. $\cup$ ist die Schale, in die alles zusammen kommt.

Jetzt ihr

Sei

A = {2; 4; 6}

und

B = {4; 6; 8; 10}

. Bestimmen Sie a)

A \cap B

A \cup B

Lösung

{4; 6}

{2; 4; 6; 8; 10}