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[M4 t2 v7] Regeln für das unbestimmte Integral

Potenzen integrieren

Jede Integrationsregel ist eine Ableitungsregel, rückwärts gelesen.

Erst das Ableiten, das kennst du schon. Bei $x^{4}$ heißt die kleine Zahl oben Exponent (im Alltag: Hochzahl).

Jetzt rückwärts: Wir integrieren $x^{3}$ und wollen zurück zu $x^{4}$ .

Im Nenner heißt: Du teilst durch 4. Warum? Leite das Ergebnis ab. Die 4 kommt wieder nach vorn und hebt das $\frac{1}{4}$ auf:

(\frac{1}{4} x^{4})^{'} = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3} = x^{3}

Genau das wollten wir.

Jetzt ein neues Beispiel. $\int \dots d x$ heißt: Integriere, was dazwischen steht.

Probe durch Ableiten:

(\frac{1}{6} x^{6})^{'} = \frac{1}{6} \cdot 6 x^{5} = x^{5} ✓

Das geht mit jedem Exponenten. Wir schreiben $n$ für irgendeinen Exponenten.

Das ist die Potenzregel:

\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c

Jetzt vier Beispiele.

Merken: Der Exponent geht um 1 nach oben, geteilt wird durch den neuen Exponenten, dahinter $+ c$ .

Jetzt ihr

\int x^{9} d x

Lösung

\frac{1}{10} x^{10} + c