[M5 mkk v1] Minimalkostenkombination

Ein Betrieb soll jeden Tag 100 Stück herstellen. Das geht mit vielen Mischungen aus Arbeit und Maschinen, und jede Mischung kostet anders viel. Gesucht ist die billigste.

Der Weg: Man zeichnet zu jeder Mischung ihre Kosten. Die billigste Mischung gehört zum tiefsten Punkt der Kosten.

Viele Mischungen für dieselbe Menge

Der Betrieb braucht zwei Dinge: Arbeitsstunden von Menschen und Maschinenstunden. Wir nennen sie so:

- $A$ = Arbeitsstunden (Arbeit) - $K$ = Maschinenstunden (Fachwort: Kapital)

Arbeit und Maschinen können sich ersetzen. Wenige Menschen mit vielen Maschinen schaffen die 100 Stück. Viele Menschen mit wenigen Maschinen schaffen sie auch.

In diesem Betrieb reichen zum Beispiel diese Mischungen genau für 100 Stück:

In jeder Zeile ist das Produkt 16. Das ist die Regel dieses Betriebs; in einer Aufgabe ist sie immer gegeben: Eine Mischung reicht genau für 100 Stück, wenn

Jede Mischung ist ein Zahlenpaar $(A\mid K)$, also ein Punkt im Koordinatensystem.

Auch Mischungen zwischen den Zeilen reichen, zum Beispiel $(5\mid 3,2)$, denn $5\cdot 3,2=16$. Alle Punkte mit $A\cdot K=16$ bilden eine Kurve. Jeder Punkt auf der Kurve ist eine andere Wahl, und jede Wahl ergibt genau 100 Stück.

- Unter der Kurve liegt $(4\mid 2)$: $4\cdot 2=8$ ist zu wenig. - Über der Kurve liegt $(8\mid 4)$: $8\cdot 4=32$ reicht für mehr als 100 Stück.

Die Kurve fällt: Mit mehr Arbeit braucht man weniger Maschinen. Nach $K$ aufgelöst heißt sie

Diese Kurve heißt Isoquante (iso = gleich, Quantum = Menge): die Kurve aller Mischungen für dieselbe Menge.

Jede Mischung kostet anders

Eine Arbeitsstunde kostet 1 €, eine Maschinenstunde kostet 4 €. Die Kosten einer Mischung rechnet man wie an der Kasse: Stunden mal Preis, dann beides addieren.

$C$ steht für die Kosten (englisch *costs*). Für die Mischung $(8\mid 2)$:

Das sind 8 € für Arbeit und 8 € für Maschinen, zusammen 16 €. So für alle Mischungen:

In der Tabelle ist $(8\mid 2)$ am billigsten. Aber zwischen den Zeilen liegen unendlich viele weitere Mischungen. Ist eine davon noch billiger?

Alle Mischungen ergeben 100 Stück, aber sie kosten verschieden viel. Die Mischung mit den geringsten Kosten heißt Minimalkostenkombination (minimal = am kleinsten, Kombination = Mischung).

Die Kostenfunktion aufstellen

Um alle Mischungen zu vergleichen, auch die zwischen den Zeilen, schreiben wir die Kosten als Funktion von $A$. Dann suchen wir ihren tiefsten Punkt.

Die Kosten $C=1\cdot A+4\cdot K$ enthalten zwei Größen. Auf der Kurve ist $K$ aber nicht frei: Zu jedem $A$ gehört genau ein $K=\frac{16}{A}$. Das setzen wir für $K$ ein; $1\cdot A$ ist einfach $A$.

Die Kosten hängen jetzt nur noch von $A$ ab; darum schreibt man $C(A)$. Oben die Mischungen, unten ihre Kosten über derselben $A$-Achse:

Die Kosten fallen zuerst und steigen dann wieder. Die billigste Mischung liegt am tiefsten Punkt, im Tal. Dort ist die Kurve flach: Ihre Steigung ist null. Die Steigung einer Kurve berechnet man mit der Ableitung $C^{\prime }(A)$.

Den tiefsten Punkt berechnen

Im Tal ist $C^{\prime }(A)=0$. Wir leiten $C(A)=A+\frac{64}{A}$ ab, Term für Term.

Der erste Term: $A$ abgeleitet ist $1$.

Der zweite Term: Schreibe den Bruch als Potenz, $\frac{1}{A}=A^{-1}$. Dann gilt die Potenzregel: Der Exponent $-1$ kommt nach vorn, der neue Exponent ist $-1-1=-2$.

Also:

Diese Ableitung gibt an jeder Stelle die Steigung der Kostenkurve: $C^{\prime }(4)=1-\frac{64}{16}=-3$, $C^{\prime }(8)=1-\frac{64}{64}=0$, $C^{\prime }(16)=1-\frac{64}{256}=0,75$.

Null setzen und nach $A$ auflösen:

($A=-8$ fällt weg: Es gibt keine negativen Stunden.)

Ist das ein Tiefpunkt? Im Bild wächst die Steigung: erst $-3$, dann $0$, dann $0,75$. Wenn die Steigung wächst, ist die Ableitung der Steigung positiv: $C^{\prime \prime }(A)>0$. So schreibt man es in der Prüfung:

$C^{\prime \prime }(8)>0$: ein Tiefpunkt.

Jetzt noch $K$ und die Kosten:

Im Bild: das Tal bei $A=8$ und oben die Mischung $(8\mid 2)$.

Ergebnis: Die Minimalkostenkombination ist 8 Arbeitsstunden und 2 Maschinenstunden. Die minimalen Kosten sind 16 €. Keine Mischung zwischen den Zeilen ist billiger.

Das Verfahren

Aus dem Beispiel wird ein Verfahren für jede Aufgabe. Die Preise heißen allgemein $p_A$ und $p_K$.

1. Die Kurve nach $K$ auflösen. Im Beispiel: $K=\frac{16}{A}$. 2. In die Kosten $C=p_A\cdot A+p_K\cdot K$ einsetzen. Im Beispiel ist $p_A=1$ und $p_K=4$: $C(A)=A+\frac{64}{A}$. 3. $C^{\prime }(A)=0$ lösen, nur $A>0$. Im Beispiel: $A=8$. 4. Prüfen, ob es ein Tiefpunkt ist: $C^{\prime \prime }(A)>0$. Im Beispiel: $C^{\prime \prime }(8)=0,25$. 5. $K$ und die Kosten ausrechnen und einen Antwortsatz schreiben. Im Beispiel: $K=2$, $C=16$ €.

Weitere Beispiele

Beispiel 1: Die Preise sind vertauscht. Dieselbe Kurve $A\cdot K=16$, aber eine Arbeitsstunde kostet 4 €, eine Maschinenstunde 1 €.

$K=\frac{16}{2}=8$. Kosten: 8 € für Arbeit + 8 € für Maschinen = 16 €. Jetzt setzt der Betrieb mehr Maschinen ein, denn Maschinen sind billiger. (Wieder 16 €, weil nur die Preise getauscht sind.)

Beispiel 2: Eine andere Menge. Der Betrieb will jetzt mehr Stück am Tag herstellen. Für diese größere Menge gilt $A\cdot K=36$. Eine Arbeitsstunde kostet 4 €, eine Maschinenstunde 9 €.

$K=\frac{36}{9}=4$. Kosten: 36 € für Arbeit + 36 € für Maschinen = 72 €.

Bis jetzt waren die Kosten für Arbeit und für Maschinen im Tal immer gleich groß. Ist das eine Regel?

Beispiel 3: Eine andere Kurve. Ein anderer Betrieb arbeitet mit anderer Technik. Bei ihm gilt $A^2\cdot K=32$, und beide Stunden kosten 1 €.

$K=\frac{32}{16}=2$. Kosten: 4 € für Arbeit + 2 € für Maschinen = 6 €.

Die beiden Teile sind also nicht immer gleich; in Beispiel 3 sind sie verschieden. Was immer gilt: Die billigste Mischung ist der tiefste Punkt von $C(A)$.

Übungen