This chapter is only available in German so far.

[Diff] Die Erlösfunktion

Die Erlösfunktion sagt für jede Menge $x$ , wie viel Geld beim Verkaufen hereinkommt: Preis mal Menge.

Zum Beispiel verkauft ein Bauer 40 ME Weizen zum Preis von 12 GE/ME:

E (40) = 12 \frac{GE}{ME} \cdot 40 ME = 480 GE

Der Erlös ist die Fläche dieses Rechtecks. Ein anderes Wort dafür ist Umsatz.

Fester Preis: das Polypol

Kann der Bauer mehr verlangen, zum Beispiel 13 GE/ME? Nein. Tausende Bauern verkaufen denselben Weizen. Wer mehr verlangt, verkauft nichts.

Ein Markt mit sehr vielen Anbietern hat die Marktform Polypol (griechisch: viele Verkäufer). Die Marktform sagt, wie viele Anbieter es auf einem Markt gibt. Ein anderer Name für das Polypol ist vollständige Konkurrenz: Der Wettbewerb ist so groß, dass kein Anbieter den Preis bestimmen kann.

Woher kommen dann die 12 GE/ME? Aus dem Marktgleichgewicht des ganzen Weizenmarkts, dem Schnittpunkt von Nachfrage und Angebot. Zum Beispiel, mit $x$ in Mio. ME:

p_{N} (x) - 2 x + 16 8 x p_{N} (2) = p_{A} (x) = 2 x + 8 = 4 x = 2 = - 2 \cdot 2 + 16 = 12 Gleichgewichtsmenge: 2 Mio. ME Gleichgewichtspreis: 12 GE/ME

Marktgleichgewicht von Angebot und Nachfrage

Der ganze Markt verkauft 2 Mio. ME. Der Bauer erntet höchstens 500 ME, das sind 0,025 % davon. Ob er 100 ME verkauft oder 500 ME: Das Gleichgewicht des Marktes ändert sich dadurch nicht. Für ihn gilt der Preis von 12 GE/ME bei jeder Menge:

Ein Bauer: fester Preis 12 GE/ME bis 500 ME

Der Bauer kann nur seine Menge wählen. Darum heißt er Mengenanpasser.

Sein Erlös für jede Menge $x$ :

E (x) = 12 x

Erlösgerade E(x) = 12x mit Kapazitätsgrenze

Jede weitere ME bringt 12 GE mehr. Die Steigung der Geraden ist der Preis: $E^{'} (x) = 12$ .

Die Gerade steigt immer weiter und hat keinen Hochpunkt. Den Höchsterlös gibt es darum bei der größten Menge, an der Kapazitätsgrenze. Kann der Bauer höchstens 500 ME ernten, sind das

E (500) = 12 \cdot 500 = 6000 GE

Merken: Im Polypol ist der Preis $p$ fest. $E (x) = p \cdot x$ ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $p$ . Der Höchsterlös liegt an der Kapazitätsgrenze.

Jetzt ihr

Auf einem Markt gilt

p_{N} (x) = - 3 x + 40

und

p_{A} (x) = 2 x + 10

, mit

x

in Mio. ME. Ein Anbieter kann höchstens 300 ME herstellen. Wie lauten

E (x)

und

E^{'} (x)

? Wie groß ist sein Höchsterlös?

Lösung

- 3 x + 40 = 2 x + 10

ergibt

x = 6

und den Preis

p_{N} (6) = 22

GE/ME;

E (x) = 22 x

E^{'} (x) = 22

, Höchsterlös

E (300) = 6600

Preis aus der Nachfrage: das Monopol

Ein Monopol (griechisch: ein Verkäufer) ist die Marktform mit nur einem Anbieter. Ein Beispiel ist das einzige Wasserwerk einer Stadt. Es setzt seinen Preis selbst fest.

Warum verlangt es dann nicht einfach einen sehr hohen Preis? Weil die Kunden dann weniger kaufen. Zu jeder Menge sagt die Preisfunktion der Nachfrage, welchen Preis die Kunden dafür zahlen. Zum Beispiel

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 20

Will das Wasserwerk 10 ME verkaufen, kann es höchstens $p_{N} (10) = - 0, 4 \cdot 10 + 20 = 16$ GE/ME verlangen. Zum Höchstpreis $p_{N} (0) = 20$ GE/ME kauft niemand etwas.

Das Wasserwerk wählt also einen Punkt auf der Nachfragegeraden: eine Menge und den Preis dazu. Darum heißt $p_{N} (x)$ beim Monopol auch Preis-Absatz-Funktion (der Absatz ist die verkaufte Menge).

Welcher Punkt bringt den meisten Erlös? Der Erlös ist Preis mal Menge, also die Fläche des Rechtecks unter dem Punkt:

Sechs Erlösrechtecke unter der Nachfragegeraden

Der Preis fällt, die Menge wächst. Die Fläche wächst erst und schrumpft dann. Das größte Rechteck liegt irgendwo zwischen 20 und 30 ME.

Für jede Menge $x$ entsteht die Erlösfunktion durch Einsetzen:

E (x) E (x) E (x) = p \cdot x = p_{N} (x) \cdot x = (- 0, 4 x + 20) \cdot x = - 0, 4 x^{2} + 20 x

Probe: $E (10) = - 0, 4 \cdot 1 0^{2} + 20 \cdot 10 = - 40 + 200 = 160$ ✓

Ihr Graph ist eine nach unten offene Parabel durch die sechs Rechteck-Werte:

Das Erlösmaximum

Die Menge am Hochpunkt heißt erlösmaximale Menge $x_{E}$ . Am Hochpunkt ist die Steigung null:

E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (25) E (25) = - 0, 8 x + 20 = 0 \Rightarrow x_{E} = 25 = - 0, 8 \Rightarrow E^{''} (25) = - 0, 8 < 0 = - 0, 4 \cdot 25 + 20 = 10 = 10 \cdot 25 = 250 notwendige Bedingung hinreichende Bedingung: Maximum zugeh \overset{o}{¨} riger Preis in GE/ME H \overset{o}{¨} chsterl \overset{o}{¨} s in GE

Da ist er: 250 GE, mehr als die 240 GE bei 20 und bei 30 ME. Der Hochpunkt ist $H (25 ∣ 250)$ .

Antwort: 25 ME zu 10 GE/ME bringen den Höchsterlös von 250 GE.

Menge, Preis und Erlös am Hochpunkt in einem Bild:

Hochpunkt, Nullstelle von E' und größtes Rechteck bei x = 25

Probe: Bei einer Parabel liegt der Hochpunkt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist:

E (x) = (- 0, 4 x + 20) \cdot x = 0 \Rightarrow x = 50 oder x = 0

Mitte: $\frac{0 + 50}{2} = 25$ ✓

Bei 0 ME wird nichts verkauft, also ist $E (0) = 0$ . Das gilt für jede Erlösfunktion: Sie beginnt im Ursprung. Bei der Sättigungsmenge von 50 ME ist der Preis 0 GE/ME. Die Ware wird verschenkt.

Höchstpreis und Höchsterlös liegen an verschiedenen Stellen:

	Menge $x$	Preis $p_{N} (x)$	Erlös $E (x)$
Höchstpreis	0 ME	20 GE/ME	0 GE
Höchsterlös	25 ME	10 GE/ME	250 GE
Sättigungsmenge	50 ME	0 GE/ME	0 GE

Schema: das eben Gerechnete, allgemein für jedes Monopol.

1. Preisfunktion $p_{N} (x)$ und Erlösfunktion $E (x) = p_{N} (x) \cdot x$ aufstellen, ausmultiplizieren. 2. Notwendige Bedingung: $E^{'} (x) = 0$ liefert die erlösmaximale Menge $x_{E}$ . 3. Hinreichende Bedingung: $E^{''} (x_{E}) < 0$ . 4. Zugehöriger Preis: $p_{N} (x_{E})$ . 5. Höchsterlös: $E (x_{E}) = p_{N} (x_{E}) \cdot x_{E}$ . 6. Antwort: Hochpunkt $H (x_{E} ∣ E (x_{E}))$ , dazu Menge, Preis und Höchsterlös in einem Satz.

Beispiele

a) $p_{N} (x) = - 3 x + 60$

E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (10) E (10) = (- 3 x + 60) \cdot x = - 3 x^{2} + 60 x = - 6 x + 60 = 0 \Rightarrow x_{E} = 10 = - 6 \Rightarrow E^{''} (10) = - 6 < 0 = - 3 \cdot 10 + 60 = 30 = 30 \cdot 10 = 300

Antwort: $H (10 ∣ 300)$ . 10 ME zu 30 GE/ME bringen den Höchsterlös von 300 GE.

b) Höchstpreis 40 GE/ME, Sättigungsmenge 100 ME. Die Nachfragegerade geht durch $(0 ∣ 40)$ und $(100 ∣ 0)$ .

m p_{N} (x) E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (50) E (50) = \frac{0 - 40}{100 - 0} = - 0, 4 = - 0, 4 x + 40 = (- 0, 4 x + 40) \cdot x = - 0, 4 x^{2} + 40 x = - 0, 8 x + 40 = 0 \Rightarrow x_{E} = 50 = - 0, 8 \Rightarrow E^{''} (50) = - 0, 8 < 0 = - 0, 4 \cdot 50 + 40 = 20 = 20 \cdot 50 = 1000

Antwort: $H (50 ∣ 1000)$ . 50 ME zu 20 GE/ME bringen den Höchsterlös von 1000 GE.

c) Zu 65 GE/ME kaufen die Kunden 10 ME, zu 40 GE/ME kaufen sie 20 ME. Die Nachfragegerade geht durch $(10 ∣ 65)$ und $(20 ∣ 40)$ .

m 65 p_{N} (x) E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (18) E (18) = \frac{40 - 65}{20 - 10} = - 2, 5 = - 2, 5 \cdot 10 + p_{N} (0) \Rightarrow p_{N} (0) = 90 = - 2, 5 x + 90 = (- 2, 5 x + 90) \cdot x = - 2, 5 x^{2} + 90 x = - 5 x + 90 = 0 \Rightarrow x_{E} = 18 = - 5 \Rightarrow E^{''} (18) = - 5 < 0 = - 2, 5 \cdot 18 + 90 = 45 = 45 \cdot 18 = 810

Antwort: $H (18 ∣ 810)$ . 18 ME zu 45 GE/ME bringen den Höchsterlös von 810 GE.

d) $E (x) = - 0, 25 x^{2} + 15 x$ , gesucht sind auch Höchstpreis und Sättigungsmenge. Um den Preis zu sehen, klammert ihr $x$ aus:

E (x) p_{N} (0) - 0, 25 x + 15 E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (30) E (30) = p_{N} (x) (- 0, 25 x + 15) \cdot Menge x \Rightarrow p_{N} (x) = - 0, 25 x + 15 = 15 = 0 \Rightarrow x = 60 = - 0, 5 x + 15 = 0 \Rightarrow x_{E} = 30 = - 0, 5 \Rightarrow E^{''} (30) = - 0, 5 < 0 = - 0, 25 \cdot 30 + 15 = 7, 5 = 7, 5 \cdot 30 = 225 H \overset{o}{¨} chstpreis S \overset{a}{¨} ttigungsmenge

Antwort: Höchstpreis 15 GE/ME, Sättigungsmenge 60 ME. $H (30 ∣ 225)$ . 30 ME zu 7,5 GE/ME bringen den Höchsterlös von 225 GE.

e) $p_{N} (x) = - 0, 2 x^{2} + 60$

E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (10) E (10) = (- 0, 2 x^{2} + 60) \cdot x = - 0, 2 x^{3} + 60 x = - 0, 6 x^{2} + 60 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x_{E} = 10 = - 1, 2 x \Rightarrow E^{''} (10) = - 12 < 0 = - 0, 2 \cdot 1 0^{2} + 60 = 40 = 40 \cdot 10 = 400 (- 10 ist keine Menge)

Antwort: $H (10 ∣ 400)$ . 10 ME zu 40 GE/ME bringen den Höchsterlös von 400 GE.

Probe:

E (x) = (- 0, 2 x^{2} + 60) \cdot x = 0 \Rightarrow x = 0 oder x^{2} = 300, x \approx 17, 3

Mitte: $\frac{0 + 17 , 3}{2} \approx 8, 7 \neq = 10$ ✗

Parabel und Kurve dritten Grades: Mitte der Nullstellen

Die Mitte trifft den Hochpunkt nur bei der Parabel. $E^{'} (x) = 0$ trifft ihn in beiden Fällen.

Merken: Die Menge kommt aus $E^{'} (x) = 0$ . Der Preis kommt aus der Preisfunktion $p_{N} (x)$ . Der Höchsterlös ist Preis mal Menge.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 8

Lösung

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 8 x

x_{E} = 40

ME,

p_{N} (40) = 4

GE/ME, Höchsterlös

E (40) = 160

Jetzt ihr

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 12 x

, bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge.

Lösung

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 12

, Höchstpreis 12 GE/ME, Sättigungsmenge 120 ME,

x_{E} = 60

ME,

p_{N} (60) = 6

GE/ME, Höchsterlös

E (60) = 360

Am Rand: die Kapazitätsgrenze

Mit einer Kapazitätsgrenze zählen nur die Mengen bis zu dieser Grenze. Zum Beispiel kann das Wasserwerk mit $p_{N} (x) = - 0, 4 x + 20$ höchstens 20 ME liefern:

Kapazitätsgrenze 20 ME vor dem Hochpunkt

E^{'} (x) x_{E} p_{N} (20) E (20) = - 0, 8 x + 20 = 0 \Rightarrow x = 25 = 20 = - 0, 4 \cdot 20 + 20 = 12 = 12 \cdot 20 = 240 hinter der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze 20 Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze

Antwort: Der Höchsterlös liegt an der Kapazitätsgrenze: 20 ME zu 12 GE/ME bringen 240 GE.

Kann dasselbe Wasserwerk 40 ME liefern, liegt der Hochpunkt vor der Grenze:

Kapazitätsgrenze 40 ME hinter dem Hochpunkt

E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (25) E (25) = - 0, 8 x + 20 = 0 \Rightarrow x_{E} = 25 = - 0, 8 \Rightarrow E^{''} (25) = - 0, 8 < 0 = - 0, 4 \cdot 25 + 20 = 10 = 10 \cdot 25 = 250 vor der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze 40

Antwort: $H (25 ∣ 250)$ . 25 ME zu 10 GE/ME bringen den Höchsterlös von 250 GE.

Und der Bauer im Polypol, mit $E (x) = 12 x$ und der Kapazitätsgrenze 500 ME:

E^{'} (x) x_{E} E (500) = 12 \neq = 0 = 500 = 12 \cdot 500 = 6000 keine Stelle mit E^{'} (x) = 0 Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze

Antwort: Der Höchsterlös liegt an der Kapazitätsgrenze: 500 ME zu 12 GE/ME bringen 6000 GE.

Schema mit Kapazitätsgrenze: Nach der notwendigen Bedingung $E^{'} (x) = 0$ entscheidet die Lage der Stelle.

Die Stelle mit $E^{'} (x) = 0$ …	erlösmaximale Menge $x_{E}$
liegt vor der Kapazitätsgrenze	diese Stelle
liegt hinter der Kapazitätsgrenze	die Kapazitätsgrenze
gibt es nicht	die Kapazitätsgrenze

Merken: Der Höchsterlös liegt am Hochpunkt, wenn der Betrieb ihn erreichen kann. Sonst liegt er an der Kapazitätsgrenze.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 10 ME.

Lösung

E^{'} (x) = - 8 x + 120 = 0

bei

x = 15

, hinter der Grenze;

x_{E} = 10

, Höchsterlös

E (10) = 80 \cdot 10 = 800

GE bei 80 GE/ME

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 20 ME.

Lösung

x_{E} = 15

liegt vor der Grenze;

H (15 ∣ 900)

, 15 ME zu 60 GE/ME

Übungen

Bestimmt jeweils die erlösmaximale Menge, den zugehörigen Preis und den Höchsterlös.

a) $p_{N} (x) = - 5 x + 100$

b) Höchstpreis 36 GE/ME, Sättigungsmenge 12 ME

c) Zu 48 GE/ME kaufen die Kunden 10 ME, zu 36 GE/ME kaufen sie 20 ME.

d) $E (x) = - 3 x^{2} + 120 x$ ; bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge.

e) $p_{N} (x) = - 0, 1 x^{2} + 30$

f) $p_{N} (x) = - 0, 8 x + 80$ , Kapazitätsgrenze 40 ME

g) $p_{N} (x) = - 0, 8 x + 80$ , Kapazitätsgrenze 60 ME

Lösungen Schritt für Schritt

E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (10) E (10) = (- 5 x + 100) \cdot x = - 5 x^{2} + 100 x = - 10 x + 100 = 0 \Rightarrow x_{E} = 10 = - 10 \Rightarrow E^{''} (10) = - 10 < 0 = - 5 \cdot 10 + 100 = 50 = 50 \cdot 10 = 500

Antwort: $H (10 ∣ 500)$ . 10 ME zu 50 GE/ME bringen den Höchsterlös von 500 GE.

b) Die Nachfragegerade geht durch $(0 ∣ 36)$ und $(12 ∣ 0)$ .

m p_{N} (x) E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (6) E (6) = \frac{0 - 36}{12 - 0} = - 3 = - 3 x + 36 = (- 3 x + 36) \cdot x = - 3 x^{2} + 36 x = - 6 x + 36 = 0 \Rightarrow x_{E} = 6 = - 6 \Rightarrow E^{''} (6) = - 6 < 0 = - 3 \cdot 6 + 36 = 18 = 18 \cdot 6 = 108

Antwort: $H (6 ∣ 108)$ . 6 ME zu 18 GE/ME bringen den Höchsterlös von 108 GE.

c) Die Nachfragegerade geht durch $(10 ∣ 48)$ und $(20 ∣ 36)$ .

m 48 p_{N} (x) E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (25) E (25) = \frac{36 - 48}{20 - 10} = - 1, 2 = - 1, 2 \cdot 10 + p_{N} (0) \Rightarrow p_{N} (0) = 60 = - 1, 2 x + 60 = (- 1, 2 x + 60) \cdot x = - 1, 2 x^{2} + 60 x = - 2, 4 x + 60 = 0 \Rightarrow x_{E} = 25 = - 2, 4 \Rightarrow E^{''} (25) = - 2, 4 < 0 = - 1, 2 \cdot 25 + 60 = 30 = 30 \cdot 25 = 750

Antwort: $H (25 ∣ 750)$ . 25 ME zu 30 GE/ME bringen den Höchsterlös von 750 GE.

E (x) p_{N} (0) - 3 x + 120 E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (20) E (20) = p_{N} (x) (- 3 x + 120) \cdot Menge x \Rightarrow p_{N} (x) = - 3 x + 120 = 120 = 0 \Rightarrow x = 40 = - 6 x + 120 = 0 \Rightarrow x_{E} = 20 = - 6 \Rightarrow E^{''} (20) = - 6 < 0 = - 3 \cdot 20 + 120 = 60 = 60 \cdot 20 = 1200 H \overset{o}{¨} chstpreis S \overset{a}{¨} ttigungsmenge

Antwort: Höchstpreis 120 GE/ME, Sättigungsmenge 40 ME. $H (20 ∣ 1200)$ . 20 ME zu 60 GE/ME bringen den Höchsterlös von 1200 GE.

E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (10) E (10) = (- 0, 1 x^{2} + 30) \cdot x = - 0, 1 x^{3} + 30 x = - 0, 3 x^{2} + 30 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x_{E} = 10 = - 0, 6 x \Rightarrow E^{''} (10) = - 6 < 0 = - 0, 1 \cdot 1 0^{2} + 30 = 20 = 20 \cdot 10 = 200 (- 10 ist keine Menge)

Antwort: $H (10 ∣ 200)$ . 10 ME zu 20 GE/ME bringen den Höchsterlös von 200 GE.

E (x) E^{'} (x) x_{E} p_{N} (40) E (40) = (- 0, 8 x + 80) \cdot x = - 0, 8 x^{2} + 80 x = - 1, 6 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 50 = 40 = - 0, 8 \cdot 40 + 80 = 48 = 48 \cdot 40 = 1920 hinter der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze 40 Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze

Antwort: Der Höchsterlös liegt an der Kapazitätsgrenze: 40 ME zu 48 GE/ME bringen 1920 GE.

E (x) E^{'} (x) E^{''} (x) p_{N} (50) E (50) = (- 0, 8 x + 80) \cdot x = - 0, 8 x^{2} + 80 x = - 1, 6 x + 80 = 0 \Rightarrow x_{E} = 50 = - 1, 6 \Rightarrow E^{''} (50) = - 1, 6 < 0 = - 0, 8 \cdot 50 + 80 = 40 = 40 \cdot 50 = 2000 vor der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze 60

Antwort: $H (50 ∣ 2000)$ . 50 ME zu 40 GE/ME bringen den Höchsterlös von 2000 GE.

Der Grenzerlös

Der Grenzerlös $E^{'} (x)$ ist die Steigung der Erlöskurve. Er sagt ungefähr, um wie viel GE der Erlös mit der nächsten ME steigt.

Das Wasserwerk mit $p_{N} (x) = - 0, 4 x + 20$ verkauft 10 ME zu 16 GE/ME. Für 11 ME muss es den Preis auf $p_{N} (11) = 15, 6$ GE/ME senken. Bringt die 11. ME also 15,6 GE mehr?

E (11) - E (10) = 171, 6 - 160 = 11, 6

Nur 11,6 GE. Wo bleibt der Rest? Legt die beiden Rechtecke übereinander:

Gewinn- und Verluststreifen beim Schritt von 10 auf 11 ME

die 11. ME 15, 6 - 10 alte ME, je 0,4 GE billiger 10 \cdot 0, 4 = 11, 6

Die neue ME bringt ihren Preis. Der niedrigere Preis gilt aber auch für die ersten 10 ME.

Der Grenzerlös sagt dasselbe, ungefähr:

E^{'} (x) = - 0, 8 x + 20, E^{'} (10) = - 0, 8 \cdot 10 + 20 = 12 GE/ME

Er hat dieselbe Einheit wie der Preis: GE/ME. Die 11. ME bringt ungefähr 12 GE, genau sind es 11,6 GE. $E^{'} (10) = 12$ ist die Steigung der Tangente bei 10 ME:

Die Tangente steigt mit jeder ME um 12 GE. Die Kurve biegt sich nach unten und steigt etwas weniger.

Im Polypol ist die Erlöskurve selbst eine Gerade. Dort stimmt der Grenzerlös genau:

	$E (11) - E (10)$	$E^{'} (10)$
Polypol: $E (x) = 12 x$	$132 - 120 = 12$ GE	$12$ GE/ME
Monopol: $E (x) = - 0, 4 x^{2} + 20 x$	$171, 6 - 160 = 11, 6$ GE	$12$ GE/ME

Grenzerlös und Preis

Im Monopol liegt der Grenzerlös unter dem Preis:

Im Polypol gibt es diesen Abstand nicht. Dort ist der Grenzerlös gleich dem Preis: $E^{'} (x) = 12$ .

Merken: Im Monopol bringt eine weitere ME weniger als ihren Preis, denn auch die alten ME werden billiger.

Negativer Grenzerlös

Bei 40 ME ist $E^{'} (40) = - 0, 8 \cdot 40 + 20 = - 12$ GE/ME. Macht das Wasserwerk dort Verlust?

E (40) = p_{N} (40) \cdot 40 = 4 \cdot 40 = 160 GE

Es nimmt 160 GE ein. Negativ ist nur die Steigung: Jede weitere ME senkt den Erlös um etwa 12 GE.

Erlöskurve und Grenzerlös: Vorzeichen von E'

$x$	$E (x)$	$E^{'} (x)$	So steigt der Erlös
10 ME	160 GE	$12$ GE/ME	mehr verkaufen
25 ME	250 GE	$0$ GE/ME	gar nicht: Höchsterlös
40 ME	160 GE	$- 12$ GE/ME	weniger verkaufen

Bei 10 und bei 40 ME ist der Erlös gleich. Die Richtung zeigt nur der Grenzerlös.

Merken: $E^{'} (x) > 0$ : Mehr verkaufen erhöht den Erlös. $E^{'} (x) < 0$ : Weniger verkaufen erhöht ihn. $E^{'} (x) = 0$ : Der Erlös ist am Hochpunkt.

Der Grenzerlös sinkt

Am Hochpunkt war $E^{''} (25) = - 0, 8 < 0$ die hinreichende Bedingung. Was sagt $E^{''} (x) = - 0, 8$ über den Erlös? Die Grenzerlöse bis zum Hochpunkt, ME für ME:

$x$	21 ME	22 ME	23 ME	24 ME	25 ME
$E^{'} (x) = - 0, 8 x + 20$	3,2 GE/ME	2,4 GE/ME	1,6 GE/ME	0,8 GE/ME	0 GE/ME

Mit jeder weiteren ME sinkt der Grenzerlös um 0,8 GE/ME. Das sagt $E^{''} (x) = - 0, 8$ . Der Erlös wächst immer langsamer, bis er am Hochpunkt nicht mehr wächst.

Tangentensteigungen und die Grenzerlösgerade

Die hinreichende Bedingung sagt also: Der Grenzerlös fällt am Hochpunkt von positiv auf negativ.

Beim Bauern im Polypol ist das anders:

	$E (x)$	$E^{'} (x)$	$E^{''} (x)$
Polypol	$12 x$	$12$	$0$
Monopol	$- 0, 4 x^{2} + 20 x$	$- 0, 8 x + 20$	$- 0, 8$

Im Polypol sinkt der Grenzerlös nie. Er bleibt 12 GE/ME und wird nie 0. Darum hat die Erlösgerade $E (x) = 12 x$ keinen Hochpunkt.

Das Wasserwerk verkauft 10 ME, dort ist $E^{'} (10) = 12$ GE/ME. Bringen 30 weitere ME also $30 \cdot 12 = 360$ GE mehr?

E (40) - E (10) = 4 \cdot 40 - 16 \cdot 10 = 160 - 160 = 0 GE

Sie bringen gar nichts. Der Grenzerlös gilt nur für die nächste ME. Für viele ME rechnet ihr $E (neu) - E (alt)$ .

Übungen

Ein Monopolist hat die Preisfunktion $p_{N} (x) = - 4 x + 80$ . Berechnet bei der angegebenen Menge den Grenzerlös, den Preis und den Erlös. Steigt der Erlös, wenn er mehr verkauft oder wenn er weniger verkauft?

a) 5 ME

b) 10 ME

c) 15 ME

d) Um wie viel GE steigt der Erlös genau, wenn der Monopolist 6 statt 5 ME verkauft? Vergleicht mit dem Grenzerlös aus a).

e) Um wie viel GE ändert sich der Erlös, wenn der Monopolist 15 statt 5 ME verkauft?

Lösungen Schritt für Schritt

E (x) = (- 4 x + 80) \cdot x = - 4 x^{2} + 80 x, E^{'} (x) = - 8 x + 80

	$x$	$E^{'} (x)$	$p_{N} (x)$	$E (x) = p_{N} (x) \cdot x$	So steigt der Erlös
a)	5 ME	$40$ GE/ME	60 GE/ME	300 GE	mehr verkaufen
b)	10 ME	$0$ GE/ME	40 GE/ME	400 GE	gar nicht: Höchsterlös
c)	15 ME	$- 40$ GE/ME	20 GE/ME	300 GE	weniger verkaufen

p_{N} (6) E (6) E (6) - E (5) = - 4 \cdot 6 + 80 = 56 = 56 \cdot 6 = 336 = 336 - 300 = 36

Antwort: Der Erlös steigt genau um 36 GE. Der Grenzerlös $E^{'} (5) = 40$ GE/ME sagt ungefähr dasselbe.

E (15) - E (5) = 300 - 300 = 0

Antwort: Der Erlös ändert sich nicht. Die Rechnung $10 \cdot 40 = 400$ GE mit dem Grenzerlös aus a) wäre falsch.

Höchsterlös und Gewinn

Bringt der Höchsterlös auch den meisten Gewinn? Der Gewinn ist $G (x) = E (x) - K (x)$ . Das Wasserwerk mit $p_{N} (x) = - 0, 4 x + 20$ hat die Kosten $K (x) = 4 x + 50$ . Was bleibt am Höchsterlös übrig, und was bei 5 ME weniger?

$x$	$E (x) = p_{N} (x) \cdot x$	$K (x) = 4 x + 50$	$G (x) = E (x) - K (x)$
25 ME	$10 \cdot 25 = 250$ GE	150 GE	100 GE
20 ME	$12 \cdot 20 = 240$ GE	130 GE	110 GE

Weniger Erlös, mehr Gewinn.

Merken: Der Höchsterlös ist das meiste Geld, das hereinkommt. Was davon übrig bleibt, sagt der Gewinn $G (x) = E (x) - K (x)$ .