This chapter is only available in German so far.

[Diff] Minimalkostenkombination

Die Minimalkostenkombination (MKK) ist das billigste Rezept, mit dem eine Firma eine feste Menge ihres Produkts herstellt. Ein Rezept sagt, wie viel die Firma von jedem Produktionsfaktor einsetzt. Produktionsfaktoren sind das, was in die Produktion hineingeht, zum Beispiel Arbeit und Maschinen. Der Fachname für ein Rezept ist Faktorkombination.

Das billigste Rezept

Zum Beispiel will eine Firma 40 ME ihres Produkts herstellen. Diese Menge heißt Ausbringungsmenge $x$ . Die Firma braucht dafür zwei Produktionsfaktoren, Faktor 1 und Faktor 2. Ein mögliches Rezept:

r_{1} = 2 ME Faktor 1 und r_{2} = 8 ME Faktor 2 ⟶ x = 40 ME Produkt

Kurz schreibt man dieses Rezept als Punkt $(2 ∣ 8)$ : erst $r_{1}$ , dann $r_{2}$ .

Mit weniger Faktor 2 geht es auch, wenn die Firma mehr Faktor 1 nimmt. Wie viel Faktor 2 sie für 40 ME braucht, hängt davon ab, wie viel Faktor 1 sie einsetzt:

r_{2} (r_{1}) = \frac{16}{r _{1}}, r_{1} > 0

Gelesen wird das wie $f (x)$ : $r_{1}$ geht hinein, $r_{2}$ kommt heraus. Zum Beispiel ist $r_{2} (2) = \frac{16}{2} = 8$ : Wer 2 ME Faktor 1 einsetzt, braucht für 40 ME Produkt 8 ME Faktor 2.

Diese Funktion heißt Isoquante (iso: gleich, Quante: Menge). Alle ihre Rezepte liefern dieselbe Menge, hier 40 ME.

Isoquante für 40 ME mit vier Rezepten und Isoquante für 60 ME

Im Bild ist jeder Punkt ein Rezept. Die Menge $x = 40$ ME steht auf keiner Achse. Sie steht als Name an der Kurve. Für mehr Menge gibt es eine eigene Isoquante weiter außen. Entlang der Kurve gilt: mehr Faktor 1, weniger Faktor 2. Die Faktoren ersetzen einander.

Was die Rezepte kosten

Faktor 1 kostet $q_{1} = 3$ GE je ME, Faktor 2 kostet $q_{2} = 12$ GE je ME. Das sind die Faktorpreise. Jeder Faktor kostet Preis mal Menge, und die Firma zahlt beide. Für das Rezept $(2 ∣ 8)$ und allgemein:

K K = 3 \cdot 2 + 12 \cdot 8 = 102 GE = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}

Die anderen Rezepte aus dem Bild:

$r_{1}$ in ME Faktor 1	$r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$ in ME Faktor 2	$K = 3 \cdot r_{1} + 12 \cdot r_{2}$
2	8	$3 \cdot 2 + 12 \cdot 8 = 102$ GE
4	4	$3 \cdot 4 + 12 \cdot 4 = 60$ GE
16	1	$3 \cdot 16 + 12 \cdot 1 = 60$ GE
32	0,5	$3 \cdot 32 + 12 \cdot 0, 5 = 102$ GE

Gleiche Menge, verschiedene Kosten. Die Kosten fallen erst und steigen dann wieder. Zwischen $r_{1} = 4$ und $r_{1} = 16$ könnte es billiger sein. Probe mit $r_{1} = 10$ :

r_{2} (10) = \frac{16}{10} = 1, 6, K = 3 \cdot 10 + 12 \cdot 1, 6 = 49, 2 GE

Billiger als 60 GE. Geht es noch billiger? Probieren trifft den billigsten Punkt nie genau.

Die Kosten als Funktion von $r_1$

Damit die Kosten nur noch von $r_{1}$ abhängen, setzt ihr die Isoquante für $r_{2}$ ein:

K K (r_{1}) = 3 \cdot r_{1} + 12 \cdot r_{2} = 3 \cdot r_{1} + 12 \cdot \frac{16}{r _{1}} = 3 r_{1} + \frac{192}{r _{1}}

Die Menge bleibt fest bei 40 ME. Nur das Rezept ändert sich. Das billigste Rezept ist der Tiefpunkt von $K (r_{1})$ . Zum Ableiten schreibt ihr $\frac{192}{r _{1}} = 192 r_{1}^{- 1}$ .

Notwendige Bedingung:

K^{'} (r_{1}) = 3 - 192 r_{1}^{- 2} = 3 - \frac{192}{r _{1}^{2}} = 0 \Rightarrow 3 r_{1}^{2} = 192 \Rightarrow r_{1}^{2} = 64 \Rightarrow r_{1} = 8

( $r_{1} = - 8$ entfällt, denn $r_{1} > 0$ .)

Hinreichende Bedingung:

K^{''} (r_{1}) = \frac{384}{r _{1}^{3}}, K^{''} (8) = \frac{384}{512} = 0, 75 > 0 \Rightarrow Minimum

Rezept und Kosten:

r_{2} = \frac{16}{8} = 2, K_{m i n} = 3 \cdot 8 + 12 \cdot 2 = 24 + 24 = 48

> Minimalkostenkombination (MKK): $(8 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 48$ GE

Noch billiger als die 49,2 GE bei $r_{1} = 10$ .

Rezepte auf der Isoquante und ihre Kosten auf dem Graphen von K(r1)

Jedes Rezept oben hat unten sein Preisschild. Der Tiefpunkt unten steht genau unter der MKK oben.

Schema: MKK berechnen

Hier steht das eben Gerechnete allgemein:

1. Kosten aufstellen: $K = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ 2. Isoquante für $r_{2}$ einsetzen: $K (r_{1}) = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2} (r_{1})$ 3. Notwendige Bedingung: $K^{'} (r_{1}) = 0$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich behalten 4. Hinreichende Bedingung: $K^{''} (r_{1}) > 0$ , also Minimum 5. $r_{2}$ berechnen: das gefundene $r_{1}$ in die Isoquante einsetzen 6. $K_{m i n} = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

a) Isoquante $r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$ (für $x = 60$ ME), $q_{1} = 3$ , $q_{2} = 12$

K (r_{1}) = 3 \cdot r_{1} + 12 \cdot \frac{36}{r _{1}} = 3 r_{1} + \frac{432}{r _{1}}

K^{'} (r_{1}) = 3 - \frac{432}{r _{1}^{2}} = 0 \Rightarrow r_{1}^{2} = 144 \Rightarrow r_{1} = 12

K^{''} (r_{1}) = \frac{864}{r _{1}^{3}}, K^{''} (12) = 0, 5 > 0

r_{2} = \frac{36}{12} = 3, K_{m i n} = 3 \cdot 12 + 12 \cdot 3 = 72

> MKK $(12 ∣ 3)$ , $K_{m i n} = 72$ GE

b) Isoquante $r_{2} = \frac{100}{r _{1}}$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$

K (r_{1}) = 8 \cdot r_{1} + 2 \cdot \frac{100}{r _{1}} = 8 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

K^{'} (r_{1}) = 8 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0 \Rightarrow r_{1}^{2} = 25 \Rightarrow r_{1} = 5

K^{''} (r_{1}) = \frac{400}{r _{1}^{3}}, K^{''} (5) = 3, 2 > 0

r_{2} = \frac{100}{5} = 20, K_{m i n} = 8 \cdot 5 + 2 \cdot 20 = 80

> MKK $(5 ∣ 20)$ , $K_{m i n} = 80$ GE

c) Isoquante $r_{2} = \frac{54}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$

K (r_{1}) = 2 \cdot r_{1} + 4 \cdot \frac{54}{r _{1}^{2}} = 2 r_{1} + \frac{216}{r _{1}^{2}}

K^{'} (r_{1}) = 2 - 432 r_{1}^{- 3} = 2 - \frac{432}{r _{1}^{3}} = 0 \Rightarrow r_{1}^{3} = 216 \Rightarrow r_{1} = 6

K^{''} (r_{1}) = \frac{1296}{r _{1}^{4}}, K^{''} (6) = 1 > 0

r_{2} = \frac{54}{36} = 1, 5, K_{m i n} = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 1, 5 = 18

> MKK $(6 ∣ 1, 5)$ , $K_{m i n} = 18$ GE

d) Isoquante $r_{2} = \frac{4}{r _{1} - 2} + 1$ , $r_{1} > 2$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 8$

K (r_{1}) = 2 \cdot r_{1} + 8 \cdot (\frac{4}{r _{1} - 2} + 1) = 2 r_{1} + \frac{32}{r _{1} - 2} + 8

K^{'} (r_{1}) = 2 - 32 (r_{1} - 2)^{- 2} = 2 - \frac{32}{( r _{1} - 2 ) ^{2}} = 0 \Rightarrow (r_{1} - 2)^{2} = 16 \Rightarrow r_{1} - 2 = 4 oder r_{1} - 2 = - 4

r_{1} = 6 (r_{1} = - 2 entf \overset{a}{¨} llt, denn r_{1} > 2)

K^{''} (r_{1}) = \frac{64}{( r _{1} - 2 ) ^{3}}, K^{''} (6) = 1 > 0

r_{2} = \frac{4}{4} + 1 = 2, K_{m i n} = 2 \cdot 6 + 8 \cdot 2 = 28

> MKK $(6 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 28$ GE

Isoquante mit Asymptoten r1 = 2 und r2 = 1 und MKK (6|2)

Diese Isoquante erreicht die gestrichelten Linien nie. Die Firma braucht immer mehr als 2 ME Faktor 1 und mehr als 1 ME Faktor 2.

Merken: Die Isoquante für $r_{2}$ in die Kosten einsetzen. Dann hängen die Kosten nur noch von $r_{1}$ ab, und die MKK ist ihr Tiefpunkt.

Jetzt ihr

Isoquante

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(6 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

Übungen 1

Berechnet die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

a) $r_{2} = \frac{50}{r _{1}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$

b) $r_{2} = \frac{250}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$

c) $r_{2} = \frac{8}{r _{1} - 3} + 2$ , $r_{1} > 3$ , $q_{1} = 4$ , $q_{2} = 2$

Lösungen Schritt für Schritt

K (r_{1}) = 2 \cdot r_{1} + 4 \cdot \frac{50}{r _{1}} = 2 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

K^{'} (r_{1}) = 2 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0 \Rightarrow r_{1}^{2} = 100 \Rightarrow r_{1} = 10

K^{''} (r_{1}) = \frac{400}{r _{1}^{3}}, K^{''} (10) = 0, 4 > 0

r_{2} = \frac{50}{10} = 5, K_{m i n} = 2 \cdot 10 + 4 \cdot 5 = 40

> MKK $(10 ∣ 5)$ , $K_{m i n} = 40$ GE

K (r_{1}) = 8 \cdot r_{1} + 2 \cdot \frac{250}{r _{1}^{2}} = 8 r_{1} + \frac{500}{r _{1}^{2}}

K^{'} (r_{1}) = 8 - \frac{1000}{r _{1}^{3}} = 0 \Rightarrow r_{1}^{3} = 125 \Rightarrow r_{1} = 5

K^{''} (r_{1}) = \frac{3000}{r _{1}^{4}}, K^{''} (5) = 4, 8 > 0

r_{2} = \frac{250}{25} = 10, K_{m i n} = 8 \cdot 5 + 2 \cdot 10 = 60

> MKK $(5 ∣ 10)$ , $K_{m i n} = 60$ GE

K (r_{1}) = 4 \cdot r_{1} + 2 \cdot (\frac{8}{r _{1} - 3} + 2) = 4 r_{1} + \frac{16}{r _{1} - 3} + 4

K^{'} (r_{1}) = 4 - \frac{16}{( r _{1} - 3 ) ^{2}} = 0 \Rightarrow (r_{1} - 3)^{2} = 4 \Rightarrow r_{1} - 3 = 2 oder r_{1} - 3 = - 2

r_{1} = 5 (r_{1} = 1 entf \overset{a}{¨} llt, denn r_{1} > 3)

K^{''} (r_{1}) = \frac{32}{( r _{1} - 3 ) ^{3}}, K^{''} (5) = 4 > 0

r_{2} = \frac{8}{2} + 2 = 6, K_{m i n} = 4 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 32

> MKK $(5 ∣ 6)$ , $K_{m i n} = 32$ GE

Isokostenlinien

Im Bild der Isoquante seht ihr die Rezepte, aber nicht ihre Kosten. Zwei Rezepte für 40 ME kosten gleich viel:

(4 ∣ 4) : (16 ∣ 1) : 3 \cdot 4 + 12 \cdot 4 = 60 GE 3 \cdot 16 + 12 \cdot 1 = 60 GE

Welche Rezepte kosten auch genau 60 GE? Alle mit $3 \cdot r_{1} + 12 \cdot r_{2} = 60$ . Nach $r_{2}$ umgestellt:

3 \cdot r_{1} + 12 \cdot r_{2} 12 \cdot r_{2} r_{2} = 60 = 60 - 3 \cdot r_{1} = \frac{60}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = 5 - 0, 25 r_{1}

Eine Gerade. Sie heißt Isokostenlinie (iso: gleich), in Aufgaben auch Isokostenkurve. Alle Rezepte auf ihr kosten 60 GE.

Isokostenlinie K = 60 mit Achsenabschnitten und Steigungsdreieck

Das Dreieck zeigt, woher die Steigung kommt. 1 ME Faktor 1 mehr kostet $q_{1} = 3$ GE mehr. Damit $K$ gleich bleibt, spart die Firma diese 3 GE bei Faktor 2. Das sind $\frac{3}{12} = 0, 25$ ME Faktor 2 weniger. Allgemein:

r_{2} r_{2} = \frac{60}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = \frac{K}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} \cdot r_{1}

Jetzt ihr

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

, Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

Berühren statt schneiden

Wo auf der Isoquante liegt das billigste Rezept? Vom Marktgleichgewicht kennt ihr: zwei Graphen gleichsetzen, der Schnittpunkt ist das Ergebnis. Die Linie für 60 GE schneidet die Isoquante sogar zweimal, in $(4 ∣ 4)$ und $(16 ∣ 1)$ . Dazwischen liegt aber $(10 ∣ 1, 6)$ für nur 49,2 GE.

Weniger Geld heißt kleinere Achsenabschnitte bei gleicher Steigung. Die Linie rückt parallel nach innen:

K = 60 : K = 48 : K = 36 : r_{2} = \frac{60}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = 5 - 0, 25 r_{1} r_{2} = \frac{48}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = 4 - 0, 25 r_{1} r_{2} = \frac{36}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = 3 - 0, 25 r_{1}

Parallele Isokostenlinien an der Isoquante und waagerechte Linien am Kostengraphen

Oben werden die zwei Schnittpunkte bei 48 GE zu einem: Die Linie berührt die Isoquante in $(8 ∣ 2)$ . Bei 36 GE trifft sie die Isoquante gar nicht. Für 36 GE gibt es keine 40 ME. Unten steht dasselbe an der Kostenkurve: Die Höhe 60 GE trifft $K (r_{1})$ zweimal, die Höhe 48 GE nur im Tiefpunkt $T (8 ∣ 48)$ , die Höhe 36 GE nie.

Der Berührpunkt ist die MKK: $(8 ∣ 2)$ für 48 GE, genau über dem Tiefpunkt von $K (r_{1})$ .

Gleichsetzen zeigt dasselbe. Isoquante gleich Isokostenlinie, für ein beliebiges $K$ :

\frac{16}{r _{1}} 192 3 r_{1}^{2} - K \cdot r_{1} + 192 r_{1}^{2} - \frac{K}{3} \cdot r_{1} + 64 = \frac{K}{12} - 0, 25 r_{1} = K \cdot r_{1} - 3 r_{1}^{2} = 0 = 0 \cdot 12 r_{1} + 3 r_{1}^{2} - K \cdot r_{1} : 3

$K$	Gleichung	Lösungen (pq-Formel)	Lage
60	$r_{1}^{2} - 20 r_{1} + 64 = 0$	$r_{1} = 10 \pm 6$ : 4 und 16	schneidet zweimal
48	$r_{1}^{2} - 16 r_{1} + 64 = 0$	$r_{1} = 8 \pm 0$ : nur 8	berührt
36	$r_{1}^{2} - 12 r_{1} + 64 = 0$	$r_{1} = 6 \pm 36 - 64$ : keine	verfehlt

Merken: Schneidet eine Isokostenlinie die Isoquante zweimal, geht es billiger. Die MKK liegt dort, wo eine Isokostenlinie die Isoquante berührt.

Gleiche Steigung

Im Bild war $K = 48$ schon bekannt. Wie findet man den Berührpunkt, ohne $K$ zu kennen? Im Berührpunkt ist die Isokostenlinie die Tangente der Isoquante. Beide haben dort dieselbe Steigung. Jede Isokostenlinie hat die Steigung $- \frac{q _{1}}{q _{2}} = - \frac{3}{12}$ , egal wie groß $K$ ist. Die Steigung der Isoquante ist $r_{2}^{'} (r_{1})$ , das $m$ ihrer Tangente:

r_{2} (r_{1}) = 16 r_{1}^{- 1} \Rightarrow r_{2}^{'} (r_{1}) = - 16 r_{1}^{- 2} = - \frac{16}{r _{1}^{2}}

Gleiche Steigung:

- \frac{16}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{12} \Rightarrow r_{1}^{2} = 64 \Rightarrow r_{1} = 8 (r_{1} = - 8 entf \overset{a}{¨} llt)

r_{2} = \frac{16}{8} = 2, K_{m i n} = 3 \cdot 8 + 12 \cdot 2 = 48

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{48}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = 4 - 0, 25 r_{1}

> MKK $(8 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 48$ GE

Dasselbe Rezept, und $K$ kam erst am Ende heraus.

Was sagt $r_{2}^{'} (r_{1})$ über die Rezepte? Jede Ableitung gibt ungefähr die Änderung für eine Einheit mehr an, so wie die Grenzkosten $K^{'} (x)$ . Hier heißt das: 1 ME Faktor 1 mehr, dann ändert sich $r_{2}$ um etwa $r_{2}^{'} (r_{1})$ ME. Die Menge bleibt 40 ME, denn das Rezept wandert auf der Isoquante.

Isokostenlinie berührt die Isoquante in der MKK, Tangenten mit ihren Steigungen

Rezept	$r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{16}{r _{1}^{2}}$	1 ME Faktor 1 mehr ersetzt etwa
$(2 ∣ 8)$	$- \frac{16}{4} = - 4$	4 ME Faktor 2
$(4 ∣ 4)$	$- \frac{16}{16} = - 1$	1 ME Faktor 2
$(8 ∣ 2)$	$- \frac{16}{64} = - 0, 25$	0,25 ME Faktor 2
$(16 ∣ 1)$	$- \frac{16}{256} = - 0, 0625$	0,0625 ME Faktor 2

Die Steigung $r_{2}^{'} (r_{1})$ der Isoquante heißt Grenzrate der technischen Substitution (Substitution: Ersetzen). Das Minus zeigt: Faktor 2 wird weniger.

Von links nach rechts wächst die Steigung: $- 4 < - 1 < - 0, 25 < - 0, 0625$ . Eine ME Faktor 1 mehr ersetzt also immer weniger Faktor 2, je mehr Faktor 1 schon im Rezept ist. Die Isoquante ist linksgekrümmt:

r_{2}^{''} (r_{1}) = 32 r_{1}^{- 3} = \frac{32}{r _{1}^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

Im Bild liegt die ganze Isoquante über der roten Linie. Jedes andere Rezept für 40 ME liegt also auf einer teureren Isokostenlinie weiter außen.

Merken: Im Berührpunkt sind beide Steigungen gleich: $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ . Dieser Punkt ist die MKK.

Schema: MKK über gleiche Steigungen

Hier steht der zweite Weg allgemein:

1. Isoquante ableiten: $r_{2}^{'} (r_{1})$ 2. Gleiche Steigung: $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich behalten 3. $r_{2}$ berechnen: das gefundene $r_{1}$ in die Isoquante einsetzen 4. $K_{m i n} = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ 5. Isokostenlinie der MKK: $r_{2} = \frac{K _{m i n}}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} \cdot r_{1}$ 6. Krümmung prüfen: $r_{2}^{''} (r_{1}) > 0$ , die Isoquante ist linksgekrümmt, also Kostenminimum 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

a) Isoquante $r_{2} = \frac{30}{r _{1}}$ , $q_{1} = 6$ , $q_{2} = 5$

r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{30}{r _{1}^{2}} = - \frac{6}{5} \Rightarrow r_{1}^{2} = 25 \Rightarrow r_{1} = 5

r_{2} = \frac{30}{5} = 6, K_{m i n} = 6 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = 60

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{60}{5} - \frac{6}{5} \cdot r_{1} = 12 - 1, 2 r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{60}{r _{1}^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

> MKK $(5 ∣ 6)$ , $K_{m i n} = 60$ GE

b) Isoquante $r_{2} = \frac{9}{r _{1} - 1} + 2$ , $r_{1} > 1$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$

r_{2}^{'} (r_{1}) = - 9 (r_{1} - 1)^{- 2} = - \frac{9}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - \frac{8}{2} \Rightarrow (r_{1} - 1)^{2} = 2, 25 \Rightarrow r_{1} - 1 = 1, 5 oder r_{1} - 1 = - 1, 5

r_{1} = 2, 5 (r_{1} = - 0, 5 entf \overset{a}{¨} llt, denn r_{1} > 1)

r_{2} = \frac{9}{1 , 5} + 2 = 8, K_{m i n} = 8 \cdot 2, 5 + 2 \cdot 8 = 36

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{36}{2} - \frac{8}{2} \cdot r_{1} = 18 - 4 r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{18}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 1

> MKK $(2, 5 ∣ 8)$ , $K_{m i n} = 36$ GE

c) Isoquante $r_{2} = \frac{16}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$

r_{2}^{'} (r_{1}) = - 32 r_{1}^{- 3} = - \frac{32}{r _{1}^{3}} = - \frac{2}{4} \Rightarrow r_{1}^{3} = 64 \Rightarrow r_{1} = 4

r_{2} = \frac{16}{16} = 1, K_{m i n} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 12

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{12}{4} - \frac{2}{4} \cdot r_{1} = 3 - 0, 5 r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{96}{r _{1}^{4}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

> MKK $(4 ∣ 1)$ , $K_{m i n} = 12$ GE

d) Isoquante $r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$ . Bei welchem Preisverhältnis ist $(2 ∣ 8)$ die MKK?

r_{2}^{'} (2) = - \frac{16}{2 ^{2}} = - 4 = - \frac{q _{1}}{q _{2}} \Rightarrow \frac{q _{1}}{q _{2}} = 4

> $q_{1} : q_{2} = 4 : 1$ , zum Beispiel $q_{1} = 12$ GE je ME und $q_{2} = 3$ GE je ME

Jetzt ihr

Isoquante

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

MKK

(8 ∣ 4)

K_{m i n} = 32

GE,

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

Wenn ein Faktor teurer wird

Faktor 1 wird teurer: $q_{1} = 12$ statt 3 GE je ME, $q_{2} = 12$ bleibt. Die Isoquante bleibt, denn welche Rezepte 40 ME liefern, hängt nicht von den Preisen ab. Die Isokostenlinie ändert sich:

Isokostenlinie	Gleichung	$r_{2}$ -Abschnitt $\frac{K}{q _{2}}$	$r_{1}$ -Abschnitt $\frac{K}{q _{1}}$	Steigung $- \frac{q _{1}}{q _{2}}$
$K = 48$ , $q_{1} = 3$	$r_{2} = 4 - 0, 25 r_{1}$	$\frac{48}{12} = 4$	$\frac{48}{3} = 16$	$- \frac{3}{12} = - 0, 25$
$K = 60$ , $q_{1} = 3$	$r_{2} = 5 - 0, 25 r_{1}$	$\frac{60}{12} = 5$	$\frac{60}{3} = 20$	$- \frac{3}{12} = - 0, 25$
$K = 48$ , $q_{1} = 12$	$r_{2} = 4 - 1 \cdot r_{1}$	$\frac{48}{12} = 4$	$\frac{48}{12} = 4$	$- \frac{12}{12} = - 1$

Ein anderes $K$ ändert nur die Abschnitte: Die Linie verschiebt sich parallel. Ein anderes $q_{1}$ ändert die Steigung, und der $r_{2}$ -Abschnitt $\frac{K}{q _{2}}$ bleibt: Die Linie dreht sich um den Punkt $(0 ∣ 4)$ . Die neue MKK, mit gleichen Steigungen:

r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{16}{r _{1}^{2}} = - \frac{12}{12} = - 1 \Rightarrow r_{1}^{2} = 16 \Rightarrow r_{1} = 4

r_{2} = \frac{16}{4} = 4, K_{m i n} = 12 \cdot 4 + 12 \cdot 4 = 96

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{96}{12} - \frac{12}{12} \cdot r_{1} = 8 - r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{32}{r _{1}^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

> neue MKK $(4 ∣ 4)$ , $K_{m i n} = 96$ GE

Das alte Rezept $(8 ∣ 2)$ kostet jetzt $12 \cdot 8 + 12 \cdot 2 = 120$ GE. Die Firma nimmt also weniger Faktor 1 und mehr Faktor 2.

Drehung der Isokostenlinie bei höherem Preis q1 und neue MKK

Die gedrehte Linie für 48 GE trifft die Isoquante nicht mehr. Für 40 ME braucht die Firma jetzt 96 GE.

Halbieren sich dagegen beide Preise, $q_{1} = 1, 5$ und $q_{2} = 6$ , bleibt die Steigung $- \frac{1 , 5}{6} = - 0, 25$ . Die MKK bleibt $(8 ∣ 2)$ , nur die Kosten halbieren sich: $K_{m i n} = 1, 5 \cdot 8 + 6 \cdot 2 = 24$ GE.

Merken: Ein anderes $K$ verschiebt die Isokostenlinie parallel, ein anderer Preis dreht sie. Für die Lage der MKK zählt nur das Preisverhältnis $\frac{q _{1}}{q _{2}}$ .

Übungen 2

Bestimmt mit gleichen Steigungen die MKK, $K_{m i n}$ und die Isokostenlinie der MKK.

a) $r_{2} = \frac{12}{r _{1}}$ , $q_{1} = 3$ , $q_{2} = 4$

b) $r_{2} = \frac{2}{r _{1} - 1} + 3$ , $r_{1} > 1$ , $q_{1} = 6$ , $q_{2} = 3$

c) Isoquante $r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$ . Bei welchem Preisverhältnis ist $(9 ∣ 4)$ die MKK?

d) Isoquante $r_{2} = \frac{12}{r _{1}}$ , $q_{1} = 3$ . Faktor 2 wird teurer: $q_{2} = 9$ statt 4. Bestimmt die neue MKK und die Kosten des alten Rezepts $(4 ∣ 3)$ zu den neuen Preisen.

Lösungen Schritt für Schritt

r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{4} \Rightarrow r_{1}^{2} = 16 \Rightarrow r_{1} = 4

r_{2} = \frac{12}{4} = 3, K_{m i n} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} \cdot r_{1} = 6 - 0, 75 r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

> MKK $(4 ∣ 3)$ , $K_{m i n} = 24$ GE

r_{2}^{'} (r_{1}) = - 2 (r_{1} - 1)^{- 2} = - \frac{2}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - \frac{6}{3} \Rightarrow (r_{1} - 1)^{2} = 1 \Rightarrow r_{1} - 1 = 1 oder r_{1} - 1 = - 1

r_{1} = 2 (r_{1} = 0 entf \overset{a}{¨} llt, denn r_{1} > 1)

r_{2} = \frac{2}{1} + 3 = 5, K_{m i n} = 6 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 27

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{27}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 9 - 2 r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{4}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 1

> MKK $(2 ∣ 5)$ , $K_{m i n} = 27$ GE

r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{36}{r _{1}^{2}}, r_{2}^{'} (9) = - \frac{36}{81} = - \frac{4}{9} = - \frac{q _{1}}{q _{2}} \Rightarrow \frac{q _{1}}{q _{2}} = \frac{4}{9}

> $q_{1} : q_{2} = 4 : 9$ , zum Beispiel $q_{1} = 4$ GE je ME und $q_{2} = 9$ GE je ME

r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{9} \Rightarrow r_{1}^{2} = 36 \Rightarrow r_{1} = 6

r_{2} = \frac{12}{6} = 2, K_{m i n} = 3 \cdot 6 + 9 \cdot 2 = 36

Isokostenlinie: r_{2} = \frac{36}{9} - \frac{3}{9} \cdot r_{1} = 4 - \frac{1}{3} r_{1}

r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0 f \overset{u}{¨} r r_{1} > 0

altes Rezept zu neuen Preisen: 3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 39 GE

> neue MKK $(6 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 36$ GE; das alte Rezept $(4 ∣ 3)$ kostet jetzt 39 GE

MKK und Kostenfunktion

Was kostet eine andere Menge? Für 60 ME gilt die Isoquante $r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$ . Bei denselben Preisen $q_{1} = 3$ und $q_{2} = 12$ , mit gleichen Steigungen:

- \frac{36}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{12} \Rightarrow r_{1}^{2} = 144 \Rightarrow r_{1} = 12, r_{2} = \frac{36}{12} = 3, K_{m i n} = 3 \cdot 12 + 12 \cdot 3 = 72

Menge $x$	Isoquante	MKK	$K_{m i n}$
40 ME	$r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$	$(8 ∣ 2)$	48 GE
60 ME	$r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$	$(12 ∣ 3)$	72 GE

MKK für 40 ME und 60 ME und die variablen Kosten Kv(x)

Die Kostenfunktion $K (x)$ aus dem Kapitel Kostenfunktion gibt zu jeder Menge $x$ die Kosten an. Sie rechnet damit, dass die Firma jede Menge mit ihrer MKK herstellt. Beide Faktoren wachsen mit der Menge. Ihre Kosten sind darum variable Kosten:

K_{v} (40) = 48 GE, K_{v} (60) = 72 GE

Dazu kommen wie gewohnt die Fixkosten: $K (x) = K_{v} (x) + K_{f}$ . Rechts im Bild steht die Menge $x$ wieder auf der waagerechten Achse.

Funktion	Eingabe	Ausgabe
$K (r_{1}) = 3 r_{1} + \frac{192}{r _{1}}$	Menge Faktor 1, Produkt fest bei 40 ME	Kosten dieses Rezepts
$K_{v} (x)$	Menge Produkt $x$	Kosten der MKK für diese Menge

Jetzt ihr

Für 90 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{81}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (90)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

Lösung

MKK

(18 ∣ 4, 5)

K_{v} (90) = 108

Theorie: Warum gleiche Steigung?

Warum liefern beide Wege dasselbe Rezept? Im ersten Weg steckt die Isoquante in den Kosten:

K (r_{1}) = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2} (r_{1})

Mit Faktor- und Summenregel abgeleitet:

K^{'} (r_{1}) = q_{1} + q_{2} \cdot r_{2}^{'} (r_{1})

Beide Teile haben eine Bedeutung. 1 ME Faktor 1 mehr kostet $q_{1}$ . Dabei ändert sich $r_{2}$ um etwa $r_{2}^{'} (r_{1})$ ME, und das ändert die Kosten um $q_{2} \cdot r_{2}^{'} (r_{1})$ . Im Beispiel mit $r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$ , $q_{1} = 3$ und $q_{2} = 12$ :

Rezept	Faktor 1: $+ 1$ ME	Faktor 2: $r_{2}^{'} (r_{1})$ ME	$K^{'} (r_{1}) = 3 + 12 \cdot r_{2}^{'} (r_{1})$	Kosten nach rechts
$(4 ∣ 4)$	$+ 3$ GE	$12 \cdot (- 1) = - 12$ GE	$3 - 12 = - 9$	fallen: mehr Faktor 1 lohnt
$(8 ∣ 2)$	$+ 3$ GE	$12 \cdot (- 0, 25) = - 3$ GE	$3 - 3 = 0$	Tiefpunkt
$(16 ∣ 1)$	$+ 3$ GE	$12 \cdot (- 0, 0625) = - 0, 75$ GE	$3 - 0, 75 = 2, 25$	steigen: weniger Faktor 1 lohnt

An $(4 ∣ 4)$ spart die ME Faktor 1 mehr, als sie kostet. An $(16 ∣ 1)$ kostet sie mehr, als sie spart. Im Tiefpunkt heben sich beide Teile auf:

q_{1} + q_{2} \cdot r_{2}^{'} (r_{1}) = 0 \Leftrightarrow q_{2} \cdot r_{2}^{'} (r_{1}) = - q_{1} \Leftrightarrow r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}

Die gleiche Steigung ist also die notwendige Bedingung $K^{'} (r_{1}) = 0$ , nur umgestellt. Im Tiefpunkt ersetzt 1 ME Faktor 1 genau so viel Faktor 2, wie sie am Markt kostet:

Isoquante: Isokostenlinie: r_{2}^{'} (8) = - 0, 25 - \frac{3}{12} = - 0, 25 1 ME Faktor 1 ersetzt 0,25 ME Faktor 2 1 ME Faktor 1 kostet so viel wie 0,25 ME Faktor 2

Ebenso die zweite Ableitung:

K^{''} (r_{1}) = q_{2} \cdot r_{2}^{''} (r_{1})

Im Beispiel ist $r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{32}{r _{1}^{3}}$ , also $K^{''} (r_{1}) = 12 \cdot \frac{32}{r _{1}^{3}} = \frac{384}{r _{1}^{3}}$ . Das ist die hinreichende Bedingung aus dem ersten Weg: $K^{''} (8) = \frac{384}{512} = 0, 75 > 0$ . Ist die Isoquante linksgekrümmt, ist $r_{2}^{''} > 0$ und damit $K^{''} > 0$ . Der Berührpunkt ist dann immer das Kostenminimum.