Algebra

2.1 Potenzgesetze

Was eine Potenz ist

Man liest „2 hoch 3“. Den Exponenten nennt man umgangssprachlich auch „Hochzahl“.

Potenz	Faktoren	Wert
$1 0^{4}$	$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$	$10000$
$5^{2}$	$5 \cdot 5$	$25$
$x^{5}$	$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$	bleibt $x^{5}$
$x^{1}$	ein einzelner Faktor $x$	$x$

Achtung: $5^{2}$ ist $5 \cdot 5 = 25$ , nicht $5 \cdot 2 = 10$ .

Allgemein ist $x^{n}$ das Produkt aus $n$ Faktoren $x$ . Dabei steht $n$ für irgendeine Anzahl.

Minus vor einer Potenz

Der Exponent gehört nur zu dem, was direkt vor ihm steht.

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Probe mit Zahlen: $2^{2} \cdot 2^{5} = 4 \cdot 32 = 128$ , und $2^{7} = 128.$

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

- $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$ - $x \cdot x^{6} = x^{1} \cdot x^{6} = x^{7}$ - $y^{4} \cdot y^{4} = y^{8}$ , nicht $y^{16}$

Bei verschiedenen Basen und bei einer Summe gilt das Gesetz nicht:

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Eine Division schreibt man als Bruch: $x^{5} : x^{2} = \frac{x ^{5}}{x ^{2}}$ .

Probe mit Zahlen: $\frac{2 ^{5}}{2 ^{2}} = \frac{32}{4} = 8$ , und $2^{3} = 8.$

\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}

Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Man schreibt auch $x^{m} : x^{n}$ .

- $\frac{x ^{7}}{x ^{4}} = x^{3}$ - $\frac{2 ^{6}}{2 ^{2}} = 2^{4} = 16$

Bei einer Differenz und bei verschiedenen Basen gilt das Gesetz nicht:

Der Exponent 0

$\neq =$ heißt „ungleich“. Für $x = 0$ stünde $\frac{0}{0}$ da, und durch $0$ kann man nicht teilen.

- $5^{0} = 1$ - $(- 3)^{0} = 1$

$x^{0}$ ist keine Anzahl von Faktoren. Man legt es so fest, dass das Gesetz weiter gilt.

Negative Exponenten

Ein negativer Exponent heißt: Die Faktoren stehen im Nenner.

- $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ - $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . Das ist positiv, nicht $- 4$ .

Aus $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ folgt: Eine Potenz kann über den Bruchstrich wandern. Das Vorzeichen ihres Exponenten, also $+$ oder $-$ , wechselt dabei.

Eine Zahl im Zähler (hier die $3$ , allgemein $c$ ) bleibt stehen:

\frac{c}{x ^{n}} = c \cdot x^{- n}

- $\frac{1}{x ^{5}} = x^{- 5}$

Es geht auch rückwärts: Ein negativer Exponent im Nenner wird oben positiv.

- $\frac{4}{x ^{- 3}} = 4 \cdot x^{3}$ - $\frac{10}{x ^{- 4}} = 10 \cdot x^{4}$

Potenzen potenzieren

Probe mit Zahlen: $(2^{2})^{3} = 4^{3} = 64$ , und $2^{6} = 64.$

(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}

Die Exponenten werden multipliziert.

- $(x^{3})^{2} = x^{6}$ - $(x^{2})^{5} = x^{10}$ - $(x^{2})^{12} = x^{24}$

Produkt und Quotient potenzieren

Ein Produkt ist ein Malnehmen wie $x \cdot y$ , ein Quotient ein Bruch wie $\frac{x}{y}$ .

(x \cdot y)^{n} = x^{n} \cdot y^{n}

(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}

Der Exponent gilt für jeden Faktor in der Klammer und für Zähler und Nenner, auch für eine Zahl:

- $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ - $(3 y)^{2} = 9 y^{2}$ - $(\frac{x}{2})^{2} = \frac{x ^{2}}{4}$

Bei einer Summe (Plus) gilt das nicht:

(x + y)^{2} \neq = x^{2} + y^{2}

Probe mit $x = 1$ , $y = 2$ : $(1 + 2)^{2} = 9$ , aber $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Wurzeln als Potenzen

Die kleine Zahl an der Wurzel zählt die Faktoren. Steht keine da, sind es zwei.

Ein Exponent ist jetzt keine Anzahl mehr. Er wird wieder so gewählt, dass die Gesetze weiter gelten:

x = x^{\frac{1}{2}}

Probe: $9^{\frac{1}{2}} = 9 = 3$ . Genauso mit drei Faktoren:

x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = x^{1}

Allgemein:

n x = x^{\frac{1}{n}}

n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}

- $3 x = x^{\frac{1}{3}}$ - $7 x^{9} = x^{\frac{9}{7}}$ - $38 = 8^{\frac{1}{3}} = 2$ , denn $2^{3} = 8$

Als Potenz geschrieben gelten für Wurzeln alle Gesetze:

- $x \cdot x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{1} = x^{\frac{1}{2} + 1} = x^{\frac{3}{2}}$ - $\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$

Überblick

Gesetz	Formel
gleiche Basis multiplizieren	$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$
gleiche Basis dividieren	$\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$
Potenz potenzieren	$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$
Produkt potenzieren	$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$
Quotient potenzieren	$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}$
negativer Exponent	$\frac{c}{x ^{n}} = c \cdot x^{- n}$
Wurzel	$n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}$
Sonderfälle	$x^{1} = x$ , $x^{0} = 1$ $(x \neq = 0)$

Aufgaben

Jetzt ihr

Vereinfachen Sie. a)

x^{4} \cdot x^{3}

\frac{y ^{9}}{y ^{3}}

(x^{4})^{3}

Lösung

x^{7}

y^{6}

x^{12}

Jetzt ihr

Vereinfachen Sie. a)

(2 x)^{3}

(\frac{x}{3})^{2}

Lösung

8 x^{3}

\frac{x ^{2}}{9}

Jetzt ihr

Schreiben Sie als Potenz. a)

\frac{5}{x ^{2}}

4 x^{3}

\frac{1}{3 x}

Lösung

5 x^{- 2}

x^{\frac{3}{4}}

x^{- \frac{1}{3}}

Jetzt ihr

Berechnen Sie. a)

(- 4)^{2}

- 4^{2}

2^{- 1}

Lösung

16

- 16

\frac{1}{2}

2.2 Terme umformen

$3 (x + 4)$ und $3 x + 12$ sind zwei Terme: Rechenausdrücke mit Zahlen und einer Variable $x$ , einem Buchstaben für eine Zahl. $3 x$ heißt $3 \cdot x$ , und $3 (x + 4)$ heißt $3 \cdot (x + 4)$ : Der Malpunkt fehlt oft. Man rechnet zuerst die Klammer, dann Punkt vor Strich.

Setzt man für $x$ eine Zahl ein, bekommt jeder Term einen Wert.

Für jede Zahl kommt bei beiden dasselbe heraus. Die Terme sind gleich, nur in anderer Gestalt.

Umformen: neue Gestalt, gleicher Wert.

Probe: eine Zahl einsetzen, beide Werte vergleichen.

Wie verwandelt man die eine Gestalt in die andere? Fünf Wege:

1. zusammenfassen 2. ausmultiplizieren 3. ausklammern 4. kürzen 5. Brüche addieren

Fassen Sie zusammen

Die Teile eines Terms zwischen $+$ und $-$ heißen Glieder; das Zeichen davor gehört zum Glied. $3 x + 5 x$ hat zwei Glieder. Jedes $x$ ist ein Stück derselben Sorte:

Darf man auch $x$ und $x^{2}$ zusammenfassen? $x^{2}$ heißt $x \cdot x$ ; die kleine $2$ heißt Exponent, $x^{2}$ eine Potenz.

$x$ und $x^{2}$ sind verschiedene Sorten. Darum bleibt $x + x^{2}$ so stehen.

Zusammenfassen darf man nur Glieder mit derselben Variable und demselben Exponenten. Man rechnet die Zahlen davor zusammen, mit ihrem Vorzeichen, dem $+$ oder $-$ davor. Steht keine Zahl davor, ist es eine $1$ . Zahlen ohne Variable sind auch eine Sorte:

2 x + 7 + 4 x - 3 = 2 x + 4 x + 7 - 3 = 6 x + 4

Probe mit $x = 1$ : $2 + 7 + 4 - 3 = 10$ und $6 + 4 = 10$ .

$ab$ heißt $a \cdot b$ , wie $3 x$ .

Term	zusammengefasst
$4 a^{2} - 1 a^{2}$	$3 a^{2}$
$5 ab - 2 ab$	$3 ab$
$3 x + 5 y$	bleibt so
$x \cdot x$	$x^{2}$ , nicht $2 x$

Multiplizieren Sie aus

$3 (x + 4)$ ist die Fläche des ganzen Rechtecks, $3 x + 12$ die Summe seiner Teile.

Probe mit $x = 2$ : $3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18$ und $3 \cdot 2 + 12 = 18$ .

Die Zahl vor der Klammer ist ein Faktor: Sie wird malgenommen, und zwar mit jedem Glied in der Klammer. In der Regel steht $k$ für den Faktor, $m$ und $n$ für die Glieder.

Falsch ist $3 (x + 4) = 3 x + 4$ : Die $4$ hat den Faktor nicht bekommen. Mit $x = 1$ : $3 \cdot 5 = 15$ , aber $3 + 4 = 7$ .

Term	ausmultipliziert
$2 (5 x - 3)$	$10 x - 6$
$x (x + 3)$	$x^{2} + 3 x$

Minus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer ist der Faktor $- 1$ . Für ihn gilt:

- Minus mal Plus gibt Minus: $(- 1) \cdot 2 x = - 2 x$ . - Minus mal Minus gibt Plus: $(- 1) \cdot (- 4) = + 4$ .

Probe mit $x = 1$ : $5 - (2 - 4) = 5 - (- 2) = 7$ und $3 + 4 = 7$ .

Jedes Vorzeichen in der Klammer kehrt sich um.

Term	ausmultipliziert
$10 - (x + 3)$	$7 - x$
$- 4 (x - 2)$	$- 4 x + 8$
$a + (b - c)$	$a + b - c$

Probe für die erste Zeile mit $x = 1$ : $10 - (1 + 3) = 6$ und $7 - 1 = 6$ .

Zwei Klammern

Ein Rechteck hat jetzt zwei geteilte Seiten, $x + 2$ und $x + 5$ . Jedes Glied der einen Seite wird mit jedem Glied der anderen multipliziert:

Probe mit $x = 1$ : $(1 + 2) (1 + 5) = 3 \cdot 6 = 18$ und $1 + 7 + 10 = 18$ .

Binomische Formeln

Eine Klammer mit zwei Gliedern heißt Binom, etwa $x + 3$ . $(x + 3)^{2}$ heißt $(x + 3) \cdot (x + 3)$ : Beide Seiten sind gleich, das Rechteck ist ein Quadrat.

Die zwei gleichen Glieder in der Mitte heißen Mittelglieder.

Probe mit $x = 1$ : $(1 + 3)^{2} = 16$ und $1 + 6 + 9 = 16$ .

Falsch ist $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ : Die Mittelglieder fehlen. Mit $x = 1$ : $16$ , aber $1 + 9 = 10$ .

Mit Minus in der Klammer rechnet man im selben Schema aus vier Feldern, jedes Glied mit jedem. Die Felder sind hier nur ein Rechenschema, keine Flächen: Eine Länge $- 5$ gibt es nicht.

Probe mit $x = 1$ : $(1 - 5)^{2} = (- 4)^{2} = 16$ und $1 - 10 + 25 = 16$ .

Bei $(x + 4) (x - 4)$ heben sich die Mittelglieder auf:

Probe mit $x = 5$ : $(5 + 4) (5 - 4) = 9 \cdot 1 = 9$ und $25 - 16 = 9$ .

Die drei Fälle, darunter jeweils allgemein. Statt $x$ steht $a$ , statt $3$ , $5$ oder $4$ steht $b$ . Jedes Mittelglied ist $a \cdot b$ , zusammen $2 ab$ ; bei $(a + b) (a - b)$ heben sie sich auf.

(x + 3)^{2} (a + b)^{2} = x^{2} + 6 x + 9 = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(x - 5)^{2} (a - b)^{2} = x^{2} - 10 x + 25 = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(x + 4) (x - 4) (a + b) (a - b) = x^{2} - 16 = a^{2} - b^{2}

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$ und $10 x = 2 \cdot x \cdot 5$ . Das sind die drei binomischen Formeln:

(a + b)^{2} (a - b)^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} - b^{2}

Auch $a$ kann ein Term sein. Bei $(2 x + 1)^{2}$ ist $a = 2 x$ und $b = 1$ :

a^{2} 2 ab b^{2} = (2 x)^{2} = 4 x^{2} = 2 \cdot 2 x \cdot 1 = 4 x = 1

Also $(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ . Probe mit $x = 1$ : $3^{2} = 9$ und $4 + 4 + 1 = 9$ .

Klammern Sie aus

Das ist der Rückweg vom Ausmultiplizieren: Ein Faktor, der in jedem Glied steckt, kommt vor die Klammer.

Probe: wieder ausmultiplizieren. $3 (2 x + 5) = 6 x + 15$ .

Auch eine Variable kann der Faktor sein:

x^{2} + 4 x = x \cdot x + 4 \cdot x = x (x + 4)

Man klammert den größten Faktor aus, der in allen Gliedern steckt. $x^{3}$ heißt $x \cdot x \cdot x$ . In $2 x^{3} - 6 x^{2}$ steckt in beiden Gliedern $2 x^{2}$ :

2 x^{3} 6 x^{2} = 2 x^{2} \cdot x = 2 x^{2} \cdot 3

Also $2 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (x - 3)$ . $2 (x^{3} - 3 x^{2})$ stimmt auch, ist aber nicht fertig: In der Klammer steckt noch $x^{2}$ .

Term	ausgeklammert
$10 a - 15$	$5 (2 a - 3)$
$4 x^{2} + 2 x$	$2 x (2 x + 1)$

Kürzen Sie

Steckt ein Faktor oben und unten in einem Bruch, darf man ihn streichen. Das heißt kürzen.

Gekürzt wird nur ein Faktor, der im ganzen Zähler und im ganzen Nenner steckt. Steht im Zähler eine Summe, also Glieder mit $+$ , klammert man zuerst aus:

\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = \frac{x ( x + 3 )}{x} = x + 3

Das gilt nur für $x \neq = 0$ ( $\neq =$ heißt „ungleich“), denn durch $0$ kann man nicht teilen.

Falsch ist $\frac{x + 3}{3} = x$ : Die $3$ oben ist ein Glied, kein Faktor. Mit $x = 3$ : $\frac{6}{3} = 2$ , aber nicht $3$ .

Addieren Sie die Brüche

Brüche mit demselben Nenner addiert man so: Zähler addieren, der Nenner bleibt.

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Haben die Nenner verschiedene Werte, macht man sie erst gleich. Dazu nimmt man Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal; der Wert bleibt. Das heißt erweitern:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

$6$ ist der gemeinsame Nenner von $2$ und $3$ .

Für $\frac{1}{x}$ und $\frac{2}{3}$ ist der gemeinsame Nenner $3 x$ , denn darin stecken $x$ und $3$ :

$\frac{3}{3 x}$ kürzt man hier nicht, sonst ist der gemeinsame Nenner wieder weg.

Probe mit $x = 3$ : $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ und $\frac{3 + 6}{9} = 1$ .

Allgemein, hier mit $a = 1$ , $b = x$ , $c = 2$ , $d = 3$ :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Term	addiert
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2}$	$\frac{2 + x}{2 x}$
$\frac{3}{x} - \frac{1}{4}$	$\frac{12 - x}{4 x}$

Probe für die zweite Zeile mit $x = 4$ : $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ und $\frac{12 - 4}{16} = \frac{1}{2}$ .

Zähler und Nenner addiert man nicht getrennt: $\frac{1}{x} + \frac{2}{3}$ ist nicht $\frac{3}{x + 3}$ . Mit $x = 3$ : $1$ , aber $\frac{1}{2}$ .

Überblick

Jede Umformung ändert die Gestalt, nicht den Wert:

1. zusammenfassen: $3 x + 5 x = 8 x$ 2. ausmultiplizieren: $3 (x + 4) = 3 x + 12$ - Minus vor der Klammer: $- (x - 4) = - x + 4$ - binomische Formel: $(x + 3)^{2}$ wird $x^{2} + 6 x + 9$ 3. ausklammern: $6 x + 15 = 3 (2 x + 5)$ 4. kürzen: $\frac{6 x}{3} = 2 x$ 5. Brüche addieren: $\frac{1}{x} + \frac{2}{3}$ wird $\frac{3 + 2 x}{3 x}$

Ob eine Umformung stimmt, prüft man immer gleich: eine Zahl einsetzen. Beide Gestalten müssen denselben Wert haben.

2.3 Gleichungen umstellen

Welche Zahl ist $x$ in $3 x + 5 = 20$ ?

Die Gegenrechnung von $+ 5$ ist $- 5$ , die von $\cdot 3$ ist $: 3$ . Wie beim Auspacken eines Geschenks: Was zuletzt eingepackt wurde, kommt zuerst ab. Das heißt Umstellen.

Warum auf beiden Seiten?

Die Rückwärtskette rechnet nur mit der 20, also mit der rechten Seite: $20 - 5 = 15$ . Was passiert mit der linken Seite $3 x + 5$ ? Eine Gleichung sagt: Links und rechts steht derselbe Wert, wie bei einer Waage im Gleichgewicht. Links liegen $3 x$ und 5, rechts 20:

Nimmst du nur links 5 weg, kippt die Waage. Nimmst du auf beiden Seiten 5 weg, bleibt sie gerade: links $3 x$ , rechts 15. Darum rechnest du jede Gegenrechnung auf beiden Seiten.

So schreibst du es auf

Hinter einen senkrechten Strich schreibst du, was auf beiden Seiten gerechnet wird. Jeder Pfeil der Rückwärtskette wird ein solcher Schritt:

Am Ende steht $x$ allein. Die Lösung ist $x = 5$ .

Ob sie stimmt, prüfst du mit der Probe: Du rechnest vorwärts, mit 5 statt $x$ .

So gehst du immer vor:

1. Lies die Kette ab: Welche Rechnungen wurden mit $x$ gemacht, in welcher Reihenfolge? 2. Mach sie rückwärts rückgängig, die letzte zuerst, jede mit ihrer Gegenrechnung, auf beiden Seiten. 3. Probe: vorwärts rechnen mit der Lösung.

Welche Rechnung kommt zuerst?

Für Schritt 1 musst du wissen: Was wird mit $x$ zuerst gerechnet? Setz für $x$ eine Zahl ein, hier $x = 2$ , und rechne aus. Was du zuerst rechnest, steht vorn in der Kette.

Term	eingesetzt	Kette
$3 x + 5$	$6$ , dann $11$	$\cdot 3$ , $+ 5$
$x \cdot 3 + 5$	$6$ , dann $11$	$\cdot 3$ , $+ 5$
$4 \cdot (x + 1)$	$3$ , dann $12$	$+ 1$ , $\cdot 4$

Es gilt dieselbe Reihenfolge wie beim Ausrechnen: erst die Klammer, dann Punktrechnung ( $\cdot$ , $:$ ), dann Strichrechnung ( $+$ , $-$ ). $3 x$ heißt $3 \cdot x$ , und $4 (x + 1)$ heißt $4 \cdot (x + 1)$ .

Lösen Sie die Gleichung

So heißt die Aufgabe in der Prüfung. Minus wird mit Plus rückgängig gemacht:

Probe: $10 - 7 = 3$ ✓

Geteilt wird mit Mal rückgängig gemacht:

Probe: $24 : 4 = 6$ ✓

Mit Klammer. In $4 \cdot (x + 1)$ wird zuerst $+ 1$ gerechnet, dann $\cdot 4$ . Also kommt beim Umstellen $: 4$ zuerst:

Probe: $4 \cdot (4 + 1) = 4 \cdot 5 = 20$ ✓

Gleichungen mit Quadrat

$x^{2}$ heißt $x \cdot x$ , zum Beispiel $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ . Die Gegenrechnung zum Quadrieren ist die Wurzel, zum Beispiel $25 = 5$ . In den Ketten steht das Quadrieren als $()^{2}$ .

Aber auch $(- 5)^{2} = (- 5) \cdot (- 5) = 25$ , denn Minus mal Minus ergibt Plus. Du siehst es an dieser Reihe. Die linke Zahl wird immer um 1 kleiner, das Ergebnis immer um 5 größer.

Rechnung	Ergebnis
$2 \cdot (- 5)$	$- 10$
$1 \cdot (- 5)$	$- 5$
$0 \cdot (- 5)$	$0$
$(- 1) \cdot (- 5)$	$5$
$(- 2) \cdot (- 5)$	$10$
$(- 3) \cdot (- 5)$	$15$
$(- 4) \cdot (- 5)$	$20$
$(- 5) \cdot (- 5)$	$25$

Darum hat $x^{2} = 25$ zwei Lösungen: $5$ und $- 5$ . Man schreibt kurz $x = \pm 5$ .

In $2 x^{2} - 8 = 42$ wird erst quadriert (die Potenz kommt vor Punkt und Strich), dann $\cdot 2$ , dann $- 8$ gerechnet. Mit $x = 2$ gilt $2^{2} = 4$ , dann $2 \cdot 4 = 8$ , dann $8 - 8 = 0$ . Rückwärts also erst $+ 8$ , dann $: 2$ , dann die Wurzel.

Probe: $2 \cdot 5^{2} - 8 = 2 \cdot 25 - 8 = 42$ ✓. Mit $- 5$ genauso, denn $(- 5)^{2} = 25$ .

In $x^{2} + 9 = 0$ führt die Rückwärtskette auf $x^{2} = - 9$ . Das zeigt die Kette.

Ein Quadrat ist nie negativ: Plus mal Plus ist Plus, Minus mal Minus ist auch Plus, und $0 \cdot 0 = 0$ . Darum hat diese Gleichung keine Lösung.

x auf beiden Seiten

In $5 x - 2 = 3 x + 8$ steht $x$ links und rechts. Eine Kette von $x$ zu einer Zahl gibt es so nicht. Darum nimmst du zuerst auf beiden Seiten $3 x$ weg. Das darfst du: $3 x$ ist ein fester Wert, auch wenn du ihn noch nicht kennst, und auf beiden Seiten dasselbe wegnehmen hält das Gleichgewicht.

Ab hier ist es die gewohnte Kette:

Probe: links $5 \cdot 5 - 2 = 23$ , rechts $3 \cdot 5 + 8 = 23$ ✓

Stellen Sie die Formel nach x um

„Nach $x$ umstellen“ heißt: Am Ende steht $x$ allein. In Formeln stehen Buchstaben statt Zahlen. Du stellst sie genauso um und behandelst die anderen Buchstaben wie Zahlen.

Aufgeschrieben:

m \cdot x + b m \cdot x x = y ∣ - b = y - b ∣ : m = (y - b) : m

Die Klammer sagt: erst $y - b$ ganz ausrechnen, dann durch $m$ teilen. Probe mit $m = 3$ , $b = 5$ und $y = 20$ ergibt $x = (20 - 5) : 3 = 5$ , die Lösung von $3 x + 5 = 20$ .

Der Bruchstrich

In Formeln schreibt man „geteilt“ meist als Bruchstrich:

15 : 3 = \frac{15}{3} = 5

(y - b) : m = \frac{y - b}{m}

Formeln aus der Physik

Gesucht ist hier nicht $x$ , sondern ein anderer Buchstabe. Das Vorgehen bleibt gleich.

Weg $s$ gleich Geschwindigkeit $v$ mal Zeit $t$ : $s = v \cdot t$ . Gesucht ist $t$ . Mit $t$ wird $\cdot v$ gerechnet, also teilst du durch $v$ :

s \frac{s}{v} = v \cdot t ∣ : v = t

$t$ steht hier rechts allein. Die Seiten darfst du tauschen: $\frac{s}{v} = t$ heißt dasselbe wie $t = \frac{s}{v}$ .

Mit Zahlen: $s = 120$ km, $v = 80$ km pro Stunde ergibt $t = \frac{120}{80} = 1, 5$ Stunden.

Die Variable im Nenner

Oft steht dieselbe Formel andersherum da: Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit, $v = \frac{s}{t}$ . Jetzt steht $t$ unten im Bruch.

Erst durch $t$ und dann mal $t$ hebt sich auf, zum Beispiel $\frac{120}{2} \cdot 2 = 60 \cdot 2 = 120$ . Darum holst du $t$ mit $\cdot t$ nach oben:

v v \cdot t v \cdot t t = \frac{s}{t} ∣ \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t = s ∣ : v = \frac{s}{v}

Mit Quadrat: Fallweg $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ , nach $t$ umstellen ( $a$ ist die Beschleunigung). Zwei Dinge vorher:

Mal $\frac{1}{2}$ ist dasselbe wie durch 2, zum Beispiel $10 \cdot \frac{1}{2} = 5 = 10 : 2$ . Darum ist die Gegenrechnung von $\cdot \frac{1}{2}$ die Rechnung $\cdot 2$ .

Bei lauter Mal ist die Reihenfolge egal: $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6$ . Darum darfst du die Kette so lesen: erst quadrieren, dann $\cdot a$ , dann $: 2$ .

Eine Zeit ist nie negativ. Darum gilt hier nur die positive Wurzel.

Mit Zahlen: $s = 20$ m, $a = 10$ Meter pro Sekunde im Quadrat ergibt $t = \frac{2 \cdot 20}{10} = 4 = 2$ Sekunden.

Genauso die Kreisfläche $A = π \cdot r^{2}$ nach $r$ . Dabei ist $π$ eine feste Zahl, ungefähr 3,14.

Ein Radius ist nie negativ, darum nur die positive Wurzel. Probe mit $A = 314$ : $314 : 3, 14 = 100$ und $100 = 10$ , also $r = 10$ .

Aufgaben

Jetzt ihr

Lösen Sie die Gleichung

x + 9 = 14

Lösung

x = 5

Jetzt ihr

Lösen Sie die Gleichung

6 x - 4 = 32

Lösung

x = 6

Jetzt ihr

Lösen Sie die Gleichung

3 (x - 2) = 15

Lösung

x = 7

Jetzt ihr

Lösen Sie die Gleichung

x^{2} - 3 = 46

Lösung

x = \pm 7

Jetzt ihr

Lösen Sie die Gleichung

7 x + 1 = 4 x + 13

Lösung

x = 4

Jetzt ihr

Stellen Sie die Formel für die Spannung

U = R \cdot I

nach

I

um.

Lösung

I = \frac{U}{R}

Jetzt ihr

Stellen Sie die Formel für die Energie

E = \frac{1}{2} m v^{2}

nach

v

um;

m

ist hier die Masse.

Lösung

v = \frac{2 E}{m}

, nur positiv, denn gesucht ist nur die Größe der Geschwindigkeit ohne Richtung