Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist die Kettenregel rückwärts. Die Kettenregel leitet eine Funktion ab, in der eine zweite Funktion steckt. Dabei hängt sie die Ableitung der inneren Funktion als Faktor an:

e^{x^{2}} ableiten e^{x^{2}} \cdot 2 x

e^{x^{2}} + c integrieren e^{x^{2}} \cdot 2 x

e hoch x² ableiten ergibt e hoch x² mal 2x, integrieren geht zurück

Beim Ableiten kommt der Faktor $2 x$ dazu. Beim Integrieren fällt er wieder weg.

Solche Integrale erkennt ihr an zwei Dingen: Eine Funktion steckt in einer anderen Funktion. Und die Ableitung der inneren Funktion steht als Faktor daneben.

Die Kettenregel rückwärts

Beispiel

\int (x^{2} + 1 innen)^{5} \cdot Ableitung von innen 2 x d x

Die innere Funktion ist $x^{2} + 1$ . Ihre Ableitung $2 x$ steht als Faktor da.

Integriert wird nur die äußere Funktion, das „hoch 5":

\frac{1}{6} (\dots)^{6} integrieren (\dots)^{5}

In die Klammer kommt wieder $x^{2} + 1$ . Der Faktor $2 x$ fällt weg:

\int (x^{2} + 1)^{5} \cdot 2 x d x = \frac{1}{6} (x^{2} + 1)^{6} + c

Probe: Die Kettenregel hängt den Faktor $2 x$ wieder an.

(\frac{1}{6} (x^{2} + 1)^{6})^{'} = \frac{6}{6} (x^{2} + 1)^{5} \cdot 2 x = (x^{2} + 1)^{5} \cdot 2 x ✓

Merken: Steht die Ableitung der inneren Funktion als Faktor da, integriert ihr nur die äußere Funktion. Die innere Funktion bleibt, wie sie ist. Der Faktor fällt weg.

Schema

Das Beispiel, allgemein:

1. Innere Funktion suchen und ableiten. 2. Prüfen: Steht diese Ableitung als Faktor da? 3. Äußere Funktion integrieren, die innere Funktion unverändert einsetzen, den Faktor weglassen. 4. Probe: Ergebnis mit der Kettenregel ableiten.

Weitere Beispiele

Dasselbe sechsmal:

	Integral	innen	Ableitung von innen	Ergebnis
a)	$\int (x^{3} + 2)^{4} \cdot 3 x^{2} d x$	$x^{3} + 2$	$3 x^{2}$	$\frac{1}{5} (x^{3} + 2)^{5} + c$
b)	$\int 2 x \cdot cos (x^{2}) d x$	$x^{2}$	$2 x$	$sin (x^{2}) + c$
c)	$\int e^{s i n x} \cdot cos x d x$	$sin x$	$cos x$	$e^{s i n x} + c$
d)	$\int sin (x^{2} + 1) \cdot 2 x d x$	$x^{2} + 1$	$2 x$	$- cos (x^{2} + 1) + c$
e)	$\int x^{2} + 5 \cdot 2 x d x$	$x^{2} + 5$	$2 x$	$\frac{2}{3} (x^{2} + 5)^{\frac{3}{2}} + c$
f)	$\int (ln x)^{3} \cdot \frac{1}{x} d x$	$ln x$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{4} (ln x)^{4} + c$

Jetzt ihr

\int (x^{4} + 1)^{2} \cdot 4 x^{3} d x

Lösung

\frac{1}{3} (x^{4} + 1)^{3} + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{3}{3} (x^{4} + 1)^{2} \cdot 4 x^{3}

✓

Jetzt ihr

\int cos (e^{x}) \cdot e^{x} d x

Lösung

sin (e^{x}) + c

. Probe durch Ableiten:

cos (e^{x}) \cdot e^{x}

✓

Übungen 1

Integriert und macht die Probe durch Ableiten.

a) $\int (x^{2} - 3)^{4} \cdot 2 x d x$

b) $\int 3 x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$

c) $\int cos (x^{3} + 1) \cdot 3 x^{2} d x$

d) $\int 4 x^{3} \cdot x^{4} + 9 d x$

e) $\int (sin x)^{2} \cdot cos x d x$

f) $\int (x^{2} + 1)^{- 2} \cdot 2 x d x$

Übungen 1: Lösungen Schritt für Schritt

	innen	Ableitung da?	Ergebnis	Probe
a)	$x^{2} - 3$	$2 x$ ✓	$\frac{1}{5} (x^{2} - 3)^{5} + c$	$\frac{5}{5} (x^{2} - 3)^{4} \cdot 2 x$ ✓
b)	$x^{3}$	$3 x^{2}$ ✓	$e^{x^{3}} + c$	$e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2}$ ✓
c)	$x^{3} + 1$	$3 x^{2}$ ✓	$sin (x^{3} + 1) + c$	$cos (x^{3} + 1) \cdot 3 x^{2}$ ✓
d)	$x^{4} + 9$	$4 x^{3}$ ✓	$\frac{2}{3} (x^{4} + 9)^{\frac{3}{2}} + c$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^{4} + 9)^{\frac{1}{2}} \cdot 4 x^{3}$ ✓
e)	$sin x$	$cos x$ ✓	$\frac{1}{3} (sin x)^{3} + c$	$\frac{3}{3} (sin x)^{2} \cdot cos x$ ✓
f)	$x^{2} + 1$	$2 x$ ✓	$\frac{1}{- 1} (x^{2} + 1)^{- 1} + c = - \frac{1}{x ^{2} + 1} + c$	$(- 1) \cdot (- 1) (x^{2} + 1)^{- 2} \cdot 2 x$ ✓

Wenn eine Zahl fehlt

Oft steht vor der Funktion eine Zahl mal die Ableitung von innen. Die Zahl kommt dann vor das Integral.

Hier steht die Ableitung genau da:

\int 2 x \cdot e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + c

Hier steht nur $x$ :

\int x \cdot e^{x^{2}} d x = ?

Beispiel

Schreibt den Faktor $x$ als Zahl mal Ableitung von innen:

x = \frac{1}{2} \cdot 2 x

Die Zahl $\frac{1}{2}$ kommt vor das Integral (Faktorregel). Dahinter steht jetzt genau die Ableitung $2 x$ :

\int x \cdot e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x \cdot e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot e^{x^{2}} + c

Probe:

(\frac{1}{2} \cdot e^{x^{2}})^{'} = \frac{1}{2} \cdot e^{x^{2}} \cdot 2 x = x \cdot e^{x^{2}} ✓

Mit einer Zahl geht das. Mit einem Ausdruck, in dem $x$ steht, geht es nicht:

Integral	Ableitung von innen	Faktor als Zahl mal Ableitung	Ergebnis
$\int 1 \cdot e^{2 x} d x$	$2$	$1 = \frac{1}{2} \cdot 2$	$\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + c$
$\int x \cdot e^{x^{2}} d x$	$2 x$	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2} \cdot e^{x^{2}} + c$
$\int 1 \cdot e^{x^{2}} d x$	$2 x$	$1 = \frac{1}{2 x} \cdot 2 x$ , und $\frac{1}{2 x}$ ist keine Zahl	geht nicht

Ein Ausdruck mit $x$ darf nicht vor das Integral. Das zeigt schon $\int x \cdot x d x$ :

\int x \cdot x d x = \int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + c

x \cdot \int x d x = x \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{2} x^{3}

Mit dem $x$ vor dem Integral kommt $\frac{1}{2} x^{3}$ heraus. Richtig ist $\frac{1}{3} x^{3}$ . Für $e^{x^{2}}$ gibt es keine Stammfunktion aus den bekannten Funktionen.

Merken: Schreibt den Faktor als Zahl mal Ableitung von innen. Die Zahl kommt vor das Integral. Bleibt statt einer Zahl ein Ausdruck mit $x$ übrig, geht es nicht.

Weitere Beispiele

	Integral	Faktor als Zahl mal Ableitung	Ergebnis
a)	$\int x^{2} \cdot cos (x^{3}) d x$	$x^{2} = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}$	$\frac{1}{3} \cdot sin (x^{3}) + c$
b)	$\int 6 x \cdot (x^{2} + 1)^{4} d x$	$6 x = 3 \cdot 2 x$	$3 \cdot \frac{1}{5} (x^{2} + 1)^{5} + c = \frac{3}{5} (x^{2} + 1)^{5} + c$
c)	$\int sin x \cdot (cos x)^{3} d x$	$sin x = (- 1) \cdot (- sin x)$	$(- 1) \cdot \frac{1}{4} (cos x)^{4} + c = - \frac{1}{4} (cos x)^{4} + c$
d)	$\int x \cdot x^{2} + 9 d x$	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^{2} + 9)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{3} (x^{2} + 9)^{\frac{3}{2}} + c$
e)	$\int x^{3} \cdot e^{x^{4}} d x$	$x^{3} = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3}$	$\frac{1}{4} \cdot e^{x^{4}} + c$

Jetzt ihr

\int x \cdot (x^{2} + 4)^{3} d x

Lösung

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (x^{2} + 4)^{4} + c = \frac{1}{8} (x^{2} + 4)^{4} + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{4}{8} (x^{2} + 4)^{3} \cdot 2 x = x \cdot (x^{2} + 4)^{3}

✓

Jetzt ihr

\int x \cdot sin (x^{2}) d x

Lösung

- \frac{1}{2} cos (x^{2}) + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{1}{2} sin (x^{2}) \cdot 2 x

✓

Übungen 2

Integriert, wenn es geht. Macht die Probe durch Ableiten.

a) $\int x \cdot e^{x^{2} + 1} d x$

b) $\int x^{2} \cdot (x^{3} + 1)^{4} d x$

c) $\int 4 x \cdot cos (x^{2}) d x$

d) $\int sin x \cdot e^{c o s x} d x$

e) $\int x \cdot (x^{2} + 2)^{- 3} d x$

f) $\int x \cdot cos (x^{3}) d x$

Übungen 2: Lösungen Schritt für Schritt

	Faktor als Zahl mal Ableitung	Ergebnis	Probe
a)	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2} \cdot e^{x^{2} + 1} + c$	$\frac{1}{2} \cdot e^{x^{2} + 1} \cdot 2 x$ ✓
b)	$x^{2} = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} (x^{3} + 1)^{5} + c = \frac{1}{15} (x^{3} + 1)^{5} + c$	$\frac{5}{15} (x^{3} + 1)^{4} \cdot 3 x^{2}$ ✓
c)	$4 x = 2 \cdot 2 x$	$2 \cdot sin (x^{2}) + c$	$2 \cdot cos (x^{2}) \cdot 2 x$ ✓
d)	$sin x = (- 1) \cdot (- sin x)$	$(- 1) \cdot e^{c o s x} + c = - e^{c o s x} + c$	$(- 1) \cdot e^{c o s x} \cdot (- sin x)$ ✓
e)	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2} (x^{2} + 2)^{- 2} + c = - \frac{1}{4} (x^{2} + 2)^{- 2} + c$	$(- \frac{1}{4}) \cdot (- 2) (x^{2} + 2)^{- 3} \cdot 2 x$ ✓
f)	$x = \frac{1}{3 x} \cdot 3 x^{2}$ , und $\frac{1}{3 x}$ ist keine Zahl	geht nicht

Substitution mit u

Substitution heißt Ersetzen: Die innere Funktion bekommt einen eigenen Buchstaben, $u$ . Das kennt ihr von biquadratischen Gleichungen:

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0 z = x^{2} z^{2} - 5 z + 4 = 0 \Rightarrow z = 1 oder z = 4 zur \overset{u}{¨} ck x = \pm 1 oder x = \pm 2

Mit $u$ schreibt ihr die Kettenregel rückwärts Schritt für Schritt auf. Das hilft vor allem bei Brüchen und Wurzeln, in denen man die Ableitung von innen schlecht sieht:

\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x

Beispiel

1. Substitution: $u = x^{2} + 4$

2. $d x$ durch $d u$ ausdrücken. Damit im Integral nur $u$ steht, wird auch $d x$ ersetzt:

\frac{d u}{d x} = 2 x \Rightarrow d u = 2 x \cdot d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x}

$\frac{d u}{d x}$ ist die Ableitung von $u$ , also seine Steigung. Die mittlere Gleichung ist das Steigungsdreieck an der Tangente: Höhe $d u$ gleich Steigung $2 x$ mal Breite $d x$ .

Parabel u = x² + 4 mit Tangente bei x = 1 und Steigungsdreieck dx, du

3. Einsetzen: $x^{2} + 4$ wird $u$ , und $d x$ wird $\frac{d u}{2 x}$ :

\int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} = \int \frac{1}{2 u} d u

Das $x$ kürzt sich weg, denn $\frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$ . Im Integral steht nur noch $u$ .

4. Integrieren nach $u$ , genau wie nach $x$ :

\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + c = u + c

5. Rücksubstitution: $u$ wird wieder $x^{2} + 4$ :

x^{2} + 4 + c

6. Probe:

(x^{2} + 4)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 4} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 4} ✓

Ergebnis: $\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x = x^{2} + 4 + c$

Schema: Integration durch Substitution

Das Beispiel, allgemein, mit der inneren Funktion $g (x)$ :

1. Substitution: $u = g (x)$ . Die innere Funktion steckt meist in einer Klammer mit Potenz, unter einer Wurzel, im Exponenten oder im Sinus oder Kosinus. 2. $d x$ durch $d u$ ausdrücken: $\frac{d u}{d x} = g^{'} (x)$ , also $d x = \frac{d u}{g ^{'} ( x )}$ . 3. Einsetzen: Jedes $x$ muss sich wegkürzen. 4. Nach $u$ integrieren. 5. Rücksubstitution: $u$ wird wieder $g (x)$ . 6. Probe durch Ableiten.

Merken: Nach dem Einsetzen darf kein $x$ mehr im Integral stehen. Eine Zahl darf übrig bleiben.

Mit u und ohne u

Dasselbe Integral auf beiden Wegen:

Weg	Faktor	umgeschrieben	Ergebnis
ohne $u$	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2} \int 2 x \cdot e^{x^{2}} d x$	$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + c$
mit $u = x^{2}$ , $d x = \frac{d u}{2 x}$	$\frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$	$\frac{1}{2} e^{u} + c = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + c$

Das Kürzen liefert dieselbe Zahl $\frac{1}{2}$ . Kurze Integrale löst ihr ohne $u$ , längere mit $u$ .

Kürzt sich das $x$ nicht weg, passt die Substitution nicht:

\int (x^{2} + 1)^{2} d x : u = x^{2} + 1, d x = \frac{d u}{2 x}, \int u^{2} \cdot \frac{1}{2 x} d u

Das $\frac{1}{2 x}$ ist keine Zahl, es darf nicht vor das Integral. Hier hilft Ausmultiplizieren:

\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + c

Weitere Beispiele

	Integral	$u$	$d x$	eingesetzt	integriert und zurück
a)	$\int (x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x)^{4} d x$	$x^{2} + 2 x$	$\frac{d u}{2 x + 2} = \frac{d u}{2 ( x + 1 )}$	$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$	$\frac{1}{10} u^{5} + c = \frac{1}{10} (x^{2} + 2 x)^{5} + c$
b)	$\int e^{x} \cdot (e^{x} + 3)^{2} d x$	$e^{x} + 3$	$\frac{d u}{e ^{x}}$	$\int u^{2} d u$	$\frac{1}{3} u^{3} + c = \frac{1}{3} (e^{x} + 3)^{3} + c$
c)	$\int \frac{c o s x}{( s i n x ) ^{3}} d x$	$sin x$	$\frac{d u}{c o s x}$	$\int u^{- 3} d u$	$\frac{1}{- 2} u^{- 2} + c = - \frac{1}{2 ( s i n x ) ^{2}} + c$
d)	$\int sin x \cdot cos x d x$	$cos x$	$\frac{d u}{- s i n x}$	$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$	$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c = - \frac{2}{3} (cos x)^{\frac{3}{2}} + c$
e)	$\int (3 x + 1)^{4} d x$	$3 x + 1$	$\frac{d u}{3}$	$\frac{1}{3} \int u^{4} d u$	$\frac{1}{15} u^{5} + c = \frac{1}{15} (3 x + 1)^{5} + c$
f)	$\int x \cdot e^{- x^{2}} d x$	$- x^{2}$	$\frac{d u}{- 2 x}$	$- \frac{1}{2} \int e^{u} d u$	$- \frac{1}{2} e^{u} + c = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + c$

In e) ist die Ableitung von innen die Zahl $3$ . Das $\frac{1}{3}$ davor ist genau die Regel für lineare Verkettungen: $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + c$ .

Jetzt ihr

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} d x

Lösung

- \frac{1}{3 ( x ^{3} + 1 )} + c

. Mit

u = x^{3} + 1

und

d x = \frac{d u}{3 x ^{2}}

wird daraus

\frac{1}{3} \int u^{- 2} d u

Übungen 3

Integriert mit Substitution. Macht die Probe durch Ableiten.

a) $\int x \cdot (x^{2} + 5)^{3} d x$

b) $\int x^{2} \cdot x^{3} + 1 d x$

c) $\int cos x \cdot (sin x + 2)^{3} d x$

d) $\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x$

e) $\int (2 x + 1) \cdot e^{x^{2} + x} d x$

f) $\int \frac{l n x}{x} d x$

g) $\int (5 x - 2)^{3} d x$

Übungen 3: Lösungen Schritt für Schritt

	$u$	$d x$	eingesetzt	integriert und zurück	Probe
a)	$x^{2} + 5$	$\frac{d u}{2 x}$	$\frac{1}{2} \int u^{3} d u$	$\frac{1}{8} u^{4} + c = \frac{1}{8} (x^{2} + 5)^{4} + c$	$\frac{4}{8} (x^{2} + 5)^{3} \cdot 2 x$ ✓
b)	$x^{3} + 1$	$\frac{d u}{3 x ^{2}}$	$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{9} (x^{3} + 1)^{\frac{3}{2}} + c$	$\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} (x^{3} + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 x^{2}$ ✓
c)	$sin x + 2$	$\frac{d u}{c o s x}$	$\int u^{3} d u$	$\frac{1}{4} u^{4} + c = \frac{1}{4} (sin x + 2)^{4} + c$	$\frac{4}{4} (sin x + 2)^{3} \cdot cos x$ ✓
d)	$e^{x} + 1$	$\frac{d u}{e ^{x}}$	$\int u^{- 2} d u$	$\frac{1}{- 1} u^{- 1} + c = - \frac{1}{e ^{x} + 1} + c$	$(- 1) \cdot (- 1) (e^{x} + 1)^{- 2} \cdot e^{x}$ ✓
e)	$x^{2} + x$	$\frac{d u}{2 x + 1}$	$\int e^{u} d u$	$e^{u} + c = e^{x^{2} + x} + c$	$e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1)$ ✓
f)	$ln x$	$x d u$	$\int u d u$	$\frac{1}{2} u^{2} + c = \frac{1}{2} (ln x)^{2} + c$	$\frac{2}{2} ln x \cdot \frac{1}{x}$ ✓
g)	$5 x - 2$	$\frac{d u}{5}$	$\frac{1}{5} \int u^{3} d u$	$\frac{1}{20} u^{4} + c = \frac{1}{20} (5 x - 2)^{4} + c$	$\frac{4}{20} (5 x - 2)^{3} \cdot 5$ ✓

Substitution oder partielle Integration?

Substitution hilft nur, wenn vor der Funktion eine Zahl mal die Ableitung von innen steht. Bei anderen Produkten hilft oft die partielle Integration. Vor jeder Rechnung steht darum dieselbe Frage:

Ist der Faktor eine Zahl mal die Ableitung von innen?

Integral	innen	Ableitung von innen	Faktor als Zahl mal Ableitung?	Verfahren
$\int x \cdot e^{x^{2}} d x$	$x^{2}$	$2 x$	ja: $x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	Substitution
$\int x \cdot e^{x} d x$	$x$	$1$	nein: $x = x \cdot 1$ , und $x$ ist keine Zahl	partielle Integration
$\int e^{x^{2}} d x$	$x^{2}$	$2 x$	nein: $1 = \frac{1}{2 x} \cdot 2 x$ ; auch kein Produkt	keines der beiden

Substitution mit $u = x^{2}$ und $d x = \frac{d u}{2 x}$ :

\int x \cdot e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + c

Partielle Integration, $x$ wird abgeleitet und $e^{x}$ integriert:

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x} + c

Merken: Zahl mal Ableitung von innen heißt Substitution. Ein anderer Faktor mit $x$ heißt partielle Integration. Sonst hilft keines der beiden.

Weitere Beispiele

	Integral	innen	Ableitung von innen	Faktor als Zahl mal Ableitung?	Verfahren	Ergebnis
a)	$\int x \cdot sin (x^{2}) d x$	$x^{2}$	$2 x$	ja: $x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	Substitution	$- \frac{1}{2} cos (x^{2}) + c$
b)	$\int x \cdot sin x d x$	$x$	$1$	nein: $x$ ist keine Zahl	partielle Integration	$- x \cdot cos x + sin x + c$
c)	$\int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$	$x^{3}$	$3 x^{2}$	ja: $x^{2} = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}$	Substitution	$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + c$
d)	$\int x \cdot e^{- x} d x$	$- x$	$- 1$	nein: $x$ ist keine Zahl	partielle Integration	$- x \cdot e^{- x} - e^{- x} + c$
e)	$\int sin (x^{2}) d x$	$x^{2}$	$2 x$	nein, und kein Produkt	keines der beiden

Zwei Wege, zwei Ergebnisse

Manchmal gehen zwei Wege. Bei $\int 2 x \cdot (x^{2} + 1) d x$ passt der Faktor $2 x$ , und ausmultiplizieren geht auch:

Weg	Rechnung	Ergebnis
Substitution, $u = x^{2} + 1$	$\int 2 x \cdot u \cdot \frac{d u}{2 x} = \int u d u = \frac{1}{2} u^{2} + c$	$\frac{1}{2} (x^{2} + 1)^{2} + c = \frac{1}{2} x^{4} + x^{2} + \frac{1}{2} + c$
ausmultiplizieren	$\int (2 x^{3} + 2 x) d x$	$\frac{1}{2} x^{4} + x^{2} + c$

Die Ergebnisse unterscheiden sich um $\frac{1}{2}$ . Beide stimmen, denn die $\frac{1}{2}$ steckt im $c$ .

Merken: Zwei Stammfunktionen desselben Integrals unterscheiden sich höchstens um eine Zahl.

Übungen 4

Entscheidet: Substitution, partielle Integration oder keines der beiden? Rechnet dann.

a) $\int x \cdot cos (x^{2}) d x$

b) $\int x \cdot cos x d x$

c) $\int x^{3} \cdot (x^{4} + 2)^{2} d x$

d) $\int x \cdot ln x d x$

e) $\int e^{x^{3}} d x$

f) $\int 3 x^{2} \cdot (x^{3} + 1) d x$ auf zwei Wegen

Übungen 4: Lösungen Schritt für Schritt

	Faktor als Zahl mal Ableitung?	Verfahren	Rechnung
a)	ja: $x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	Substitution, $u = x^{2}$	$\frac{1}{2} \int cos u d u = \frac{1}{2} sin (x^{2}) + c$
b)	nein: $x$ ist keine Zahl	partielle Integration, $x$ ableiten	$x \cdot sin x - \int 1 \cdot sin x d x = x \cdot sin x + cos x + c$
c)	ja: $x^{3} = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3}$	Substitution, $u = x^{4} + 2$	$\frac{1}{4} \int u^{2} d u = \frac{1}{12} (x^{4} + 2)^{3} + c$
d)	nein: $x$ ist keine Zahl	partielle Integration, $ln x$ ableiten	$\frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \cdot ln x - \frac{1}{4} x^{2} + c$
e)	nein: $1 = \frac{1}{3 x ^{2}} \cdot 3 x^{2}$ ; kein Produkt	keines der beiden
f)	ja: $3 x^{2}$ ist die Ableitung	Substitution, $u = x^{3} + 1$	$\int u d u = \frac{1}{2} (x^{3} + 1)^{2} + c$
f)		ausmultiplizieren	$\int (3 x^{5} + 3 x^{2}) d x = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} + c$ , Unterschied $\frac{1}{2}$

Theorie: Warum die Substitution stimmt

Die Kettenregel, allgemein geschrieben, mit diesen Namen:

- $g$ : die innere Funktion - $F$ : die äußere Funktion - $f$ : die Ableitung von $F$ , also $F^{'} = f$

(F (g (x)))^{'} = f (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Rückwärts gelesen ist das die Substitutionsregel:

\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c

Das erste Beispiel, darunter geschrieben, mit $g (x) = x^{2} + 1$ , $f (u) = u^{5}$ und $F (u) = \frac{1}{6} u^{6}$ :

	Integrand	Stammfunktion
allgemein	$f (g (x)) \cdot g^{'} (x)$	$F (g (x)) + c$
Beispiel	$(x^{2} + 1)^{5} \cdot 2 x$	$\frac{1}{6} (x^{2} + 1)^{6} + c$

Die Schreibweise mit $u$ rechnet genau das. Mit $u = g (x)$ und $d x = \frac{d u}{g ^{'} ( x )}$ kürzt sich die Ableitung von innen weg:

\int f (u) \cdot g^{'} (x) \cdot \frac{d u}{g ^{'} ( x )} = \int f (u) d u = F (u) + c = F (g (x)) + c

Das $d x = \frac{d u}{g ^{'} ( x )}$ kommt aus dem Steigungsdreieck an der Tangente von $u$ : Geht ihr ein kleines Stück $d x$ nach rechts, steigt die Tangente um $d u = g^{'} (x) \cdot d x$ . Das $d x$ im Integral ist also eine kleine Breite in $x$ -Richtung. Nach dem Ersetzen steht $d u$ am Ende, und integriert wird nach $u$ .

Ist die innere Funktion linear, $g (x) = a x + b$ , dann ist $g^{'} (x) = a$ eine Zahl, und $d x = \frac{d u}{a}$ :

\int f (a x + b) d x = \int f (u) \cdot \frac{d u}{a} = \frac{1}{a} F (u) + c = \frac{1}{a} F (a x + b) + c

Die Regel für lineare Verkettungen ist also Substitution mit einer Zahl als Ableitung von innen.