Vom Abstand zweier Kurven zum Preis der besten Menge

Gewinnfunktion

Die Gewinnfunktion sagt, welcher Gewinn bei einer verkauften Menge entsteht: $G (x) = E (x) - K (x)$ .

Oben stehen die Erlöskurve E und die Kostenkurve K eines Unternehmens, unten ist Platz für G. Beide Bilder haben dieselbe Mengenachse und denselben Maßstab für Geld. Wie viel Gewinn bleibt bei 12 ME?

Bei 12 ME bleiben 80 GE, bei 9 ME fehlen 19 GE. Der Gewinn ist der Abstand der beiden Höhen mit Vorzeichen. Liegt K über E, ist er negativ.

Beispiel

Woher kommen die beiden Kurven? Gegeben sind die Kostenfunktion und die Preis-Absatz-Funktion:

K (x) p (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100 = - 2 x + 85

Der Erlös ist Menge mal Preis:

E (x) = x \cdot p (x) = x \cdot (- 2 x + 85) = - 2 x^{2} + 85 x

Jetzt ziehen wir die ganze Klammer K ab. Das Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen darin um:

G (x) = E (x) - K (x) = (- 2 x^{2} + 85 x) - (\frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100) = - 2 x^{2} + 85 x - \frac{1}{3} x^{3} + 11 x^{2} - 130 x - 100 = - \frac{1}{3} x^{3} 9 x^{2} - 2 x^{2} + 11 x^{2} - 45 x + 85 x - 130 x - 100 = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100

Gewinnmaximum bestimmen

Bei welcher Menge ist der Gewinn am größten? Und wie groß ist er?

Gesucht sind also zwei Zahlen: die Menge unter dem höchsten Punkt und der Gewinn dort. Wir finden zuerst die Menge, prüfen sie und berechnen dann den Gewinn.

Notwendige Bedingung: G′(x)=0

Am höchsten Punkt ist die Tangente waagerecht, ihre Steigung $G^{'} (x)$ ist also 0. Das muss an jedem Hochpunkt gelten. Darum heißt $G^{'} (x) = 0$ notwendige Bedingung.

G^{'} (x) - x^{2} + 18 x - 45 x^{2} - 18 x + 45 x_{1, 2} x_{1} = 3, x_{2} = - x^{2} + 18 x - 45 = 0 ∣ \cdot (- 1) = 0 = 9 \pm 81 - 45 = 9 \pm 6 = 15

Hinreichende Bedingung: Hochpunkt prüfen

Die Rechnung liefert zwei Mengen. Welche der beiden Stellen ist der Hochpunkt? Das entscheidet die zweite Ableitung $G^{''}$ . Ist $G^{''} < 0$ , liegt sicher ein Hochpunkt vor. Darum heißt dieser Test hinreichende Bedingung.

Bei 3 ME liegt ein Tiefpunkt, bei 15 ME der Hochpunkt.

Maximalen Gewinn berechnen

G (15) = - \frac{1}{3} \cdot 1 5^{3} + 9 \cdot 1 5^{2} - 45 \cdot 15 - 100 = - 1125 + 2025 - 675 - 100 = 125

Ist 125 GE der größte Gewinn überhaupt? Der Hochpunkt ist nur der höchste Punkt in seiner Umgebung. Die Menge kann nicht negativ sein, und der Preis $p (x) = - 2 x + 85$ auch nicht:

- 2 x + 85 x \geq 0 \leq 42, 5

Zulässiger Bereich: $0 \leq x \leq 42, 5$ . Wie verläuft G in diesem ganzen Bereich, und was liegt an den Rändern?

125 GE ist größer als beide Randwerte. Also ist 15 ME auch im ganzen Bereich die beste Menge.

Gewinnmaximale Menge: 15 ME. Maximaler Gewinn: 125 GE.

Kurz geschrieben: $x_{m a x} = 15$ und $G_{m a x} = G (15) = 125$ . Der Hochpunkt trägt beide Zahlen als Koordinaten: $H (15∣125)$ .

Warum G′(x)=0?

Die Gleichung $G^{'} (x) = 0$ hat gerade die Mengen 3 und 15 geliefert. Was misst $G^{'}$ eigentlich? Oben steht G, darunter $G^{'} (x) = - x^{2} + 18 x - 45$ , beide über derselben Mengenachse.

Der Wert von $G^{'}$ ist also die Steigung der Tangente an G. Wie wird daraus eine Gleichung, die Mengen liefert?

G′(x)=0 findet die Stellen mit waagerechter Tangente.

Warum G″(x)<0?

Waagerecht ist die Tangente bei 3 und bei 15. Warum zeigt $G^{''} (15) = - 12 < 0$ den Hochpunkt? $G^{''} (x) = - 2 x + 18$ ist die Ableitung von $G^{'}$ , also die Steigung der Kurve $G^{'}$ .

Das Vorzeichen von $G^{''}$ sagt also, ob die Steigung an dieser Stelle abnimmt oder zunimmt.

Reicht $G^{''} < 0$ allein? Bei 18 ME ist $G^{''} (18) = - 2 \cdot 18 + 18 = - 18 < 0$ . Wir stellen beide Prüfzahlen nebeneinander:

x = 15 x = 18 : G^{'} (15) = 0, G^{''} (15) = - 12 \Rightarrow Hochpunkt : G^{'} (18) = - 45, G^{''} (18) = - 18 \Rightarrow Tangente f \overset{a}{¨} llt

Es braucht also immer das Paar: $G^{'} (x_{0}) = 0$ und $G^{''} (x_{0}) < 0$ . Dabei ist $x_{0}$ eine der Stellen, die $G^{'} (x) = 0$ geliefert hat.

Und wenn $G^{''} (x_{0}) = 0$ herauskommt? Zwei reine Formbeispiele zeigen, was dann passieren kann: $f (x) = - (x - 2)^{4}$ und $h (x) = (x - 2)^{3}$ . Bei beiden sind die erste und die zweite Ableitung bei 2 gleich 0.

G″(x₀)=0: Dieser Test entscheidet nicht.

Dann entscheidet der Wechsel der Steigung links und rechts von $x_{0}$ : von + nach − ist ein Hochpunkt.

Cournotscher Punkt

Das Unternehmen weiß jetzt, wie viel es verkaufen soll: 15 ME. Welcher Preis gehört zu 15 ME? Den Preis liefert die Preis-Absatz-Funktion $p (x) = - 2 x + 85$ .

Preis: 55 GE/ME.

Der Cournotsche Punkt ist der Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, der zur gewinnmaximalen Menge gehört: $C (15∣55)$ .

Passen 55 und 125 zusammen? Bei 15 ME betragen die Kosten $K (15) = 700$ GE.

15 ME \cdot 55 \frac{GE}{ME} 825 GE - 700 GE = 825 GE = 125 GE

Schema

Bereich und Gewinnfunktion: zulässigen Mengenbereich festlegen; $E (x) = x \cdot p (x)$ , $G (x) = E (x) - K (x)$ .

I:Suchen: notwendige Bedingung $G^{'} (x) = 0$ lösen, Kandidaten im Bereich behalten.
II:Prüfen: bei $G^{'} (x_{0}) = 0$ bestätigt $G^{''} (x_{0}) < 0$ einen Hochpunkt, $G^{''} (x_{0}) > 0$ einen Tiefpunkt. Bei $G^{''} (x_{0}) = 0$ den Verlauf von $G^{'}$ links und rechts prüfen.
III:Vergleichen: Gewinne der möglichen Maximalstellen und der Ränder vergleichen. Der größte Wert ist $G_{m a x}$ , seine Menge $x_{m a x}$ .
IV:Preis: $p (x_{m a x})$ berechnen; $H (x_{m a x} ∣ G_{m a x})$ bei einem inneren Hochpunkt, $C (x_{m a x} ∣ p (x_{m a x}))$ auf der Preis-Absatz-Funktion.

Dabei heißt $x_{0}$ nur eine der gefundenen Stellen. $x_{m a x}$ heißt erst die Menge, die nach dem Vergleich gewählt ist.

Beispiele

Fünf weitere Unternehmen, jedes mit denselben vier Schritten.

Beispiel a

Gegeben: $p (x) = 6 - x$ , $K (x) = 2 x + 1$ , $0 \leq x \leq 6$ .

E (x) G (x) = x \cdot (6 - x) = 6 x - x^{2} = 6 x - x^{2} - (2 x + 1) = - x^{2} + 4 x - 1

Suchen: G^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2 Pr \overset{u}{¨} fen: G^{''} (x) = - 2 G^{''} (2) = - 2 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen: G (2) = - 4 + 8 - 1 = 3 G (0) = - 1 G (6) = - 36 + 24 - 1 = - 13 \Rightarrow x_{m a x} = 2, G_{m a x} = 3 Preis: p (2) = 6 - 2 = 4 H (2∣3), C (2∣4)

Beispiel b

Gegeben: $p (x) = 5 - 3 x$ , $K (x) = 3 x + 0, 1$ . Die Kapazität erlaubt nur $0 \leq x \leq 1$ .

E (x) G (x) = x \cdot (5 - 3 x) = - 3 x^{2} + 5 x = - 3 x^{2} + 5 x - (3 x + 0, 1) = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1

Suchen: G^{'} (x) = - 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} Pr \overset{u}{¨} fen: G^{''} (x) = - 6 G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen: G (\frac{1}{3}) = - 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{1}{10} G (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{7}{30} G (0) = - \frac{1}{10} G (1) = - 3 + 2 - \frac{1}{10} = - \frac{11}{10} \Rightarrow x_{m a x} = \frac{1}{3}, G_{m a x} = \frac{7}{30} Preis: p (\frac{1}{3}) = 5 - 1 = 4 H (\frac{1}{3} ∣ \frac{7}{30}), C (\frac{1}{3} ∣4)

Beispiel c

Gegeben: $p (x) = 10 - 0, 5 x$ , $K (x) = 2 x + 12$ , $0 \leq x \leq 20$ .

E (x) G (x) = x \cdot (10 - 0, 5 x) = - 0, 5 x^{2} + 10 x = - 0, 5 x^{2} + 10 x - (2 x + 12) = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12

Suchen: G^{'} (x) = - x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8 Pr \overset{u}{¨} fen: G^{''} (x) = - 1 G^{''} (8) = - 1 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen: G (8) = - 0, 5 \cdot 64 + 64 - 12 = 20 G (0) = - 12 G (20) = - 200 + 160 - 12 = - 52 \Rightarrow x_{m a x} = 8, G_{m a x} = 20 Preis: p (8) = 10 - 4 = 6 H (8∣20), C (8∣6)

Beispiel d

Gegeben: $p (x) = 25 - x$ , $K (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 4$ , $0 \leq x \leq 10$ .

E (x) G (x) = x \cdot (25 - x) = - x^{2} + 25 x = - x^{2} + 25 x - (x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 4) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4

Suchen: G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0 ∣ : (- 3) x^{2} - 6 x + 5 = 0 x = 3 \pm 9 - 5 = 3 \pm 2 x_{1} = 1, x_{2} = 5 Pr \overset{u}{¨} fen: G^{''} (x) = - 6 x + 18 G^{''} (1) = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt G^{''} (5) = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen: G (5) = - 125 + 225 - 75 - 4 = 21 G (0) = - 4 G (10) = - 1000 + 900 - 150 - 4 G (10) = - 254 \Rightarrow x_{m a x} = 5, G_{m a x} = 21 Preis: p (5) = 25 - 5 = 20 H (5∣21), C (5∣20)

Beispiel e

Gegeben: $p (x) = 16 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 25$ , $0 \leq x \leq 8$ .

E (x) G (x) = x \cdot (16 - 2 x) = - 2 x^{2} + 16 x = - 2 x^{2} + 16 x - (4 x + 25) = - 2 x^{2} + 12 x - 25

Suchen: G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3 Pr \overset{u}{¨} fen: G^{''} (x) = - 4 G^{''} (3) = - 4 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen: G (3) = - 18 + 36 - 25 = - 7 G (0) = - 25 G (8) = - 128 + 96 - 25 = - 57 \Rightarrow x_{m a x} = 3, G_{m a x} = - 7 Preis: p (3) = 16 - 6 = 10 H (3∣ - 7), C (3∣10)

Kleinster Verlust im Modell: 7 GE bei 3 ME.

Alle fünf nebeneinander

	$G^{'} (x) = 0$	$G^{''}$ am Hochpunkt	$x_{m a x}$ ; $G_{m a x}$	$p (x_{m a x})$ ; C
a: $G (x) = - x^{2} + 4 x - 1$	$- 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$	$G^{''} (2) = - 2 < 0$	2; 3	4; $C(2\	4)$
b: $G (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1$	$- 6 x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$	$G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0$	$\frac{1}{3}$ ; $\frac{7}{30}$	4; $C(\frac13\	4)$
c: $G (x) = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12$	$- x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8$	$G^{''} (8) = - 1 < 0$	8; 20	6; $C(8\	6)$
d: $G (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4$	$- 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0 \Rightarrow x = 1$ oder $5$	$G^{''} (5) = - 12 < 0$	5; 21	20; $C(5\	20)$
e: $G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 25$	$- 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3$	$G^{''} (3) = - 4 < 0$	3; −7	10; $C(3\	10)$

Bei begrenzter Menge

Im Schema steht ein Vergleich mit den Rändern. Bisher hat er nie entschieden. Hier ist die Menge durch die Kapazität begrenzt:

G (x) 0 = - x^{2} + 10 x - 9 \leq x \leq 4

Suchen: G^{'} (x) = - 2 x + 10 = 0 \Rightarrow x = 5 Vergleichen: G (0) = - 9 G (4) = - 16 + 40 - 9 = 15

Die Menge 5 liegt außerhalb von $0 \leq x \leq 4$ . Es bleiben nur die beiden Ränder.

Größter Gewinn: 15 GE bei 4 ME.

Dieser Punkt ist kein Hochpunkt. Wir schreiben ihn darum ohne H als Punkt auf G: $P (4∣15)$ . Dazu gehören $p (x) = 14 - x$ und $K (x) = 4 x + 9$ . Der Preis ist $p (4) = 14 - 4 = 10$ GE/ME, also $C (4∣10)$ . Das ist die beste Kombination aus Preis und Menge, wenn die Kapazität bei 4 ME endet.

Übungen

Bestimmt jeweils die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den zugehörigen Preis im angegebenen Bereich.

Jetzt ihr

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6

p (x) = 20 - 2 x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0 \Rightarrow x = 4

. Prüfen:

G^{''} (4) = - 4 < 0

, Hochpunkt. Vergleichen:

G (4) = - 32 + 64 - 6 = 26

G (0) = - 6

G (10) = - 200 + 160 - 6 = - 46

. Also

x_{m a x} = 4

G_{m a x} = 26

. Preis:

p (4) = 20 - 8 = 12

H (4∣26)

C (4∣12)

. Antwort: 26 GE bei 4 ME, Preis 12 GE/ME.

Jetzt ihr

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2

p (x) = 23 - x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - x^{2} + 8 x - 7 = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 x + 7 = 0 \Rightarrow x = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3

, also

x_{1} = 1

x_{2} = 7

. Prüfen:

G^{''} (x) = - 2 x + 8

G^{''} (1) = 6 > 0

Tiefpunkt,

G^{''} (7) = - 6 < 0

Hochpunkt. Vergleichen:

G (7) = - \frac{343}{3} + 196 - 49 - 2 = \frac{92}{3}

G (0) = - 2

G (10) = - \frac{1000}{3} + 400 - 70 - 2 = - \frac{16}{3}

. Also

x_{m a x} = 7

G_{m a x} = \frac{92}{3}

. Preis:

p (7) = 23 - 7 = 16

H (7∣ \frac{92}{3})

C (7∣16)

. Antwort:

\frac{92}{3}

GE, etwa 30,67 GE, bei 7 ME, Preis 16 GE/ME.

Jetzt ihr

G (x) = - x^{2} + 12 x - 8

p (x) = 16 - x

0 \leq x \leq 4

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 6

. Die 6 liegt außerhalb von

0 \leq x \leq 4

, eine Prüfung entfällt. Vergleichen:

G (0) = - 8

G (4) = - 16 + 48 - 8 = 24

. Also

x_{m a x} = 4

G_{m a x} = 24

. Die Tangente bei 4 steigt:

G^{'} (4) = 4

. Der Punkt heißt darum

P (4∣24)

. Preis:

p (4) = 16 - 4 = 12

. Antwort: 24 GE bei 4 ME, zugehöriger Preis 12 GE/ME.

Wirtschaftliche Deutung

Die notwendige Bedingung lässt sich auch mit Erlös und Kosten schreiben:

G^{'} (x) E^{'} (x) - K^{'} (x) \Rightarrow E^{'} (x) = 0 = 0 = K^{'} (x)

Im Hauptbeispiel gilt bei 15 ME:

E^{'} (15) K^{'} (15) = - 4 \cdot 15 + 85 = 25 = 1 5^{2} - 22 \cdot 15 + 130 = 25

$E^{'} (15)$ heißt Grenzerlös, die momentane Änderung des Erlöses. $K^{'} (15)$ heißt Grenzkosten, die momentane Änderung der Kosten. Wie sehen die beiden Tangenten bei 15 ME aus?

An dieser Stelle stimmen die momentanen Änderungen von Erlös und Kosten überein.