m3 Kostenfunktion und Erloesfunktion

In einer Werkstatt gießt jemand Kerzen und verkauft sie im Laden nebenan.

Diesen Monat gehen doppelt so viele Kerzen über den Tisch wie sonst.

Doppelt so viele Kerzen, doppelt so viel Geld, denkt man zuerst.

Aber der Preis pro Kerze sinkt, sobald mehr Kerzen im Angebot liegen, p(x) fällt.

Wie viel Geld x Kerzen tatsächlich bringen, ist die Frage.

x zählt die Kerzen, die in einem Monat verkauft werden.

x hoch drei, x^3, bedeutet x · x · x. Für einen Tafelwert erst x einsetzen, dann die Potenz ausrechnen, dann die restlichen Glieder.

K(x) sammelt die gesamten Kosten für x Kerzen in diesem Monat, nicht die Kosten einer einzelnen Kerze.

$x$	$K (x)$
$0$	$500$
$20$	$1580$
$40$	$1940$
$60$	$2060$
$80$	$2420$
$100$	$3500$

K (x) = 0, 01 x^{3} - 1, 5 x^{2} + 80 x + 500

Bei x = 0 steht K(0) = 500 in der Tafel. Diese 500 Euro fallen an, auch wenn keine einzige Kerze entsteht.

Kostenzuwachs

Kzu misst, wie stark K(x) von einer Menge zur nächsten springt, über einen Schritt von 20 Kerzen.

Diesen Sprung liest man von einer Zeile der Tafel zur nächsten ab.

$x$	Kzu
$0 \to 20$	$1080$
$20 \to 40$	$360$
$40 \to 60$	$120$
$60 \to 80$	$360$
$80 \to 100$	$1080$

Mit wachsendem x wird Kzu zuerst kleiner, dann wieder größer.

Am Anfang schrumpft Kzu von Schritt zu Schritt, am Ende wächst er wieder.

a) $K (20) - K (0) = 1580 - 500 = 1080$
b) $K (40) - K (20) = 1940 - 1580 = 360$
c) $K (60) - K (40) = 2060 - 1940 = 120$

Bevor ihr weiterlest: Wird der nächste Sprung von K(x) größer oder kleiner als der Sprung davor? (Lösung: Er wird größer. Kzu fällt nicht weiter, Kzu steigt wieder.)

d) $K (80) - K (60) = 2420 - 2060 = 360$
e) $K (100) - K (80) = 3500 - 2420 = 1080$

Jeder dieser Werte ist ein Mittelwert der Kostensteigerung über 20 Kerzen, kein punktueller Wert.

Was sich zwischen zwei Tafelzeilen abspielt, zeigt die Ableitung von K(x) erst im Kapitel über die Grenzkosten.

Merken: Die Sprünge von K(x) sind verschieden groß. Darum ist K(x) keine Gerade.

Merken: K(x) sind die Kosten für alle x Kerzen zusammen.

Preisfunktion

p(x) nennt den Preis einer Kerze, wenn x Kerzen im Angebot stehen.

p (x) = 60 - 0, 3 x

E(x) fasst das Geld zusammen, das der Verkauf von x Kerzen einbringt.

Im Bild ist E(x) die Fläche eines Rechtecks, x breit und p(x) hoch.

Multipliziert man eine Klammer mit x, wird jedes Glied darin einzeln mit x malgenommen.

Herleitung:

Jede verkaufte Kerze bringt p(x) ein, und es sind x Kerzen.

E (x) = p (x) \cdot x

p(x) ist hier keine feste Zahl, sondern hängt von x ab.

E (x) = (60 - 0, 3 x) \cdot x

Nach dem Ausmultiplizieren steht E(x) als Term in x da.

E (x) = - 0, 3 x^{2} + 60 x

E(x) entsteht, indem p(x) mit x multipliziert und die Klammer aufgelöst wird.

Merken: E(x) = p(x) · x. Der Erlös ist Preis mal Menge, und der Preis hängt selbst von x ab.

Schema

a)E(x) als Produkt aus p(x) und der Menge x hinschreiben
b)Für p(x) den Term einsetzen
c)Die Klammer mit x ausmultiplizieren

Weitere Beispiele:

p (x) = 40 - 0, 2 x

E (x) = (40 - 0, 2 x) \cdot x

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 40 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 2 x^{2} + 40 x$

p (x) = 80 - 0, 5 x

E (x) = (80 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 80 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 80 x$

p (x) = 25 - 0, 05 x

E (x) = (25 - 0, 05 x) \cdot x

E (x) = - 0, 05 x^{2} + 25 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 05 x^{2} + 25 x$

Rechnet nach: Nehmt p(x) und bildet daraus E(x).

Lösung: E(x) = p(x) · x, dann die Klammer mit x ausmultiplizieren.

Aus dem Gedächtnis: Wie viel Geld läuft weg, wenn gar nichts hergestellt wird?

Lösung: 500. Das ist der erste Wert von K(x), die Fixkosten.

Erlöszuwachs

Ezu misst den Sprung von E(x) von einer Zeile zur nächsten, über 20 Kerzen.

Es ist derselbe Zeilensprung wie bei Kzu, nur jetzt an der Tafel von E(x) abgelesen.

$x$	Ezu
$0 \to 20$	$1080$
$20 \to 40$	$840$
$40 \to 60$	$600$
$60 \to 80$	$360$
$80 \to 100$	$120$

Jeder Schritt bringt weniger ein als der Schritt davor, Ezu schrumpft von Zeile zu Zeile.

Ezu wird kleiner, Schritt für Schritt, weil p(x) mit steigendem x fällt.

a) $E (20) - E (0) = 1080 - 0 = 1080$
b) $E (40) - E (20) = 1920 - 1080 = 840$
c) $E (60) - E (40) = 2520 - 1920 = 600$

Bevor ihr weiterlest: Wird der nächste Sprung von E(x) größer oder kleiner als der Sprung davor? (Lösung: Er wird kleiner. Ezu schrumpft weiter.)

d) $E (80) - E (60) = 2880 - 2520 = 360$
e) $E (100) - E (80) = 3000 - 2880 = 120$

Positiv bleibt Ezu nur, solange p(x) noch über null liegt.

Wo E(x) seinen größten Wert erreicht, rechnet das Kapitel über Extremwertaufgaben aus.

Merken: Die Sprünge von E(x) schrumpfen. Darum ist E(x) keine Gerade.

	Richtung
Kzu	erst fallend und dann steigend
Ezu	durchgehend fallend

Kzu erreicht eine tiefste Stelle, Ezu fällt durchgehend und hat keine.

Warum E(x) = p(x) · x gilt:

Jede verkaufte Kerze bringt p(x) ein, bei x Kerzen liegt x-mal dieser Betrag in der Kasse.

Warum die Kosten erst langsamer und dann schneller wachsen:

Zu Beginn nutzt jede weitere Kerze die vorhandene Ausstattung besser aus, darum fällt Kzu.

Später drängen sich zu viele Kerzen um dieselbe Ausstattung, darum steigt Kzu wieder.

Jetzt ihr:

a) $p (x) = 45 - 0, 15 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (45 - 0, 15 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 15 x^{2} + 45 x$ .

b) $p (x) = 70 - 0, 4 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (70 - 0, 4 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 4 x^{2} + 70 x$ .

c) $p (x) = 30 - 0, 06 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (30 - 0, 06 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 06 x^{2} + 30 x$ .