[M4 m1 v2] Mengenlehre

Menge und Element

Welche Zahlen lösen die Gleichung $x^{2} = 9$ ? Jede Zahl wird geprüft: ✓ heißt Lösung, ✗ keine Lösung.

Das Ergebnis ist die Lösungsmenge $L = {- 3; 3}$ . Eine Menge fasst Zahlen zusammen, und für jede Zahl steht fest, ob sie dazugehört. Was dazugehört, heißt Element:

Zeichen	gelesen
$3 \in L$	3 ist Element von $L$
$2 \in / L$	2 ist kein Element von $L$

In der Schreibweise mit Klammern spielt die Reihenfolge keine Rolle, und eine doppelt aufgeschriebene Zahl zählt einmal.

> Hinweis: Zwischen den Elementen steht ein Semikolon, weil das Komma im Deutschen das Dezimalkomma ist. ${2, 5; 3}$ hat zwei Elemente: 2,5 und 3.

Hat eine Gleichung immer zwei Lösungen? Drei Gleichungen derselben Art:

Gleichung	Lösungen	Lösungsmenge
$x^{2} = 9$	−3 und 3	${- 3; 3}$
$x^{2} = 0$	nur 0	${0}$
$x^{2} = - 4$	keine	${}$

Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ. Darum löst keine Zahl $x^{2} = - 4$ .

Die Menge ohne Element heißt leere Menge: ${} = \emptyset$ . Für $x^{2} = - 4$ ist also $L = {}$ .

${0}$ ist nicht leer: Sie enthält die Zahl 0.

> Hinweis: Für die leere Menge schreibt man ${}$ oder $\emptyset$ , nie ${\emptyset}$ . Das wäre wie eine Tüte, in der eine leere Tüte liegt: Sie ist nicht leer.

Jetzt ihr

Geben Sie die Lösungsmenge an. a)

x^{2} = 25

x^{2} = - 9

Lösung

L = {- 5; 5}

L = {}

Teilmenge

Liegt jedes Element von $A = {2; 3}$ auch in $B = {1; 2; 3; 4; 7}$ ? Jedes Element von $A$ wird in $B$ gesucht: ✓ gefunden, ✗ nicht gefunden.

2 und 3 werden in $B$ gefunden. Dann heißt $A$ Teilmenge von $B$ , geschrieben $A \subseteq B$ . Bei ${2; 9}$ fehlt die 9 in $B$ : ${2; 9} ⊈ B$ .

Schema: Jedes Element von $A$ einzeln in $B$ suchen. Fehlt eines, gilt $A ⊈ B$ .

Weitere Fälle mit derselben Menge $B = {1; 2; 3; 4; 7}$ :

Menge	Prüfung	⊆ B?
a) ${1; 2; 3; 4; 8}$	8 fehlt	nein
b) ${1; 2; 3; 4; 7}$	kein Element fehlt	ja
c) ${}$	kein Element, das fehlt	ja

a) hat so viele Elemente wie $B$ und ist trotzdem keine Teilmenge. c) Die leere Menge hat kein Element, das fehlen könnte; sie ist Teilmenge jeder Menge.

2 ist Element von $B$ , und ${2}$ ist Teilmenge von $B$ . Welches Zeichen gehört wohin?

links	Zeichen	rechts	stimmt für dieses B?
$2$	$\in$	$B$	ja
${2}$	$\subseteq$	$B$	ja
$2$	$\subseteq$	$B$	nein
${2}$	$\in$	$B$	nein

Links von $\in$ steht ein Element, links von $\subseteq$ eine Menge.

> Hinweis: Schreiben Sie für „ist Teilmenge von“ das Zeichen ⊆. In vielen Büchern und Prüfungen steht dafür auch ⊂, etwa ${2; 3} \subset B$ . Gemeint ist meist dasselbe.

Jetzt ihr

B = {1; 2; 3; 4; 7}

. a) Gilt

{1; 7} \subseteq B

? b) Gilt

{4; 5} \subseteq B

Lösung

a) ja b) nein, 5 fehlt

Zahlbereiche

Die wichtigsten Mengen der Mathematik kann man nicht vollständig aufschreiben: die Zahlbereiche. Jeder neue Zahlbereich schließt eine Lücke: Eine Rechnung hat im alten Bereich kein Ergebnis, im neuen schon.

Am Anfang stehen die Zahlen, mit denen man zählt, die natürlichen Zahlen:

N = {0; 1; 2; 3; \dots}

> Hinweis: Hier gehört die 0 zu $N$ . Manche Bücher beginnen bei 1. Wenn die 0 sicher dazugehören soll, schreiben Sie in der Prüfung $N_{0}$ .

Was ist $3 - 5$ ?

$3 - 5 = - 2$ ist keine natürliche Zahl. Die ganzen Zahlen schließen diese Lücke: $Z = {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}$ .

Und $2 : 5$ ?

$2 : 5 = \frac{2}{5} = 0, 4$ ist keine ganze Zahl. Die rationalen Zahlen $Q$ sind alle Brüche $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q \neq = 0$ (durch 0 kann man nicht teilen).

Gibt es Punkte der Zahlengeraden, die kein Bruch sind? Ein Quadrat mit Seite 1 hat eine Diagonale $d$ ; nach dem Satz des Pythagoras ist $d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ , also $d = 2$ .

$2 = 1, 41421 \dots$ ist kein Bruch; das kann man beweisen. Die reellen Zahlen $R$ sind alle Punkte der Zahlengeraden, auch die, die kein Bruch trifft.

Jeder Bereich enthält den vorigen:

N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R

Woran erkennt man, in welchem Bereich eine Zahl liegt?

Bereich	Test
$N$	ganze Zahl, nicht negativ
$Z$	ganze Zahl
$Q$	Bruch $\frac{p}{q}$ ; als Dezimalzahl bricht sie ab ( $0, 25$ ) oder wiederholt sich: $(0, 333 \dots)$
$R$	jeder Punkt der Zahlengeraden

Zahlen in $R$ , die nicht in $Q$ liegen, heißen irrational, etwa $2$ und $π = 3, 14159 \dots$ Ihre Dezimalzahl bricht nie ab und wiederholt sich nie. An den ersten Stellen allein sieht man das nicht.

Schema: Die Zahl erst vereinfachen. Dann die Tests von $N$ bis $R$ . Der erste, der passt, gibt den kleinsten Bereich; die Zahl liegt auch in allen größeren Bereichen.

Zahl	vereinfacht	kleinster Bereich	Achtung
a) $- 7$	$- 7$	$Z$
b) $\frac{6}{3}$	$2$	$N$	$= 2$
c) $0, 25$	$\frac{1}{4}$	$Q$	Bruch
d) $0, 333 \dots$	$\frac{1}{3}$	$Q$	periodisch
e) $4$	$2$	$N$	$= 2$
f) $2$	–	$R$	irrational

Vereinfachen Sie die Zahl immer zuerst: $\frac{6}{3}$ und $4$ sind 2.

Nicht jede Gleichung ohne Lösung führt zu einem neuen Bereich: $x^{2} = - 4$ hat auch in $R$ keine Lösung, darum $L = {}$ .

Jetzt ihr

Geben Sie den kleinsten Zahlbereich an. a)

- \frac{8}{4}

0, 5

9

Lösung

- 2

, also

Z

\frac{1}{2}

, also

Q

3

, also

N

Aufzählende und beschreibende Form

${0; 1; 2; 3}$ nennt jedes Element: aufzählende Form. Die beschreibende Form nennt keine Elemente, sondern eine Regel: aus welcher Grundmenge, mit welcher Bedingung.

{x \in N ∣ - 2 \leq x \leq 3}

Teil	Name
$x \in N$ (vor dem Strich)	Grundmenge
$- 2 \leq x \leq 3$ (nach dem Strich)	Bedingung

Man liest: „alle $x$ aus $N$ , für die gilt: $- 2 \leq x \leq 3$ “. Der Strich heißt „für die gilt“. Welche Zahlen sind das?

Schema: 1. Test: Liegt die Zahl in der Grundmenge? 2. Test: Erfüllt sie die Bedingung? Eine Zahl, die beide Tests besteht, ist ein Element der Menge.

Grundmenge	aufgezählt
a) $N$	${0; 1; 2; 3}$
b) $Z$	${- 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$
c) $R$	nicht aufzählbar

Bei c) liegen zwischen zwei reellen Zahlen immer weitere; man kann sie nicht der Reihe nach aufschreiben.

Bei Gleichungen ist es genauso. Die Lösungsmenge hängt davon ab, in welcher Grundmenge man sucht:

Gleichung	Grundmenge	L
$x^{2} = 9$	$N$	${3}$
$x^{2} = 9$	$Z$	${- 3; 3}$
$x^{2} = 2$	$Q$	${}$
$x^{2} = 2$	$R$	${- 2; 2}$

> Hinweis: Statt des Strichs steht in manchen Prüfungen ein Semikolon oder ein Doppelpunkt: ${x \in R; x \geq 1}$ oder ${x \in R : x \geq 1}$ . Dieses Zeichen trennt Grundmenge und Bedingung, nicht zwei Elemente. Schreiben Sie selbst den Strich.

Jetzt ihr

Geben Sie in aufzählender Form an. a)

{x \in Z ∣ - 1 \leq x < 2}

{x \in N ∣ x \leq 2}

Lösung

{- 1; 0; 1}

{0; 1; 2}

Intervalle

Die Menge ${x \in R ∣ 1 \leq x \leq 4}$ kann man nicht aufzählen. Auf der Zahlengeraden ist sie eine Strecke von 1 bis 4. Ein Intervall schreibt sie kurz: $[1; 4]$ . Wie zeigt die Klammer, ob der Rand dazugehört?

Bei $] 1; 4]$ gehört 1 nicht dazu, aber 1,001 schon: 1,001 ist größer als 1.

Intervall	Ungleichung	Name
a) $[1; 4]$	$1 \leq x \leq 4$	geschlossen
b) $] 1; 4 [$	$1 < x < 4$	offen
c) $[1; 4 [$	$1 \leq x < 4$	halboffen
d) $[1; \infty [$	$x \geq 1$	unbeschränkt
e) $] - \infty; 4 [$	$x < 4$	unbeschränkt

d) und e) haben nur einen Rand. ∞ ist keine Zahl und kann nicht dazugehören: $[1; \infty]$ ist falsch, richtig ist $[1; \infty [$ .

Schema:

Klammer	Ungleichung	Randpunkt
zeigt zur Zahl: $[1$	$\leq$	voll ●
zeigt weg: $] 1$	$<$	leer ○
bei $\pm \infty$	–	immer weg

> Hinweis: Die kleinere Zahl steht links: $] - 1; 3 [$ , nicht $] 3; - 1 [$ . Statt der nach außen gedrehten Klammer steht oft eine runde: $] 1; 4 [= (1; 4)$ . In Aufgaben heißt die Zahlengerade oft auch Zahlenstrahl.

Für häufige Intervalle gibt es Kurznamen:

Kurzname	Intervall	Ungleichung
$R^{+}$	$] 0; \infty [$	$x > 0$
$R_{0}^{+}$	$[0; \infty [$	$x \geq 0$
$R^{-}$	$] - \infty; 0 [$	$x < 0$
$R$	$] - \infty; \infty [$	–

> Hinweis: Hier gehört die 0 nicht zu $R^{+}$ und $R^{-}$ . Manche Bücher zählen sie mit. Eindeutig sind $R_{0}^{+}$ und das Intervall selbst.

Soll $x$ zusätzlich eine ganze Zahl sein, etwa $x \in Z$ und $x \in] - 3; 4]$ , gibt es zwei Tests: 1. Ist $x$ eine ganze Zahl? 2. Liegt $x$ im Intervall?

−3 fällt weg, weil der Rand offen ist; 4 bleibt, weil die Klammer zur 4 zeigt.

Jetzt ihr

Schreiben Sie als Intervall. a)

x \geq 3

x < 0

- 1 < x \leq 5

Lösung

[3; \infty [

] - \infty; 0 [= R^{-}

] - 1; 5]

Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge

Zwei Mengen: $A = {1; 2; 5}$ und $B = {5; 7; 8}$ . Für jedes Element fragt man: Liegt es in A? Liegt es in B?

Element	in A?	in B?
1, 2	ja	nein
5	ja	ja
7, 8	nein	ja

Aus den Antworten entstehen drei neue Mengen:

Zeichen	Ergebnis	Element liegt
$A \cap B$	${5}$	in A und in B
$A \cup B$	${1; 2; 5; 7; 8}$	in A oder in B
$A ∖ B$	${1; 2}$	in A, nicht in B

$A \cap B$ heißt Schnittmenge, $A \cup B$ Vereinigungsmenge, $A ∖ B$ Differenzmenge („A ohne B“). „Oder“ heißt hier: in einer der beiden oder in beiden.

Man liest $A \cap B$ „A geschnitten mit B“ und $A \cup B$ „A vereinigt mit B“. Bei $∖$ ist wichtig, welche Menge vorne steht: $B ∖ A = {7; 8}$ ist nicht $A ∖ B$ .

Schema: Für jedes Element „in A? in B?“ beantworten. Dann nimmt $\cap$ die Elemente mit „ja, ja“, $\cup$ alle mit mindestens einem „ja“, $A ∖ B$ die mit „ja, nein“.

Zwei Grenzfälle:

a) $A = {1; 2}$ , $B = {10; 11}$ . Kein Element liegt in A und in B, also $A \cap B = {}$ . Solche Mengen heißen disjunkt.

b) Eine Menge liegt ganz in der anderen, $A \subseteq B$ : $A = {2; 3}$ , $B = {1; 2; 3; 4}$ .

A \cap B = {2; 3} = A

A \cup B = {1; 2; 3; 4} = B

A ∖ B = {}

B ∖ A = {1; 4}

Was passiert, wenn zwei verschiedene Zeichen in einem Ausdruck stehen? Mit $A = {1; 2; 3}$ , $B = {3; 4}$ , $C = {4; 5}$ und zwei Klammerstellungen, Fall 1: $(A \cup B) \cap C$ und Fall 2: $A \cup (B \cap C)$ :

Dieselben Zeichen in anderer Klammer ergeben verschiedene Mengen. Für Mengen gibt es keine Rangfolge wie „Punkt vor Strich“. Darum gilt:

Stehen verschiedene Zeichen in einem Ausdruck, steht immer eine Klammer. Die Klammer wird zuerst bestimmt.

Nur bei lauter $\cup$ oder lauter $\cap$ darf die Klammer fehlen: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = {1; 2; 3; 4; 5}$ .

Jetzt ihr

{1; 2; 5} \cap {2; 3; 5; 7}

{1; 2; 5} ∖ {2; 3; 5; 7}

c) Zeigen Sie mit

A = {1; 2; 3}

B = {2; 3}

C = {3}

, dass auch bei lauter

∖

die Klammer zählt.

Lösung

{2; 5}

{1}

(A ∖ B) ∖ C = {1} ∖ {3} = {1}

, aber

A ∖ (B ∖ C) = A ∖ {2} = {1; 3}

Schnitt und Vereinigung von Intervallen

Auch bei Intervallen ist der Schnitt das, was in beiden liegt, und die Vereinigung das, was in mindestens einem liegt. Was ergeben $[- 1; 4]$ und $] 2; 6 [$ ? Für jeden Rand wird gefragt, in welchem Intervall er liegt: ✓ ja, ✗ nein.

Die Ränder des Schnitts:

Rand	in $[- 1; 4]$ ?	in $] 2; 6 [$ ?	im Schnitt?
2	ja	nein	nein: $] 2$
4	ja	ja	ja: $4]$

Bei der Vereinigung gehört 2 dazu, denn 2 liegt in $[- 1; 4]$ .

Schema: Beide Intervalle über dieselbe Achse zeichnen. Schnitt: wo beide liegen. Vereinigung: wo mindestens eines liegt. Jeden Rand einzeln prüfen.

Zwei weitere Fälle:

a) $[0; 1] \cap [3; 5] = {}$ . Die Strecken überlappen nicht; die Intervalle sind disjunkt.

b) $x < - 1$ oder $x > 3$ . Das „oder“ wird zu $\cup$ ; es entstehen zwei Strecken, die nicht zusammenhängen:

] - \infty; - 1 [\cup] 3; \infty [

Jetzt ihr

[0; 5] \cap] 3; 7 [

[0; 5] \cup] 3; 7 [

Lösung

] 3; 5]

; 3 fehlt in

] 3; 7 [

, 5 liegt in beiden. b)

[0; 7 [

; 7 gehört nicht dazu.

Definitionsmenge

In der Prüfung braucht man $R$ , aus dem einzelne Zahlen herausgenommen sind, vor allem für die Definitionsmenge $D$ : alle Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ist eine Rechenvorschrift: Man setzt für $x$ eine Zahl ein. Für $x = 2$ steht 0 im Nenner, und durch 0 kann man nicht teilen. Alle anderen reellen Zahlen darf man einsetzen.

D = R ∖ {2} =] - \infty; 2 [\cup] 2; \infty [

Schema: Nenner $= 0$ setzen und lösen. Diese Zahlen aus $R$ herausnehmen.

Funktion	Nenner 0	D
a) $\frac{1}{x - 2}$	$x = 2$	$R ∖ {2}$
b) $\frac{1}{x ^{2} - 4}$	$x = \pm 2$	$R ∖ {- 2; 2}$
c) $\frac{1}{x ^{2} + 1}$	nie	$R$

In c) ist $x^{2} + 1 \geq 1$ , also nie 0.

Mit demselben Zeichen schreibt man $N$ ohne 0: $N ∖ {0} = {1; 2; 3; \dots}$ .

Jetzt ihr

Geben Sie die Definitionsmenge an. a)

f (x) = \frac{3}{x + 1}

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 9}

Lösung

D = R ∖ {- 1}

D = R ∖ {- 3; 3}

Übungen

Jetzt ihr

Geben Sie in aufzählender Form an. a)

{x \in Z ∣ - 2 < x \leq 3}

{x \in N ∣ x < 0}

Lösung

{- 1; 0; 1; 2; 3}

; −2 gehört nicht dazu b)

{}

, keine natürliche Zahl ist negativ.

Jetzt ihr

Geben Sie in beschreibender Form an. a)

{1; 2; 3; 4}

[- 2; 5 [

Lösung

a) zum Beispiel

{x \in N ∣ 1 \leq x \leq 4}

{x \in R ∣ - 2 \leq x < 5}

Jetzt ihr

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr ist. Begründen Sie. a)

- 4 \in N

0, 75 \in Q

2 \in Q

{0} = {}

{} \subseteq {1; 2}

3 \subseteq {1; 2; 3}

Lösung

a) falsch,

N

enthält keine negativen Zahlen. b) wahr,

0, 75 = \frac{3}{4}

. c) falsch,

2

ist irrational. d) falsch,

{0}

enthält die 0. e) wahr, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. f) falsch, links von ⊆ steht eine Menge; richtig ist

3 \in {1; 2; 3}

Jetzt ihr

A = {1; 2}

B = {2; 3}

C = {3; 4}

. Bestimmen Sie a)

(A \cup B) \cap C

A \cup (B \cap C)

Lösung

A \cup B = {1; 2; 3}

, mit

C

geschnitten:

{3}

B \cap C = {3}

, mit

A

vereinigt:

{1; 2; 3}

Jetzt ihr

Stellen Sie das Intervall an der Zahlengeraden dar und schreiben Sie es als Ungleichung. a)

] - 2; 3]

[0; \infty [

Lösung

a) leerer Kreis bei −2, voller Punkt bei 3, Strecke dazwischen;

- 2 < x \leq 3

b) voller Punkt bei 0, Strecke bis zur Pfeilspitze;

x \geq 0

, also

R_{0}^{+}

Jetzt ihr

x \in Z

und

x \in [- 1; 2 [

. Geben Sie alle

x

an.

Lösung

{- 1; 0; 1}

; −1 gehört dazu, 2 nicht.

Jetzt ihr

Bestimmen Sie die Lösungsmenge. a)

x^{2} = 16

x \in N

x^{2} = 16

x \in Z

x^{2} = - 1

x \in R

Lösung

{4}

{- 4; 4}

{}

Jetzt ihr

Die Primzahlen sind die natürlichen Zahlen mit genau zwei Teilern (1 und sich selbst):

P = {2; 3; 5; 7; 11; \dots}

. a) Gilt

P \subseteq N

? b) Bestimmen Sie

P \cap {1; 2; 3; 4}

Lösung

a) ja, jede Primzahl ist eine natürliche Zahl b)

{2; 3}

; 1 ist keine Primzahl.