[M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Welche Zahl ist $x$ in $3x+5=20$?

Die Gegenrechnung von $+5$ ist $-5$, die von $\cdot 3$ ist $:3$. Wie beim Auspacken eines Geschenks: Was zuletzt eingepackt wurde, kommt zuerst ab. Das heißt Umstellen.

Warum auf beiden Seiten?

Die Rückwärtskette rechnet nur mit der 20, also mit der rechten Seite: $20-5=15$. Was passiert mit der linken Seite $3x+5$? Eine Gleichung sagt: Links und rechts steht derselbe Wert, wie bei einer Waage im Gleichgewicht. Links liegen $3x$ und 5, rechts 20:

Nimmst du nur links 5 weg, kippt die Waage. Nimmst du auf beiden Seiten 5 weg, bleibt sie gerade: links $3x$, rechts 15. Darum rechnest du jede Gegenrechnung auf beiden Seiten.

So schreibst du es auf

Hinter einen senkrechten Strich schreibst du, was auf beiden Seiten gerechnet wird. Jeder Pfeil der Rückwärtskette wird ein solcher Schritt:

Am Ende steht $x$ allein. Die Lösung ist $x=5$.

Ob sie stimmt, prüfst du mit der Probe: Du rechnest vorwärts, mit 5 statt $x$.

So gehst du immer vor:

1. Lies die Kette ab: Welche Rechnungen wurden mit $x$ gemacht, in welcher Reihenfolge? 2. Mach sie rückwärts rückgängig, die letzte zuerst, jede mit ihrer Gegenrechnung, auf beiden Seiten. 3. Probe: vorwärts rechnen mit der Lösung.

Welche Rechnung kommt zuerst?

Für Schritt 1 musst du wissen: Was wird mit $x$ zuerst gerechnet? Setz für $x$ eine Zahl ein, hier $x=2$, und rechne aus. Was du zuerst rechnest, steht vorn in der Kette.

Es gilt dieselbe Reihenfolge wie beim Ausrechnen: erst die Klammer, dann Punktrechnung ($\cdot$, $:$), dann Strichrechnung ($+$, $-$). $3x$ heißt $3\cdot x$, und $4(x+1)$ heißt $4\cdot (x+1)$.

Lösen Sie die Gleichung

So heißt die Aufgabe in der Prüfung. Minus wird mit Plus rückgängig gemacht:

Aufgeschrieben: $x-7=3|+7$, also $x=10$.

Probe: $10-7=3$ ✓

Geteilt wird mit Mal rückgängig gemacht:

Aufgeschrieben: $x:4=6|\cdot 4$, also $x=24$.

Probe: $24:4=6$ ✓

Mit Klammer. In $4\cdot (x+1)$ wird zuerst $+1$ gerechnet, dann $\cdot 4$. Also kommt beim Umstellen $:4$ zuerst:

Probe: $4\cdot (4+1)=4\cdot 5=20$ ✓

Gleichungen mit Quadrat

$x^2$ heißt $x\cdot x$, zum Beispiel $5^2=5\cdot 5=25$. Die Gegenrechnung zum Quadrieren ist die Wurzel, zum Beispiel $\sqrt{25}=5$. In den Ketten steht das Quadrieren als $({)}^2$.

Aber auch $(-5{)}^2=(-5)\cdot (-5)=25$, denn Minus mal Minus ergibt Plus. Du siehst es an dieser Reihe. Die linke Zahl wird immer um 1 kleiner, das Ergebnis immer um 5 größer.

Darum hat $x^2=25$ zwei Lösungen: $5$ und $-5$. Man schreibt kurz $x=\pm 5$.

In $2x^2-8=42$ wird erst quadriert (die Potenz kommt vor Punkt und Strich), dann $\cdot 2$, dann $-8$ gerechnet. Mit $x=2$ gilt $2^2=4$, dann $2\cdot 4=8$, dann $8-8=0$. Rückwärts also erst $+8$, dann $:2$, dann die Wurzel.

Probe: $2\cdot 5^2-8=2\cdot 25-8=42$ ✓. Mit $-5$ genauso, denn $(-5{)}^2=25$.

In $x^2+9=0$ führt die Rückwärtskette auf $x^2=-9$. Das zeigt die Kette.

Ein Quadrat ist nie negativ: Plus mal Plus ist Plus, Minus mal Minus ist auch Plus, und $0\cdot 0=0$. Darum hat diese Gleichung keine Lösung.

x auf beiden Seiten

In $5x-2=3x+8$ steht $x$ links und rechts. Eine Kette von $x$ zu einer Zahl gibt es so nicht. Darum nimmst du zuerst auf beiden Seiten $3x$ weg. Das darfst du: $3x$ ist ein fester Wert, auch wenn du ihn noch nicht kennst, und auf beiden Seiten dasselbe wegnehmen hält das Gleichgewicht.

Ab hier ist es die gewohnte Kette, aufgeschrieben $|+2$, dann $|:2$:

Probe: links $5\cdot 5-2=23$, rechts $3\cdot 5+8=23$ ✓

Stellen Sie die Formel nach x um

„Nach $x$ umstellen“ heißt: Am Ende steht $x$ allein. In Formeln stehen Buchstaben statt Zahlen. Du stellst sie genauso um und behandelst die anderen Buchstaben wie Zahlen.

Aufgeschrieben:

Die Klammer sagt: erst $y-b$ ganz ausrechnen, dann durch $m$ teilen. Probe mit $m=3$, $b=5$ und $y=20$ ergibt $x=(20-5):3=5$, die Lösung von $3x+5=20$.

Der Bruchstrich

In Formeln schreibt man „geteilt“ meist als Bruchstrich:

Formeln aus der Physik

Gesucht ist hier nicht $x$, sondern ein anderer Buchstabe. Das Vorgehen bleibt gleich.

Weg $s$ gleich Geschwindigkeit $v$ mal Zeit $t$: $s=v\cdot t$. Gesucht ist $t$. Mit $t$ wird $\cdot v$ gerechnet, also teilst du durch $v$:

$t$ steht hier rechts allein. Die Seiten darfst du tauschen: $\frac{s}{v}=t$ heißt dasselbe wie $t=\frac{s}{v}$.

Mit Zahlen: $s=120$ km, $v=80$ km pro Stunde ergibt $t=\frac{120}{80}=1,5$ Stunden.

Die Variable im Nenner

Oft steht dieselbe Formel andersherum da: Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit, $v=\frac{s}{t}$. Jetzt steht $t$ unten im Bruch.

Erst durch $t$ und dann mal $t$ hebt sich auf, zum Beispiel $\frac{120}{2}\cdot 2=60\cdot 2=120$. Darum holst du $t$ mit $\cdot t$ nach oben:

Mit Quadrat: Fallweg $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, nach $t$ umstellen ($a$ ist die Beschleunigung). Zwei Dinge vorher:

Mal $\frac{1}{2}$ ist dasselbe wie durch 2, zum Beispiel $10\cdot \frac{1}{2}=5=10:2$. Darum ist die Gegenrechnung von $\cdot \frac{1}{2}$ die Rechnung $\cdot 2$.

Bei lauter Mal ist die Reihenfolge egal: $2\cdot 3=3\cdot 2=6$. Darum darfst du die Kette so lesen: erst quadrieren, dann $\cdot a$, dann $:2$.

Eine Zeit ist nie negativ. Darum gilt hier nur die positive Wurzel.

Mit Zahlen: $s=20$ m, $a=10$ Meter pro Sekunde im Quadrat ergibt $t=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{10}}=\sqrt{4}=2$ Sekunden.

Genauso die Kreisfläche $A=\pi \cdot r^2$ nach $r$. Dabei ist $\pi$ eine feste Zahl, ungefähr 3,14.

Ein Radius ist nie negativ, darum nur die positive Wurzel. Probe mit $A=314$: $314:3,14=100$ und $\sqrt{100}=10$, also $r=10$.

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