[M5 mkk v2] Minimalkostenkombination

16 Stück kann man auf viele Arten herstellen: mit viel Arbeit und wenig Maschinen oder mit wenig Arbeit und vielen Maschinen. Jede Art kostet etwas anderes. Gesucht ist die billigste.

Die billigste Mischung liegt dort, wo die Gerade gleicher Kosten die Kurve aller Mischungen für 16 Stück nur noch berührt: bei 8 Arbeitsstunden und 2 Maschinenstunden, für 16 €.

Wie findet man diesen Punkt genau, ohne Zeichnung? Mit einer Rechnung. Danach kommen wir auf das Bild zurück und sehen, warum es gerade dieser Punkt ist. Zuerst bauen wir die Kurve.

Viele Mischungen für dieselbe Menge

Ein Betrieb braucht zwei Dinge:

- $A$: Arbeitsstunden von Menschen (Arbeit) - $K$: Maschinenstunden (Kapital)

In der Wirtschaft heißen Maschinen Kapital. Gemeint sind hier Maschinenstunden, kein Geld. $K$ steht auf dieser Seite immer für Kapital.

Arbeit und Maschinen können sich ersetzen. Zwei Menschen mit einer Maschine schaffen so viel wie ein Mensch mit zwei Maschinen.

In unserem Betrieb ist die Stückzahl $x$ Arbeit mal Kapital. Diese Formel heißt Produktionsfunktion:

Beispiel: 4 Arbeitsstunden und 4 Maschinenstunden ergeben $4\cdot 4=16$ Stück.

Der Betrieb will genau 16 Stück. Welche $A$ und $K$ passen? Gesucht sind alle Paare mit $A\cdot K=16$:

Jede Mischung ist ein Punkt

Wir tragen jede Zeile als Punkt ein: $A$ nach rechts, $K$ nach oben. Die Stückzahl steht auf keiner Achse. Sie ist die Fläche des Rechtecks unter dem Punkt: Breite $A$ mal Höhe $K$.

Alle Mischungen für 16 Stück zusammen bilden eine Kurve. Sie heißt Isoquante („iso“: gleich, „Quantum“: Menge). Jeder Punkt auf ihr ist eine andere Wahl mit demselben Ergebnis: 16 Stück.

- Die Kurve fällt: Mit mehr Arbeit braucht man weniger Maschinen. - Sie trifft keine Achse: Mit $A=0$ oder $K=0$ ist $A\cdot K=0$, also kein einziges Stück.

Die Gleichung der Isoquante lösen wir nach $K$ auf. Wir teilen durch $A$:

Probe mit $(2\mid 8)$: $16:2=8$. Stimmt.

Jetzt ist die Isoquante eine Funktion: Zu jedem $A$ gehört genau ein $K$. Wir schreiben darum auch $K(A)=\frac{16}{A}$: so viele Maschinenstunden braucht man bei $A$ Arbeitsstunden.

Was kostet jede Mischung?

Eine Arbeitsstunde kostet 1 €. Eine Maschinenstunde kostet 4 €. Die Kosten heißen $C$. Sie sind die Summe von zwei Posten:

($1\cdot A$ ist einfach $A$.) Die Mischung $(4\mid 4)$ kostet $C=4+4\cdot 4=20$, also 20 €. So rechnen wir jede Zeile:

Alle Mischungen ergeben 16 Stück. Die Kosten in der Tabelle sind aber verschieden: Von oben nach unten fallen sie erst und steigen dann wieder. Liegt das Kleinste genau bei $A=8$, oder bei 7 oder 9 noch tiefer? Das zeigt die Rechnung.

Weg 1: die Rechnung

Die Kosten als Funktion von A

Die Kosten $C=A+4K$ enthalten zwei Größen, $A$ und $K$. Aber $K$ ist nicht frei. Für 16 Stück muss $K=\frac{16}{A}$ sein. Wir setzen das für $K$ ein:

- Die 64 kommt aus $4\cdot 16$. Probe bei $A=8$: $4\cdot \frac{16}{8}=4\cdot 2=8$ und $\frac{64}{8}=8$. - Jetzt hängen die Kosten nur noch von $A$ ab. - Die Bedingung „16 Stück“ steckt schon in der Formel.

Jetzt bekommt jede Mischung auf der Isoquante ihren Kostenwert.

Bei (8 | 2) steht 16 €, die Lösung von Aufgabe 1.

Warum fallen die Kosten erst und steigen dann? $C(A)$ ist eine Summe aus zwei Posten: den Arbeitskosten $A$ und den Maschinenkosten $\frac{64}{A}$.

Am Tiefpunkt ist die Kurve waagerecht. Ihre Steigung ist dort 0. Wir suchen also die Stelle mit $C^{\prime }(A)=0$. Dafür leiten wir $C(A)$ ab.

Ableiten: A und 64/A

$A$ abgeleitet ergibt 1.

Die Potenzregel: Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, der neue Exponent ist um 1 kleiner. Beispiel: $A^3$ abgeleitet ergibt $3\cdot A^2$. Für $\frac{64}{A}$ schreiben wir den Bruch zuerst als Potenz:

Zusammen:

Die Stelle mit Steigung 0

Gesucht ist die Stelle, an der $C^{\prime }(A)=0$ ist. Danach bestätigen wir das Ergebnis zweimal: mit den Nachbarn 7 und 9, und so, wie man es in der Prüfung macht, mit der zweiten Ableitung.

$C^{\prime \prime }(8)>0$ heißt: Die Kurve ist bei 8 nach oben gebogen, wie ein Tal. Also liegt dort ein Tiefpunkt.

Zurück zur Mischung

$A=8$ ist erst die halbe Antwort. Die Mischung braucht auch $K$. Wir gehen vom Tiefpunkt hoch zur Isoquante.

Die Kosten: $C(8)=8+\frac{64}{8}=8+8=16$.

Die billigste Mischung für 16 Stück heißt Minimalkostenkombination: 8 Arbeitsstunden und 2 Maschinenstunden. Die minimalen Kosten sind 16 €.

Weg 2: das Bild

Die Rechnung sagt, dass $(8\mid 2)$ am billigsten ist. Warum gerade dort? Dafür suchen wir alle Mischungen mit gleichen Kosten und legen sie über die Isoquante.

Welche Mischungen kosten genau 20 €? Zwei kennst du schon aus der Tabelle: $(4\mid 4)$ und $(16\mid 1)$. Es gibt mehr, zum Beispiel $(8\mid 3)$ und $(12\mid 2)$.

Die Gerade gleicher Kosten heißt Isokostengerade. Ihre Gleichung:

Die Steigung $-\frac{1}{4}$ ist Preis der Arbeit durch Preis des Kapitals, mit Minus. Für 16 € ändert sich nur die 20:

Gleiche Preise, gleiche Steigung. Andere Kosten verschieben die Gerade nur nach oben oder unten.

Die 20-€-Gerade schneidet die Isoquante zweimal. Zwischen den Schnittpunkten liegen billigere Mischungen. Was geschieht, wenn die Gerade sinkt?

Der Berührpunkt ist die billigste Mischung, die noch 16 Stück ergibt. Bei 12 € gibt es keine Mischung für 16 Stück.

Ein Schnittpunkt wie $(4\mid 4)$ ist also keine Lösung: Dort schneidet die Gerade, und daneben gibt es billigere Mischungen. Nur wo sie berührt, gibt es keine billigere.

Im Berührpunkt gleich steil

Im Berührpunkt liegt die 16-€-Gerade genau an der Isoquante. Beide haben dort dieselbe Steigung.

Die Gerade $K=4-\frac{1}{4}A$ hat die Steigung $-\frac{1}{4}$.

Die Isoquante $K(A)=\frac{16}{A}$ leiten wir genauso ab wie $\frac{64}{A}$: $16\cdot A^{-1}$ ergibt $16\cdot (-1)\cdot A^{-2}$.

Gleich. Im Punkt $(4\mid 4)$ ist die Isoquante steiler: $K^{\prime }(4)=-\frac{16}{16}=-1$.

Was bedeutet das im Betrieb? Wir tauschen: eine Arbeitsstunde mehr oder weniger, und so viele Maschinenstunden anders, dass es weiter 16 Stück sind. Die Maschinenstunden stehen auf der Isoquante: bei $A=5$ ist $K=\frac{16}{5}=3,2$; bei $A=9$ ist $K\approx 1,78$; bei $A=7$ ist $K\approx 2,29$.

In $(8\mid 2)$ macht jeder Tausch die Mischung teurer. Dort ist die Steigung der Isoquante gleich $-\frac{1}{4}$, dem Verhältnis der Preise 1 € und 4 € mit Minus.

Das Verfahren

Aus dem Beispiel wird ein Verfahren für jede Aufgabe. Die Preise heißen allgemein $p_A$ (Preis einer Arbeitsstunde, hier 1 €) und $p_K$ (Preis einer Maschinenstunde, hier 4 €).

1. Isoquante: Produktionsfunktion gleich der Menge setzen, nach $K$ auflösen. Im Beispiel: $A\cdot K=16$, also $K=\frac{16}{A}$. 2. Kosten: $C=p_A\cdot A+p_K\cdot K$. Im Beispiel: $C=A+4K$. 3. Einsetzen: $C(A)$. Im Beispiel: $C(A)=A+\frac{64}{A}$. 4. Tiefpunkt: $C^{\prime }(A)=0$ lösen, $C^{\prime \prime }(A)>0$ prüfen. Im Beispiel: $A=8$. 5. K und C: $K$ aus der Isoquante, $C$ aus $C(A)$. Im Beispiel: $K=2$, $C=16$. 6. Antwort: Mischung und minimale Kosten. Im Beispiel: $(8\mid 2)$, 16 €.

Die Isokostengerade entsteht wie im Beispiel, mit $p_A$ statt 1, $p_K$ statt 4 und $C$ statt 20:

Im Optimum berührt sie die Isoquante. Dort haben beide die Steigung $-\frac{p_A}{p_K}$.

Andere Preise, andere Mischung

Dieselbe Isoquante $A\cdot K=16$, drei Paare von Preisen nacheinander:

Rechnung für die letzte Zeile: $C^{\prime }(A)=4-\frac{16}{A^2}=0$, also $A^2=4$, $A=2$, $K=\frac{16}{2}=8$, $C=8+8=16$.

- In jedem Fall berührt die Gerade die Isoquante. - Von Zeile 1 zu Zeile 2 wird Kapital billiger (4 € auf 1 €): Der Betrieb setzt mehr Kapital ein, 4 statt 2. - Von Zeile 2 zu Zeile 3 wird Arbeit teurer (1 € auf 4 €): Der Betrieb setzt weniger Arbeit ein, 2 statt 4.

Sind Arbeitskosten und Maschinenkosten immer gleich?

In der letzten Spalte sind im Optimum beide Posten gleich: 8 € und 8 €, 4 € und 4 €. Auch im Bild der Summe schneiden sich die beiden Kurven genau unter dem Tiefpunkt:

Das gilt für Produktionsfunktionen der Form $x=A\cdot K$, auch mit Wurzel wie $x=2\cdot \sqrt{A\cdot K}$. Für andere Formen gilt es nicht.

Gegenbeispiel mit denselben Preisen, Arbeit 1 € und Maschine 4 €, aber einer anderen Produktionsfunktion: $A^2\cdot K=64$. Neu ist nur das Ableiten von $\frac{256}{A^2}=256\cdot A^{-2}$: Es ergibt $256\cdot (-2)\cdot A^{-3}=-\frac{512}{A^3}$.

$K=\frac{64}{64}=1$. Arbeitskosten $1\cdot 8=8$ €, Maschinenkosten $4\cdot 1=4$ €. Nicht gleich. Das Verfahren bleibt dasselbe.

Andere Menge, gleiche Preise

Zu jeder Menge gehört eine eigene Isoquante. Weiter außen liegt die größere Menge. Die Preise bleiben 1 € und 4 €, darum sind alle Geraden parallel:

Für jede Menge berührt eine Gerade gleicher Kosten ihre Isoquante.

Eine Aufgabe wie in der Prüfung

In der Prüfung steht die Produktionsfunktion oft mit einer Wurzel. Dann braucht die Isoquante zwei Schritte mehr. Beispiel: $2\cdot \sqrt{A\cdot K}=10$. Erst durch 2 teilen: $\sqrt{A\cdot K}=5$. Dann quadrieren: $A\cdot K=5\cdot 5=25$. Danach geht alles wie im Verfahren.

Übungen