Isoquante und Minimalkostenkombination

Eine Firma will 400 Sonnenschirme herstellen. Sie braucht dafür Arbeit ( $x$ Arbeitsstunden) und Maschinen ( $y$ Maschinenstunden). Eine Arbeitsstunde kostet 60 €, eine Maschinenstunde 20 €. Es gibt viele Rezepte $(x ∣ y)$ für die 400 Schirme. Welches ist das billigste?

Das billigste Rezept heißt Minimalkostenkombination (kurz MKK). Hier ist es $(3 ∣ 7)$ : 3 Arbeitsstunden und 7 Maschinenstunden für 320 €. Mit weniger Geld schafft man die 400 Schirme nicht; mehr Geld wäre verschwendet.

Die Isoquante

Zuerst die Kurve aller Rezepte. Die Firma kennt ihre Rezepte für 400 Schirme als Funktion:

I (x) = \frac{3}{x - 2} + 4

Man setzt die Arbeitsstunden $x$ ein. $I (x)$ steht selbst für $y$ : Es sagt, wie viele Maschinenstunden $y$ man dann braucht. In der Tabelle: links $x$ , in der Mitte der Nenner $x - 2$ , rechts $y = I (x)$ .

Arbeit	Nenner	Maschine
2,5	0,5	$\frac{3}{0 , 5} + 4 = 10$
3	1	$\frac{3}{1} + 4 = 7$
4	2	$\frac{3}{2} + 4 = 5, 5$
5	3	$\frac{3}{3} + 4 = 5$
8	6	$\frac{3}{6} + 4 = 4, 5$

Diese Kurve heißt Isoquante („gleiche Menge“): Jeder Punkt ergibt dieselben 400 Schirme. Man schreibt auch $I_{400} (x)$ .

Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Isoquantenfunktion.

Die Funktion ist gebrochenrational. Sie hat zwei Äste:

Mathematisch darf nur $x = 2$ nicht eingesetzt werden. Ökonomisch zählt nur der rechte Ast. Das ist der ökonomische Definitionsbereich:

D_{\overset{o}{¨} k} = {x \in R ∣ x > 2}

W_{\overset{o}{¨} k} = {y \in R ∣ y > 4}

Kurz: $D_{\overset{o}{¨} k} = (2; \infty)$ , $W_{\overset{o}{¨} k} = (4; \infty)$ . Die runde Klammer heißt: Die Grenze gehört nicht dazu.

Die Isokostengerade

Jetzt die Geraden. Ein Rezept $(x ∣ y)$ kostet:

K = p_{x} \cdot x + p_{y} \cdot y

Hier: $K = 60 x + 20 y$ . Diese Kostenfunktion soll in dasselbe Bild wie die Isoquante. Dafür muss links $y$ allein stehen. Man macht jeweils das Gegenteil der Verknüpfung:

K K - p_{x} x \frac{K - p _{x} x}{p _{y}} = p_{x} x + p_{y} y = p_{y} y = y ∣ - p_{x} x ∣ : p_{y}

Umgeordnet:

y = - \frac{p _{x}}{p _{y}} x + \frac{K}{p _{y}}

Mit 60 und 20:

y = - 3 x + \frac{K}{20}

Eine Isokostengerade („gleiche Kosten“) enthält alle Rezepte, die genau $K$ Euro kosten.

Mit ihrem bisherigen Rezept zahlt die Firma 450 €. Ein Beispiel für 450 € ist $(5 ∣ 7, 5)$ : $60 \cdot 5 + 20 \cdot 7, 5 = 450 €$ . Es liegt nicht auf der Isoquante: Es braucht 7,5 Maschinenstunden; für 400 Schirme reichen 5, denn $I (5) = 5$ .

Aufgabe 2: Bisher entstanden Kosten von 450 €. Geben Sie die Isokostengerade für die bisher entstandenen Kosten an.

60 x + 20 y 20 y y = 450 = - 60 x + 450 = - 3 x + 22, 5 ∣ - 60 x ∣ : 20

Das ist die 450-€-Gerade aus der Schar: Start bei 22,5, dann 1 nach rechts und 3 nach unten.

Die Steigung $- \frac{p _{x}}{p _{y}} = - 3$ hängt nur von den Preisen ab. Der Achsenabschnitt $\frac{K}{p _{y}}$ hängt vom Budget ab: 450 € ergibt 22,5, 350 € ergibt 17,5, 320 € ergibt 16.

Schneiden oder berühren

Warum ist der Punkt, an dem die Gerade die Kurve berührt, das billigste Rezept? Oben wuchs das Budget von 280 € auf 320 €. Was passiert, wenn es noch weiter wächst?

Probe:

- $(2, 5 ∣ 10)$ : $150 + 200 = 350 €$ - $(4 ∣ 5, 5)$ : $240 + 110 = 350 €$ - $(3 ∣ 7)$ : $180 + 140 = 320 €$

Woran erkennt man den Berührpunkt beim Rechnen?

Die Minimalkostenkombination berechnen

Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die hierfür anfallenden minimalen Produktionskosten. Geben Sie die Isokostengerade für die minimalen Kosten an.

Für $I^{'} (x)$ schreibt man den Bruch als Potenz:

\frac{3}{x - 2} = 3 (x - 2)^{- 1}

Jetzt gleich steil setzen: $I^{'} (x) = - 3$ .

Ergebnis:

- Minimalkostenkombination: MKK $(3 ∣ 7)$ , also 3 Arbeitsstunden und 7 Maschinenstunden. - Minimale Kosten: $K_{min} = 60 \cdot 3 + 20 \cdot 7 = 320 €$ . - Isokostengerade für die minimalen Kosten: $y = - 3 x + 16$ . Probe: $- 3 \cdot 3 + 16 = 7$ . ✓

Das Verfahren

Aus 60 € und 20 € werden $p_{x}$ und $p_{y}$ , aus $\frac{3}{x - 2} + 4$ irgendeine Isoquante $I (x)$ .

Schritt	Beispiel	allgemein
1	$y = - 3 x + \frac{K}{20}$	nach $y$ umstellen
2	$I^{'} (x) = - \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}}$	$I^{'} (x)$ bilden
3	$- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} = - 3$	$I^{'} (x) = - \frac{p _{x}}{p _{y}}$
4	$x = 3$ ; $x = 1$ entfällt	$x$ in $D_{\overset{o}{¨} k}$
5	$y = I (3) = 7$	$y = I (x)$
6	$60 \cdot 3 + 20 \cdot 7 = 320$	$x, y$ in $K$ einsetzen

Die Minimalkostenkombination liegt dort, wo die Isokostengerade die Isoquante berührt. Dort gilt:

I^{'} (x) = - \frac{p _{x}}{p _{y}}

Die Isokostengerade dazu:

y = - \frac{p _{x}}{p _{y}} x + \frac{K _{min}}{p _{y}}

Andere Preise

Gleiche Isoquante, aber die Arbeit ist billig: $p_{x} = 20$ €, $p_{y} = 60$ €. Preise schreiben wir als Paar Arbeit : Maschine, hier 20 : 60.

Die Rechnung dazu:

- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} \frac{9}{( x - 2 ) ^{2}} (x - 2)^{2} = - \frac{1}{3} ∣ \cdot (- 3) = 1 = 9

$x - 2 = 3$ ergibt $x = 5$ ; $x - 2 = - 3$ ergibt $x = - 1$ , nicht in $D_{\overset{o}{¨} k}$ .

y = I (5) = 1 + 4 = 5

K = 20 \cdot 5 + 60 \cdot 5 = 400

Zwei weitere Preispaare für dieselbe Isoquante:

- $p_{x} = 90$ €, $p_{y} = 30$ €: Die Steigung ist wieder $- 3$ . Also derselbe Berührpunkt $(3 ∣ 7)$ , nur teurer: $270 + 210 = 480$ €. - $p_{x} = 80$ €, $p_{y} = 60$ €: Die Steigung ist $- \frac{4}{3}$ , also $(x - 2)^{2} = \frac{9}{4}$ und $x = 3, 5$ , $y = 6$ . Kosten: $280 + 360 = 640$ €.

Preise	Steigung	MKK	Kosten
60 : 20	$- 3$	$(3 ∣ 7)$	320 €
20 : 60	$- \frac{1}{3}$	$(5 ∣ 5)$	400 €
90 : 30	$- 3$	$(3 ∣ 7)$	480 €
80 : 60	$- \frac{4}{3}$	$(3, 5 ∣ 6)$	640 €

Gleiches Preisverhältnis, gleiche MKK. Anderes Verhältnis, andere MKK.

Eine andere Isoquante

$I (x) = \frac{12}{x - 1} + 2$ mit $p_{x} = 30$ €, $p_{y} = 10$ €. Hier ist $D_{\overset{o}{¨} k} = (1; \infty)$ , also $x > 1$ .

I^{'} (x) - \frac{12}{( x - 1 ) ^{2}} (x - 1)^{2} = - \frac{12}{( x - 1 ) ^{2}} = - 3 = 4

$x - 1 = 2$ ergibt $x = 3$ ; $x - 1 = - 2$ ergibt $x = - 1$ , nicht in $D_{\overset{o}{¨} k}$ .

y = \frac{12}{2} + 2 = 8

K = 30 \cdot 3 + 10 \cdot 8 = 170

Bei Isoquanten dieser Form liefert die Gleichung zwei Lösungen. Eine liegt außerhalb von $D_{\overset{o}{¨} k}$ (auf dem linken Ast), die andere ist das billigste Rezept: der Punkt, an dem die Isokostengerade die Isoquante berührt.

Jetzt ihr

Gegeben ist

I (x) = \frac{3}{x - 2} + 4

mit

p_{x} = 30

€ und

p_{y} = 40

€. a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination. b) Bestimmen Sie die minimalen Kosten und die Isokostengerade dazu.

Lösung

- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} = - \frac{30}{40} = - \frac{3}{4}

, also

(x - 2)^{2} = 4

x = 4

; der Fall

x = 0

liegt nicht in

D_{\overset{o}{¨} k}

y = I (4) = \frac{3}{2} + 4 = 5, 5

. MKK

(4 ∣ 5, 5)

. b)

K_{min} = 30 \cdot 4 + 40 \cdot 5, 5 = 120 + 220 = 340

€. Gerade:

y = - 0, 75 x + \frac{340}{40} = - 0, 75 x + 8, 5

. Probe:

- 3 + 8, 5 = 5, 5

Isoquante und Minimal­kosten­kombination