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Regeln für das unbestimmte Integral

Potenzen integrieren

Jede Integrationsregel ist eine Ableitungsregel, rückwärts gelesen.

Beim Ableiten einer Potenz wandert die Hochzahl (der Exponent) nach vorn, und die Hochzahl wird um 1 kleiner. Beim Integrieren läuft es rückwärts: Die Hochzahl wird um 1 größer, und ihr teilt durch die neue Hochzahl.

x^{4} ableiten 4 x^{3}

\frac{1}{4} x^{4} + c integrieren x^{3}

Potenzregel: x hoch 4 ableiten, x hoch 3 integrieren

Zum Beispiel $\int x^{5} d x$ : Die Hochzahl 5 wird zu 6, geteilt wird durch 6.

\int x^{5} d x = \frac{1}{6} x^{6} + c

Probe: $(\frac{1}{6} x^{6})^{'} = \frac{1}{6} \cdot 6 x^{5} = x^{5}$ ✓

integrieren	ergibt
$x^{2}$	$\frac{1}{3} x^{3} + c$
$x^{6}$	$\frac{1}{7} x^{7} + c$
$x = x^{1}$	$\frac{1}{2} x^{2} + c$
$x^{11}$	$\frac{1}{12} x^{12} + c$

Merken: Die Hochzahl geht um 1 nach oben, geteilt wird durch die neue Hochzahl, dahinter $+ c$ .

Potenzregel: $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c$ ( $n$ ist die Hochzahl)

Jetzt ihr

\int x^{9} d x

Lösung

\frac{1}{10} x^{10} + c

Eine Zahl davor: die Faktorregel

Eine Zahl vor der Potenz bleibt beim Integrieren stehen:

\int 5 x^{3} d x = \frac{5}{4} x^{4} + c

Oben im Bruch steht die 5, unten die neue Hochzahl 4.

Probe: $(\frac{5}{4} x^{4})^{'} = \frac{5}{4} \cdot 4 x^{3} = 5 x^{3}$ ✓

integrieren	ergibt
$3 x^{2}$	$\frac{3}{3} x^{3} + c = x^{3} + c$
$2 x^{5}$	$\frac{2}{6} x^{6} + c = \frac{1}{3} x^{6} + c$
$7 x^{4}$	$\frac{7}{5} x^{5} + c$
$6 x = 6 x^{1}$	$\frac{6}{2} x^{2} + c = 3 x^{2} + c$
$4 = 4 x^{0}$	$\frac{4}{1} x^{1} + c = 4 x + c$
$k x^{2}$ ( $k$ eine feste Zahl)	$\frac{k}{3} x^{3} + c$

Merken: Die Zahl davor bleibt stehen und kommt oben in den Bruch.

Faktorregel: $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$ ( $k$ ist eine feste Zahl)

Jetzt ihr

\int 10 x^{4} d x

Lösung

2 x^{5} + c

Summen: die Summenregel

Bei einer Summe integriert ihr jeden Summanden für sich:

\int (x^{2} + 6 x - 4) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{6}{2} x^{2} - \frac{4}{1} x^{1} + c = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + c

Probe: $(\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x)^{'} = x^{2} + 6 x - 4$ ✓

Jeder Summand bekäme sein eigenes $c$ . Zusammen sind sie wieder eine einzige Zahl: $c_{1} + c_{2} + c_{3} = c$ .

A) $\int (4 x^{3} + 2 x) d x = \frac{4}{4} x^{4} + \frac{2}{2} x^{2} + c = x^{4} + x^{2} + c$

B) $\int (9 x^{2} - 5) d x = \frac{9}{3} x^{3} - \frac{5}{1} x^{1} + c = 3 x^{3} - 5 x + c$

C) $\int (x^{4} - 2 x^{3} + x) d x = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + c = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + c$

D) $\int (8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 7) d x = \frac{8}{4} x^{4} - \frac{3}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} - \frac{7}{1} x^{1} + c = 2 x^{4} - x^{3} + x^{2} - 7 x + c$

Summenregel: $\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

Jetzt ihr

\int (6 x^{2} + 4 x - 1) d x

Lösung

2 x^{3} + 2 x^{2} - x + c

Schema: Summen von Potenzen integrieren

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Jeden Summanden für sich nehmen. 2. Hochzahl um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen; die Zahl davor kommt oben in den Bruch. 3. Kürzen, wo es geht. 4. Einmal $+ c$ ans Ende. 5. Probe: ableiten.

Übungen: Potenzen integrieren

Berechnet die unbestimmten Integrale.

A) $\int x^{7} d x$

B) $\int 12 x^{5} d x$

C) $\int 2 x^{4} d x$

D) $\int (x^{3} - 4 x + 2) d x$

E) $\int (5 x^{4} + 3 x^{2} - 6) d x$

Lösungen Schritt für Schritt: Potenzen integrieren

\int x^{7} d x = \frac{1}{8} x^{8} + c

Probe: $(\frac{1}{8} x^{8})^{'} = \frac{1}{8} \cdot 8 x^{7} = x^{7}$ ✓

\int 12 x^{5} d x = \frac{12}{6} x^{6} + c = 2 x^{6} + c

Probe: $(2 x^{6})^{'} = 12 x^{5}$ ✓

\int 2 x^{4} d x = \frac{2}{5} x^{5} + c

Probe: $(\frac{2}{5} x^{5})^{'} = \frac{2}{5} \cdot 5 x^{4} = 2 x^{4}$ ✓

\int (x^{3} - 4 x + 2) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{2} x^{2} + \frac{2}{1} x^{1} + c = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2 x + c

Probe: $(\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2 x)^{'} = x^{3} - 4 x + 2$ ✓

\int (5 x^{4} + 3 x^{2} - 6) d x = \frac{5}{5} x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} - \frac{6}{1} x^{1} + c = x^{5} + x^{3} - 6 x + c

Probe: $(x^{5} + x^{3} - 6 x)^{'} = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 6$ ✓

Brüche und Wurzeln integrieren

Brüche mit $x$ im Nenner und Wurzeln sind Potenzen in anderer Schreibweise. Um sie zu integrieren, schreibt ihr sie zuerst als Potenz.

Hinweis: Ein $x^{n}$ im Nenner wird zu $x^{- n}$ . Eine Wurzel wird zu einer Hochzahl als Bruch. Zum Beispiel: $\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}$ , $x = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ .

Zum Beispiel $\int \frac{1}{x ^{3}} d x$ :

\int \frac{1}{x ^{3}} d x = \int x^{- 3} d x = \frac{1}{- 2} x^{- 2} + c = - \frac{1}{2} x^{- 2} + c

Die Hochzahl $- 3$ wird um 1 größer: $- 3 + 1 = - 2$ . Geteilt wird durch die neue Hochzahl $- 2$ .

Zahlenstrahl: Hochzahlen −3, −1/2 und 1/2 werden jeweils um 1 größer

Probe: $(- \frac{1}{2} x^{- 2})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) x^{- 3} = x^{- 3} = \frac{1}{x ^{3}}$ ✓

Das Ergebnis darf als Potenz stehen bleiben. Als Bruch geschrieben: $- \frac{1}{2} x^{- 2} = - \frac{1}{2 x ^{2}}$ .

Und mit Wurzel, $\int x d x$ :

\int x d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{1}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + c

Durch $\frac{3}{2}$ teilen heißt mit $\frac{2}{3}$ malnehmen.

Probe: $(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})^{'} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = x$ ✓

integrieren	als Potenz	ergibt
$\frac{1}{x ^{2}}$	$x^{- 2}$	$\frac{1}{- 1} x^{- 1} + c = - x^{- 1} + c$
$\frac{6}{x ^{4}}$	$6 x^{- 4}$	$\frac{6}{- 3} x^{- 3} + c = - 2 x^{- 3} + c$
$\frac{1}{x}$	$x^{- \frac{1}{2}}$	$\frac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + c = 2 x^{\frac{1}{2}} + c$
$3 x$	$x^{\frac{1}{3}}$	$\frac{1}{\frac{4}{3}} x^{\frac{4}{3}} + c = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + c$
$x x$	$x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{1}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}} + c = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + c$
$4 x^{3}$	$4 x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{4}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}} + c = \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} + c$

Merken: Erst als Potenz schreiben, dann wie gewohnt integrieren.

Jetzt ihr

\int \frac{2}{x ^{3}} d x

Lösung

- x^{- 2} + c

Jetzt ihr

\int 4 x d x

Lösung

\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + c

Übungen: Brüche und Wurzeln integrieren

Berechnet die unbestimmten Integrale.

A) $\int \frac{1}{x ^{4}} d x$

B) $\int \frac{8}{x ^{3}} d x$

C) $\int x^{5} d x$

D) $\int \frac{3}{x} d x$

E) $\int (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) d x$

Lösungen Schritt für Schritt: Brüche und Wurzeln integrieren

\int \frac{1}{x ^{4}} d x = \int x^{- 4} d x = \frac{1}{- 3} x^{- 3} + c = - \frac{1}{3} x^{- 3} + c

Probe: $(- \frac{1}{3} x^{- 3})^{'} = - \frac{1}{3} \cdot (- 3) x^{- 4} = x^{- 4}$ ✓

\int \frac{8}{x ^{3}} d x = \int 8 x^{- 3} d x = \frac{8}{- 2} x^{- 2} + c = - 4 x^{- 2} + c

Probe: $(- 4 x^{- 2})^{'} = - 4 \cdot (- 2) x^{- 3} = 8 x^{- 3}$ ✓

\int x^{5} d x = \int x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{1}{\frac{7}{2}} x^{\frac{7}{2}} + c = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + c

Probe: $(\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}})^{'} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$ ✓

\int \frac{3}{x} d x = \int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x = \frac{3}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + c = 6 x^{\frac{1}{2}} + c

Probe: $(6 x^{\frac{1}{2}})^{'} = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = 3 x^{- \frac{1}{2}}$ ✓

\int (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) d x = \int (x^{2} + x^{- 2}) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c = \frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + c

Probe: $(\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1})^{'} = x^{2} + x^{- 2}$ ✓

$\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ integrieren

Eine Hochzahl schafft die Potenzregel nicht: die $- 1$ . Bei $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ müsste sie durch $- 1 + 1 = 0$ teilen, und durch 0 teilen geht nicht.

Die Antwort steht in der Ableitungstabelle, rückwärts gelesen:

ln x ableiten \frac{1}{x}

ln ∣ x ∣ + c integrieren \frac{1}{x}

Der Betrag hat einen Grund: $\frac{1}{x}$ gibt es auch für negative $x$ , $ln x$ nur für positive. $ln ∣ x ∣$ hat darum zwei Äste: rechts $ln x$ , links sein Spiegelbild $ln (- x)$ .

Graph von ln|x| mit Tangenten bei x = ±2 über dem Graphen von 1/x

Die Steigung oben ist die Höhe unten: bei $x = 2$ beide $0, 5$ , bei $x = - 2$ beide $- 0, 5$ .

Probe für den linken Ast, mit der Kettenregel: $(ln (- x))^{'} = \frac{1}{- x} \cdot (- 1) = \frac{1}{x}$ ✓

Genauso liefert die Ableitungstabelle die Stammfunktionen von $e^{x}$ , $sin x$ und $cos x$ .

Grundintegrale:

$f (x)$	$\int f (x) d x$	Probe
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + c$	$(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$
$e^{x}$	$e^{x} + c$	$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$cos x$	$sin x + c$	$(sin x)^{'} = cos x$
$sin x$	$- cos x + c$	$(- cos x)^{'} = sin x$

Das Minus steht bei $sin x$ . Beim Ableiten laufen $sin$ und $cos$ im Kreis, beim Integrieren läuft derselbe Kreis rückwärts:

Kreis aus sin x, cos x, −sin x, −cos x: ableiten und integrieren

Potenzregel oder Tabelle? Das entscheidet die Hochzahl:

integrieren	Hochzahl	Regel	ergibt
$x^{2}$	$2$	Potenzregel	$\frac{1}{3} x^{3} + c$
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$	$- 2$	Potenzregel	$\frac{1}{- 1} x^{- 1} + c = - x^{- 1} + c$
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$	$- 1$	Tabelle	$ln ∣ x ∣ + c$
$e^{x}$	$x$	Tabelle	$e^{x} + c$

Faktorregel und Summenregel gelten hier genauso:

A) $\int 4 e^{x} d x = 4 e^{x} + c$

B) $\int 2 sin x d x = 2 \cdot (- cos x) + c = - 2 cos x + c$

C) $\int \frac{5}{x} d x = 5 ln ∣ x ∣ + c$

D) $\int \frac{3}{4 x} d x = \int \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{3}{4} ln ∣ x ∣ + c$

E) $\int (e^{x} - 5 sin x) d x = e^{x} - 5 \cdot (- cos x) + c = e^{x} + 5 cos x + c$

Merken: $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ und $cos x$ integriert ihr mit der Ableitungstabelle, rückwärts gelesen. Das Minus steht bei $sin x$ .

Jetzt ihr

\int (6 cos x + \frac{2}{x}) d x

Lösung

6 sin x + 2 ln ∣ x ∣ + c

Übungen: $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ integrieren

Berechnet die unbestimmten Integrale.

A) $\int 5 e^{x} d x$

B) $\int (- 4 sin x) d x$

C) $\int \frac{5}{2 x} d x$

D) $\int (2 cos x - e^{x}) d x$

E) $\int (x^{3} + \frac{1}{x} + sin x) d x$

Lösungen Schritt für Schritt: $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ integrieren

\int 5 e^{x} d x = 5 e^{x} + c

Probe: $(5 e^{x})^{'} = 5 e^{x}$ ✓

\int (- 4 sin x) d x = - 4 \cdot (- cos x) + c = 4 cos x + c

Probe: $(4 cos x)^{'} = - 4 sin x$ ✓

\int \frac{5}{2 x} d x = \int \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{5}{2} ln ∣ x ∣ + c

Probe: $(\frac{5}{2} ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{2 x}$ ✓

\int (2 cos x - e^{x}) d x = 2 sin x - e^{x} + c

Probe: $(2 sin x - e^{x})^{'} = 2 cos x - e^{x}$ ✓

\int (x^{3} + \frac{1}{x} + sin x) d x = \frac{1}{4} x^{4} + ln ∣ x ∣ - cos x + c

Probe: $(\frac{1}{4} x^{4} + ln ∣ x ∣ - cos x)^{'} = x^{3} + \frac{1}{x} + sin x$ ✓

Funktionen von $ax + b$ integrieren

Steht innen $a x + b$ , integriert ihr außen wie gewohnt und teilt durch $a$ , die Zahl vor dem $x$ .

Der Grund ist die Kettenregel. Beim Ableiten kommt die innere Ableitung $a$ als Faktor dazu, beim Integrieren wird durch $a$ geteilt:

e^{3 x} ableiten 3 \cdot e^{3 x}

\frac{1}{3} e^{3 x} + c integrieren e^{3 x}

e hoch 3x ableiten ergibt 3·e hoch 3x, integrieren teilt durch 3

Hinweis: $(a x + b)^{'} = a$ . Das $b$ fällt beim Ableiten weg, darum spielt es beim Teilen keine Rolle.

Zum Beispiel $\int cos (2 x + 1) d x$ , innen $2 x + 1$ , also $a = 2$ :

außen integriert: durch a = 2 geteilt: sin (2 x + 1) \frac{1}{2} sin (2 x + 1) + c

Probe: $(\frac{1}{2} sin (2 x + 1))^{'} = \frac{1}{2} \cdot cos (2 x + 1) \cdot 2 = cos (2 x + 1)$ ✓

integrieren	außen integriert	$a$	ergibt
$e^{2 x}$	$e^{2 x}$	$2$	$\frac{1}{2} e^{2 x} + c$
$e^{- x}$	$e^{- x}$	$- 1$	$\frac{1}{- 1} e^{- x} + c = - e^{- x} + c$
$e^{4 x - 1}$	$e^{4 x - 1}$	$4$	$\frac{1}{4} e^{4 x - 1} + c$
$sin (3 x)$	$- cos (3 x)$	$3$	$\frac{1}{3} \cdot (- cos (3 x)) + c = - \frac{1}{3} cos (3 x) + c$
$cos (\frac{1}{2} x)$	$sin (\frac{1}{2} x)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\frac{1}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + c = 2 sin (\frac{1}{2} x) + c$

Mit einer Potenz außen, auch als Bruch oder Wurzel:

integrieren	außen integriert	$a$	ergibt
$(2 x + 1)^{3}$	$\frac{1}{4} (2 x + 1)^{4}$	$2$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (2 x + 1)^{4} + c = \frac{1}{8} (2 x + 1)^{4} + c$
$\frac{1}{( 2 x - 1 ) ^{2}} = (2 x - 1)^{- 2}$	$\frac{1}{- 1} (2 x - 1)^{- 1} = - (2 x - 1)^{- 1}$	$2$	$\frac{1}{2} \cdot (- (2 x - 1)^{- 1}) + c = - \frac{1}{2} (2 x - 1)^{- 1} + c$
$\frac{1}{3 x - 2}$	$ln ∣ 3 x - 2 ∣$	$3$	$\frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 2 ∣ + c$
$4 x + 1 = (4 x + 1)^{\frac{1}{2}}$	$\frac{2}{3} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}}$	$4$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{6} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$

Merken: Steht innen $a x + b$ : außen integrieren wie gewohnt, dann durch $a$ teilen. Das $b$ spielt keine Rolle.

Lineare Verkettung: $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + c$ ( $F$ ist eine Stammfunktion der äußeren Funktion $f$ )

Jetzt ihr

\int e^{5 x + 2} d x

Lösung

\frac{1}{5} e^{5 x + 2} + c

Jetzt ihr

\int (3 x - 1)^{4} d x

Lösung

\frac{1}{15} (3 x - 1)^{5} + c

Schema: Funktionen von $ax + b$ integrieren

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Innen $a x + b$ erkennen und $a$ ablesen. 2. Außen integrieren; innen bleibt $a x + b$ stehen. 3. Durch $a$ teilen. 4. $+ c$ ans Ende. 5. Probe: ableiten mit der Kettenregel.

Das Teilen durch $a$ klappt nur, wenn innen wirklich eine Zahl mal $x$ plus eine Zahl steht. Bei $e^{x^{2}}$ oder $(x^{2})^{3}$ steht innen $x^{2}$ , und die innere Ableitung $2 x$ ist keine Zahl. An $(x^{2})^{3}$ seht ihr, was dann passiert:

außen integriert, durch 2 x geteilt: richtig, mit (x^{2})^{3} = x^{6} : \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{4} (x^{2})^{4} = \frac{1}{8} x^{7} \int x^{6} d x = \frac{1}{7} x^{7} + c

Für solche inneren Funktionen gibt es ein eigenes Verfahren, die Substitution.

Übungen: Funktionen von $ax + b$ integrieren

Berechnet die unbestimmten Integrale.

A) $\int e^{4 x} d x$

B) $\int sin (2 x - 3) d x$

C) $\int \frac{1}{( 3 x + 1 ) ^{2}} d x$

D) $\int \frac{1}{2 x + 5} d x$

E) $\int cos (\frac{1}{3} x) d x$

Lösungen Schritt für Schritt: Funktionen von $ax + b$ integrieren

A) innen $4 x$ , $a = 4$

außen integriert: durch a = 4 geteilt: e^{4 x} \frac{1}{4} e^{4 x} + c

Probe: $(\frac{1}{4} e^{4 x})^{'} = \frac{1}{4} \cdot e^{4 x} \cdot 4 = e^{4 x}$ ✓

B) innen $2 x - 3$ , $a = 2$

außen integriert: durch a = 2 geteilt: - cos (2 x - 3) - \frac{1}{2} cos (2 x - 3) + c

Probe: $(- \frac{1}{2} cos (2 x - 3))^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (- sin (2 x - 3)) \cdot 2 = sin (2 x - 3)$ ✓

C) innen $3 x + 1$ , $a = 3$

als Potenz: außen integriert: durch a = 3 geteilt: (3 x + 1)^{- 2} \frac{1}{- 1} (3 x + 1)^{- 1} = - (3 x + 1)^{- 1} - \frac{1}{3} (3 x + 1)^{- 1} + c

Probe: $(- \frac{1}{3} (3 x + 1)^{- 1})^{'} = - \frac{1}{3} \cdot (- 1) (3 x + 1)^{- 2} \cdot 3 = (3 x + 1)^{- 2}$ ✓

D) innen $2 x + 5$ , $a = 2$

außen integriert: durch a = 2 geteilt: ln ∣2 x + 5∣ \frac{1}{2} ln ∣2 x + 5∣ + c

Probe: $(\frac{1}{2} ln ∣2 x + 5∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x + 5} \cdot 2 = \frac{1}{2 x + 5}$ ✓

E) innen $\frac{1}{3} x$ , $a = \frac{1}{3}$

außen integriert: durch a = \frac{1}{3} geteilt: sin (\frac{1}{3} x) \frac{1}{\frac{1}{3}} sin (\frac{1}{3} x) + c = 3 sin (\frac{1}{3} x) + c

Probe: $(3 sin (\frac{1}{3} x))^{'} = 3 \cdot cos (\frac{1}{3} x) \cdot \frac{1}{3} = cos (\frac{1}{3} x)$ ✓

Erst umformen, dann integrieren

Für Produkte und für Brüche mit einer Summe im Zähler gibt es keine eigene Regel. Um sie zu integrieren, formt ihr sie zuerst zu einer Summe um.

Jeden Faktor einzeln integrieren geht schief. An $\int x \cdot x d x$ seht ihr es:

\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{4} x^{4} Probe: (\frac{1}{4} x^{4})^{'} = x^{3}

Herauskommen müsste $x \cdot x = x^{2}$ . Richtig ist $\int x \cdot x d x = \int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + c$ .

Zum Beispiel $\int x (3 x - 2) d x$ : Ausmultiplizieren macht daraus eine Summe.

\int x (3 x - 2) d x = \int (3 x^{2} - 2 x) d x = \frac{3}{3} x^{3} - \frac{2}{2} x^{2} + c = x^{3} - x^{2} + c

Probe: $(x^{3} - x^{2})^{'} = 3 x^{2} - 2 x = x (3 x - 2)$ ✓

Bei einem Bruch mit Summe im Zähler teilt ihr jeden Summanden durch den Nenner:

\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x = \int (\frac{x ^{2}}{x} + \frac{1}{x}) d x = \int (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + c

Probe: $(\frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣)^{'} = x + \frac{1}{x} = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ ✓

integrieren	umgeformt	ergibt
$(2 x - 1) (x + 3)$	$2 x^{2} + 5 x - 3$	$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 3 x + c$
$x^{2} (x^{2} - 3)$	$x^{4} - 3 x^{2}$	$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + c$
$\frac{x ^{3} + 2 x}{x}$	$x^{2} + 2$	$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + c$
$\frac{4 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$	$4 - x^{- 2}$	$4 x + x^{- 1} + c$
$\frac{x + 1}{x}$	$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$	$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + c$
$\frac{e ^{2 x} + 1}{e ^{x}}$	$e^{x} + e^{- x}$	$e^{x} - e^{- x} + c$

Merken: Produkte ausmultiplizieren, Brüche aufteilen, dann Summand für Summand integrieren.

Jetzt ihr

\int x^{2} (x + 1) d x

Lösung

\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + c

Schema: unbestimmtes Integral berechnen

Das Verfahren aus allen Abschnitten, allgemein:

1. Umformen: Produkte ausmultiplizieren, Brüche mit Summe im Zähler aufteilen, Wurzeln und Brüche als Potenz schreiben. 2. Summand für Summand integrieren: - Potenz von $x$ mit Hochzahl $n \neq = - 1$ : Hochzahl um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen. - $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ : Grundintegrale. - innen $a x + b$ : außen wie gewohnt integrieren, durch $a$ teilen. - eine Zahl davor bleibt stehen. 3. Einmal $+ c$ ans Ende. 4. Probe: ableiten.

Übungen: erst umformen, dann integrieren

Berechnet die unbestimmten Integrale.

A) $\int x (x + 4) d x$

B) $\int \frac{6 x ^{2} + 3}{x} d x$

C) $\int \frac{x ^{2} - 2}{x ^{3}} d x$

D) $\int \frac{2 x + 3}{x} d x$

E) $\int \frac{e ^{3 x} + e ^{x}}{e ^{x}} d x$

Lösungen Schritt für Schritt: erst umformen, dann integrieren

\int x (x + 4) d x = \int (x^{2} + 4 x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + c = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + c

Probe: $(\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2})^{'} = x^{2} + 4 x$ ✓

\int \frac{6 x ^{2} + 3}{x} d x = \int (6 x + \frac{3}{x}) d x = \frac{6}{2} x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + c = 3 x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + c

Probe: $(3 x^{2} + 3 ln ∣ x ∣)^{'} = 6 x + \frac{3}{x}$ ✓

\int \frac{x ^{2} - 2}{x ^{3}} d x = \int (\frac{1}{x} - 2 x^{- 3}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{2}{- 2} x^{- 2} + c = ln ∣ x ∣ + x^{- 2} + c

Probe: $(ln ∣ x ∣ + x^{- 2})^{'} = \frac{1}{x} - 2 x^{- 3}$ ✓

\int \frac{2 x + 3}{x} d x = \int (2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}}) d x = \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + c = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + c

Probe: $(\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}})^{'} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}}$ ✓

\int \frac{e ^{3 x} + e ^{x}}{e ^{x}} d x = \int (\frac{e ^{3 x}}{e ^{x}} + \frac{e ^{x}}{e ^{x}}) d x = \int (e^{2 x} + 1) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + c

Probe: $(\frac{1}{2} e^{2 x} + x)^{'} = \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2 + 1 = e^{2 x} + 1$ ✓

Herleitung: Warum die Regeln stimmen

Jede Regel wird durch Ableiten bestätigt.

Potenzregel. $(\frac{1}{n + 1} x^{n + 1})^{'} = \frac{1}{n + 1} \cdot (n + 1) x^{n} = x^{n}$ . Die $n + 1$ kürzt sich weg. Für $n = - 1$ stünde im Nenner eine 0.

Faktorregel. $(k \cdot F (x))^{'} = k \cdot F^{'} (x) = k \cdot f (x)$ . Die Zahl $k$ bleibt beim Ableiten stehen, also auch beim Integrieren.

Summenregel. $(F (x) + G (x))^{'} = f (x) + g (x)$ . Summanden werden einzeln abgeleitet, also auch einzeln integriert.

Lineare Verkettung. Mit der Kettenregel: $(\frac{1}{a} F (a x + b))^{'} = \frac{1}{a} \cdot f (a x + b) \cdot a = f (a x + b)$ . Die innere Ableitung $a$ und das $\frac{1}{a}$ heben sich auf.