Ein Hochpunkt liegt nur höher als die Kurve in seiner Nähe. Der größte Gewinn muss größer sein als bei jeder zulässigen Menge. Menge und Preis dürfen nicht negativ sein:
x−2x+85≥0≥0⇒x≤42,5
Zulässiger Bereich:0≤x≤42,5
An beiden Rändern ist der Gewinn negativ. Also ist 125 GE der größte Gewinn im ganzen Bereich.
Die Gleichung G′(x)=0 hat die Mengen 3 und 15 geliefert. Was sagt der Wert von G′ über die Kurve G?
G′(x) ist die Steigung der Tangente an G. Am Hochpunkt ist sie null. Wie wird daraus eine Gleichung für x?
G′(x)=0 findet die Stellen mit waagerechter Tangente.
Warum G″(x)<0?
Bei 3 und bei 15 ist die Tangente waagerecht. Was unterscheidet den Hochpunkt vom Tiefpunkt?
Die Steigung nimmt ab.
x0 heißt eine Stelle mit G′(x0)=0.
Ist G′′(x0)<0, liegt bei x0 ein Hochpunkt. Ist G′′(x0)>0, liegt dort ein Tiefpunkt.
Es braucht immer beide Zahlen:
x
G′(x)
G′′(x)
15
0
−12
✓ Hochpunkt
18
−45
−18
Tangente fällt
Und wenn G′′(x0)=0 ist?
G′′(x0)=0: Dieser Test entscheidet nicht.
Dann entscheidet der Wechsel von Steigen zu Fallen.
Cournotscher Punkt
Welcher Preis gehört zu 15 ME?
Preis: 55 GE/ME. Cournotscher Punkt: C(15∣55).
Der Cournotsche Punkt ist der Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, der zur gewinnmaximalen Menge gehört: C(xmax∣p(xmax)).
Preis und Gewinn hängen über den Erlös zusammen. Die Kosten bei 15 ME sind K(15)=700 GE.
15ME⋅55MEGE825 GE−700 GE=825 GE=125 GE
Schema
Jede Aufgabe dieser Art geht denselben Weg.
Bereich und Gewinnfunktion: zulässigen Mengenbereich festlegen; E(x)=x⋅p(x), G(x)=E(x)−K(x).
I:Suchen: notwendige Bedingung für Extremstellen im Inneren des Bereichs. G′(x)=0 lösen, Kandidaten im Bereich behalten.
II:Prüfen:G′′(x0)<0 bestätigt bei G′(x0)=0 einen Hochpunkt, G′′(x0)>0 einen Tiefpunkt. Bei G′′(x0)=0 den Verlauf von G′ links und rechts prüfen.
III:Vergleichen: Gewinne der möglichen Maximalstellen und der Ränder vergleichen. Der größte Wert ist Gmax, seine Menge xmax.
IV:Preis:p(xmax) berechnen. H(xmax∣Gmax) bei einem inneren Hochpunkt, C(xmax∣p(xmax)) auf der Preis-Absatz-Funktion.
Beispiele
a) Gegeben sind p(x)=6−x, K(x)=2x+1 und 0≤x≤6.
E(x)G(x)=x⋅(6−x)=6x−x2=6x−x2−(2x+1)=−x2+4x−1
SuchenG′(x)=−2x+4=0⇒2x=4⇒x=2Pru¨fenG′′(x)=−2,G′′(2)=−2<0VergleichenG(2)=−4+8−1=3G(0)=−1G(6)=−36+24−1=−13Gmax=3 bei xmax=2Preisp(2)=6−2=4H(2∣3),C(2∣4)
b) Gegeben sind p(x)=5−3x und K(x)=3x+0,1. Das Unternehmen kann höchstens 1 ME herstellen, also gilt 0≤x≤1.
SuchenG′(x)=−6x+2=0⇒6x=2⇒x=31Pru¨fenG′′(x)=−6,G′′(31)=−6<0VergleichenG(31)=−3⋅91+32−101G(31)=31−101=307G(0)=−101G(1)=−3+2−101=−1011Gmax=307 bei xmax=31Preisp(31)=5−1=4H(31∣307),C(31∣4)
c) Gegeben sind p(x)=10−0,5x, K(x)=2x+12 und 0≤x≤20.
SuchenG′(x)=−x+8=0⇒x=8Pru¨fenG′′(x)=−1,G′′(8)=−1<0VergleichenG(8)=−0,5⋅64+64−12=20G(0)=−12G(20)=−200+160−12=−52Gmax=20 bei xmax=8Preisp(8)=10−4=6H(8∣20),C(8∣6)
d) Gegeben sind p(x)=25−x und K(x)=x3−10x2+40x+4. Das Unternehmen kann höchstens 10 ME herstellen, also gilt 0≤x≤10.
SuchenG′(x)=−3x2+18x−15−3x2+18x−15=0∣:(−3)x2−6x+5=0x=3±9−5=3±2x1=1,x2=5Pru¨fenG′′(x)=−6x+18G′′(1)=12>0⇒TiefpunktG′′(5)=−12<0⇒HochpunktVergleichenG(5)=−125+225−75−4=21G(0)=−4G(10)=−1000+900−150−4G(10)=−254Gmax=21 bei xmax=5Preisp(5)=25−5=20H(5∣21),C(5∣20)
C(4∣10) ist die beste Kombination aus Menge und Preis im begrenzten Modell. Die Kapazitätsgrenze, also die größte herstellbare Menge, bestimmt sie mit.
Übungen
Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den zugehörigen Preis im angegebenen Bereich.