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[m3 IR 2 18:15] Kosten + Erlös

Eine Werkstatt näht T-Shirts. Der Chef rechnet mit einer festen Zahl je Stück. Zwanzig Shirts mehr kosten gleich viel und bringen gleich viel ein, sagt er. Die Buchhaltung misst zwei Zwanzigerschritte nach:

Schritt	Kosten steigen um	Erlös (das Geld, das hereinkommt) steigt um
20 auf 40 Stück	132 €	600 €
80 auf 100 Stück	636 €	−600 €

Beide Schritte sind zwanzig Stück groß. Keine der vier Zahlen passt zur festen Zahl des Chefs.

Die gemessene Kostenreihe

Die Buchhaltung hat für jede Menge aufgeschrieben, was der Tag gekostet hat. Die dritte Spalte ist keine Kostenspalte. Sie zeigt den Sprung von der Zeile darüber zu dieser Zeile.

Menge $x$	Kosten $K (x)$	Zuwachs
0 Stück	200 €
20 Stück	356 €	156 €
40 Stück	488 €	132 €
60 Stück	692 €	204 €
80 Stück	1064 €	372 €
100 Stück	1700 €	636 €

Bei null Stück stehen schon 200 € da. Diese 200 € heißen Fixkosten $K_{f}$ . Darin stecken Miete, Maschine und Strom.

Lest die Zuwachsspalte von oben nach unten.

156 · 132 · 204 · 372 · 636

Der Sprung wird einmal kleiner und danach immer größer.

Die Kurve steigt überall. Die Doppelpfeile über den Schritten werden verschieden lang.

Die zwei Teile der Zuwachsreihe

Die Zuwachsreihe hat zwei Teile, und jeder trägt einen eigenen Namen.

Teil	Zuwächse	Name	So sieht es in der Werkstatt aus
bis 40 Stück	156 · 132	degressiv	die Maschinen laufen immer voller
ab 40 Stück	204 · 372 · 636	progressiv	es kommen Überstunden dazu

Degressiv heißt: jedes weitere Stück kostet weniger als das davor. Progressiv heißt: jedes weitere Stück kostet mehr. Eine Kostenfunktion mit diesen zwei Teilen heißt ertragsgesetzliche Kostenfunktion.

Die Kostenfunktion

Für jede Menge sollt ihr den Kostenwert ausrechnen können. Darum schreibt die Werkstatt die Reihe als Funktion.

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 15 x^{2} + 10 x + 200

Der höchste Exponent ist die 3. Die Funktion hat also Grad drei. Prüft sie bei 60 Stück nach. Setzt die 60 für jedes $x$ ein.

K (60) = 0, 002 \cdot 6 0^{3} - 0, 15 \cdot 6 0^{2} + 10 \cdot 60 + 200

0, 002 \cdot 216000 = 432

0, 15 \cdot 3600 = 540

10 \cdot 60 = 600

432 - 540 + 600 + 200 = 692

Die 692 € stehen auch in der Kostentabelle in der Zeile für 60 Stück. Die 200 am Ende sind die Fixkosten $K_{f}$ .

Der Preis als Funktion der Menge

Aus dem Vorkapitel kennt ihr die Nachfragefunktion des Marktes:

x (p) = 120 - 2 p

Dort geht ein Preis hinein, und heraus kommt eine Menge. Die Werkstatt plant aber mit Stückzahlen. Um den Preis zu einer Menge zu bekommen, stellt ihr nach $p$ um.

2 p = 120 - x ⟹ p (x) = 60 - 0, 5 x

p (60) = 60 - 0, 5 \cdot 60 = 30

Bei 60 Stück am Tag bringt jedes Shirt 30 €.

Die Erlösfunktion

Der Erlös ist das Geld, das hereinkommt. Bei 60 Stück zu je 30 € sind das $60 \cdot 30 = 1800$ €. Ihr bekommt ihn also aus Preis mal Menge.

E (x) = p (x) \cdot x = (60 - 0, 5 x) \cdot x

(60 - 0, 5 x) \cdot x = 60 \cdot x - 0, 5 x \cdot x = 60 x - 0, 5 x^{2}

Probe bei 60 Stück.

E (60) = 60 \cdot 60 - 0, 5 \cdot 6 0^{2} = 3600 - 1800 = 1800

Das Rechteck hat die Menge als Grundseite und den Preis als Höhe. Seine Fläche ist der Erlös.

Die gemessene Erlösreihe

Menge $x$	Preis $p (x)$	Erlös $E (x)$	Zuwachs
0 Stück	60 €	0 €
20 Stück	50 €	1000 €	1000 €
40 Stück	40 €	1600 €	600 €
60 Stück	30 €	1800 €	200 €
80 Stück	20 €	1600 €	−200 €
100 Stück	10 €	1000 €	−600 €

In jeder Zeile steht derselbe Schritt von zwanzig Stück.

1000 · 600 · 200 · −200 · −600

Der Zuwachs schrumpft von Zeile zu Zeile um 400 €. Ab 60 Stück ist er negativ. Mehr Verkauf bringt dann weniger Geld herein.

Schema

Um Kosten und Erlös bei einer Menge zu vergleichen, braucht ihr zuerst den Preis als Funktion der Menge.

a) Die Nachfragefunktion $x (p)$ nach $p$ umstellen. Das ergibt $p (x)$ .

b) $E (x) = p (x) \cdot x$ aufstellen und ausmultiplizieren.

c) Die Menge einsetzen, in $E (x)$ und in $K (x)$ .

Was aus der Eingangsfrage geworden ist

Der Chef wollte eine feste Zahl je Stück. Gemessen waren zwei gleich große Schritte von zwanzig Stück. Bei den Kosten standen 132 € gegen 636 €. Beim Erlös standen 600 € gegen −600 €. Jede dieser Zahlen hängt davon ab, bei welcher Menge ihr den Schritt macht. Bei einer festen Zahl je Stück stünde in jeder Zeile derselbe Sprung. Genau darum steht die Menge $x$ in $K (x)$ und in $E (x)$ .

Zum Üben

Jetzt ihr: Eine Bäckerei verkauft Brote mit der Nachfragefunktion $x (p) = 160 - 4 p$ . Ihre Kosten sind $K (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 09 x^{2} + 5 x + 150$ .

a) Stellt $p (x)$ auf und daraus $E (x)$ .

b) Rechnet $E (40)$ und $K (40)$ aus.

(Lösung: a) $p (x) = 40 - 0, 25 x$ und $E (x) = 40 x - 0, 25 x^{2}$ ; b) $E (40) = 40 \cdot 40 - 0, 25 \cdot 4 0^{2} = 1600 - 400 = 1200$ € und $K (40) = 0, 001 \cdot 4 0^{3} - 0, 09 \cdot 4 0^{2} + 5 \cdot 40 + 150 = 64 - 144 + 200 + 150 = 270$ €)