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[Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

Wirtschaftsfunktionen machen aus einer Menge Ware einen Geldbetrag.

Zum Beispiel stellt eine Saftfabrik in einer Woche 10 000 Flaschen Saft her und verkauft jede Flasche für 3 €:

kostet: bringt ein: bleibt \overset{u}{¨} brig: 25000 € (Saft, Flaschen, Strom, Miete, Maschinen) 10000 \cdot 3 € = 30000 € 30000 € - 25000 € = 5000 €

Die drei Beträge heißen Kosten, Erlös und Gewinn.

Gerechnet wird in gewählten Einheiten, hier:

1 ME = 1000 Flaschen 1 GE = 100 €

ME heißt Mengeneinheit, GE heißt Geldeinheit. Die Menge in ME heißt $x$ .

	Menge	Kosten	Erlös	Gewinn
in Flaschen und €	10 000 Flaschen	25 000 €	30 000 €	5 000 €
in ME und GE	$x = 10$	$K (10) = 250$	$E (10) = 300$	$G (10) = 50$

K für Kosten, E für Erlös, G für Gewinn. In alle drei Funktionen kommt dieselbe Menge $x$ , denn die Fabrik verkauft, was sie herstellt.

Eine ME sind 1000 Flaschen. Darum darf $x$ auch eine Kommazahl sein: $x = 2, 5$ sind 2500 Flaschen.

Erlös: $E(x) = p \cdot x$

Der Erlös ist das Geld, das für die verkaufte Menge hereinkommt: Preis mal Menge.

Der Preis $p$ gilt je ME. Aus 3 € je Flasche wird:

3 € je Flasche = 30 GE 3000 € je 1 ME 1000 Flaschen = 30 GE je ME

Die Einheit des Preises ist GE je ME, oft geschrieben als GE/ME.

E (x) = 30 \cdot x E (10) = 30 \cdot 10 = 300

Jede ME bringt 30 GE. Der Graph von $E$ ist darum eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 30:

Kosten: $K(x) = K_v(x) + K_f$

Die Kosten sind alles, was die Fabrik für die Herstellung bezahlt. Die Kostenfunktion der Saftfabrik:

K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100 K (10) = 0, 5 \cdot 1 0^{2} + 10 \cdot 10 + 100 = 250

Im Antwortsatz: Bei 10 ME betragen die Kosten 250 GE.

Und wenn die Fabrik eine Woche lang nichts herstellt?

K (0) = 0, 5 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + 100 = 100

Miete und Maschinen kosten auch bei 0 ME. Diese 100 GE heißen Fixkosten $K_{f}$ (fix: fest, bei jeder Menge gleich). Der Rest wächst mit der Menge: Saft, Flaschen, Strom. Das sind die variablen Kosten $K_{v} (x)$ (variabel: veränderlich).

K (x) = K_{v} (x) 0, 5 x^{2} + 10 x + K_{f} 100

Merken: Kosten = variable Kosten + Fixkosten. Die Fixkosten sind $K (0)$ , der Summand ohne $x$ .

Jetzt du: Wie lauten $K_{f}$ und $K_{v} (x)$ ?

a) $K (x) = 2 x^{2} + 5 x + 40$ (Lösung: $K_{f} = 40$ , $K_{v} (x) = 2 x^{2} + 5 x$ )

b) $K (x) = 80 + 4 x$ (Lösung: $K_{f} = 80$ , $K_{v} (x) = 4 x$ )

c) $K (x) = 0, 1 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x + 250$ (Lösung: $K_{f} = 250$ , $K_{v} (x) = 0, 1 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x$ )

Gewinn: $G(x) = E(x) - K(x)$

Der Gewinn ist, was vom Erlös nach den Kosten übrig bleibt. Für die Saftfabrik:

E (x) = 30 x K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100

G (x) = 30 x - (0, 5 x^{2} + 10 x + 100) = 30 x - 0, 5 x^{2} - 10 x - 100 = - 0, 5 x^{2} + 20 x - 100

Lohnt sich die Herstellung bei jeder Menge?

$x$ in ME	$E (x)$ in GE	$K (x)$ in GE	$G (x)$ in GE
0	0	100	$- 100$
2	60	122	$- 62$
10	300	250	$50$

Ein negativer Gewinn heißt Verlust. Wer nichts verkauft, verliert die Fixkosten: $G (0) = - 100 = - K_{f}$ .

Im Bild zeigt ein Pfeil von der Kostenkurve zur Erlösgeraden den Gewinn:

Merken: $E$ über $K$ : Gewinn. $K$ über $E$ : Verlust.

Jetzt ihr

K (x) = 4 x + 60

, Preis 12 GE je ME. Wie lauten

E (x)

und

G (x)

? Wie groß ist der Gewinn bei 5 ME und bei 10 ME?

Lösung

E (x) = 12 x

G (x) = 12 x - (4 x + 60) = 8 x - 60

G (5) = - 20

GE, also 20 GE Verlust,

G (10) = 20

GE Gewinn

Stückkosten: $k(x) = \frac{K(x)}{x}$

Warum macht die Fabrik bei 2 ME Verlust? Jede ME bringt doch 30 GE.

Die Stückkosten $k (x)$ sagen, was eine ME im Durchschnitt kostet: Die gesamten Kosten werden gleichmäßig auf alle $x$ ME verteilt.

$x$ in ME	$K (x)$ in GE	$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ in GE je ME
2	122	$\frac{122}{2} = 61$
10	250	$\frac{250}{10} = 25$

Preis gegen Stückkosten:

$x$ in ME	Preis $p$	Stückkosten $k (x)$	je ME bleibt $p - k (x)$	Gewinn $(p - k (x)) \cdot x$
2	30	61	$- 31$	$- 31 \cdot 2 = - 62 = G (2)$
10	30	25	$5$	$5 \cdot 10 = 50 = G (10)$

Bei 2 ME kostet eine ME im Durchschnitt mehr, als sie einbringt. In Flaschen:

6100 € 61 GE je 1000 Flaschen 1 ME = 6, 10 € je Flasche

Das Wort „kosten“ hat damit zwei Seiten:

Satz	Wer bezahlt?	Fachwort
„Die Flasche kostet 3 €.“	der Käufer	Preis
„Bei 2000 Flaschen kostet eine Flasche die Fabrik im Durchschnitt 6,10 €.“	die Fabrik	Stückkosten

Warum ist eine ME bei 2 ME so teuer? Um das zu sehen, teilt ihr jeden Summanden durch $x$ :

k (x) = \frac{0 , 5 x ^{2} + 10 x + 100}{x} = \frac{0 , 5 x ^{2}}{x} + \frac{10 x}{x} + \frac{100}{x} = k_{v} (x) 0, 5 x + 10 + Fixkosten je ME \frac{100}{x}

Der erste Teil sind die variablen Stückkosten $k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}$ . Der zweite Teil verteilt die 100 GE Fixkosten auf die Menge:

$x$ in ME	2	5	10	20
$\frac{100}{x}$ in GE je ME	50	20	10	5

Dieselben 100 GE verteilen sich auf immer mehr ME:

Bei 0 ME gibt es nichts zu verteilen: $k (0)$ gibt es nicht.

Merken: Stückkosten = Kosten geteilt durch Menge, der Durchschnitt je ME. Der Anteil der Fixkosten daran sinkt, je mehr ME es sind.

Jetzt ihr

K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100

. Wie groß sind

k (5)

und

k_{v} (5)

Lösung

k (5) = 0, 5 \cdot 5 + 10 + \frac{100}{5} = 32, 5

GE je ME,

k_{v} (5) = 0, 5 \cdot 5 + 10 = 12, 5

GE je ME

Geld insgesamt und Geld je ME

Jede Geldangabe ist entweder Geld insgesamt oder Geld je ME. Durch die Menge geteilt wird aus insgesamt je ME, mal die Menge wird aus je ME insgesamt:

insgesamt, in GE K (10) = 250 E (10) = 300 : 10 ME \cdot 10 ME je ME, in GE je ME k (10) = 25 p = 30

Sorte	Einheit	Zeichen
Geld insgesamt	GE	$K (x)$ , $K_{f}$ , $K_{v} (x)$ , $E (x)$ , $G (x)$
Geld je ME	GE je ME	$p$ , $k (x)$ , $k_{v} (x)$

Abziehen lassen sich nur Angaben derselben Sorte:

p - k (10) = 30 - 25 = 5 GE je ME, die von jeder ME \overset{u}{¨} brig bleiben

p - K (10) = 30 - 250 GE je ME minus GE: ohne Bedeutung

Übungen: Kosten, Erlös, Gewinn

Bestimmt $K_{f}$ , $K_{v} (x)$ , $k (x)$ , $k_{v} (x)$ , $E (x)$ und $G (x)$ , dazu die Stückkosten und den Gewinn bei der angegebenen Menge.

a) $K (x) = 6 x + 120$ , Preis 10 GE je ME, 20 ME

b) $K (x) = 50 + 2 x + x^{2}$ , Preis 22 GE je ME, 5 ME

c) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ , Preis 30 GE je ME, 4 ME

Lösungen Schritt für Schritt:

a) $K (x) = 6 x + 120$ , Preis 10 GE je ME, 20 ME

K_{f} K_{v} (x) k (x) k_{v} (x) E (x) G (x) = K (0) = 120 = 6 x = \frac{6 x + 120}{x} = 6 + \frac{120}{x} = \frac{6 x}{x} = 6 = 10 x = 10 x - (6 x + 120) = 4 x - 120 k (20) G (20) = 6 + 6 = 12 = 4 \cdot 20 - 120 = - 40

Bei 20 ME kostet eine ME im Durchschnitt 12 GE und bringt 10 GE. Der Betrieb macht 40 GE Verlust.

b) $K (x) = 50 + 2 x + x^{2}$ , Preis 22 GE je ME, 5 ME

K_{f} K_{v} (x) k (x) k_{v} (x) E (x) G (x) = K (0) = 50 = 2 x + x^{2} = \frac{50 + 2 x + x ^{2}}{x} = \frac{50}{x} + 2 + x = \frac{2 x + x ^{2}}{x} = 2 + x = 22 x = 22 x - (50 + 2 x + x^{2}) = - x^{2} + 20 x - 50 k (5) G (5) = 10 + 2 + 5 = 17 = - 5^{2} + 20 \cdot 5 - 50 = 25

Bei 5 ME kostet eine ME im Durchschnitt 17 GE und bringt 22 GE. Der Betrieb macht 25 GE Gewinn.

c) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ , Preis 30 GE je ME, 4 ME

K_{f} K_{v} (x) k (x) k_{v} (x) E (x) G (x) = K (0) = 32 = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x = \frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 15 x + 32}{x} = x^{2} - 6 x + 15 + \frac{32}{x} = \frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 15 x}{x} = x^{2} - 6 x + 15 = 30 x = 30 x - (x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32) = - x^{3} + 6 x^{2} + 15 x - 32 k (4) G (4) = 16 - 24 + 15 + 8 = 15 = - 64 + 96 + 60 - 32 = 60

Bei 4 ME kostet eine ME im Durchschnitt 15 GE und bringt 30 GE. Der Betrieb macht 60 GE Gewinn.

Nachfrage und Angebot: $p_N(x)$ und $p_A(x)$

Auf einem Markt gehört zu jeder Menge ein Preis. Die Nachfrage gibt ihn für die Käufer an, das Angebot für die Verkäufer.

Zum Beispiel der Erdbeermarkt einer Stadt. Die Menge $x$ zählt in ME, der Preis in GE je ME.

	Funktion	bei 5 ME	Antwortsatz
Nachfrage	$p_{N} (x) = 40 - 2 x$	$p_{N} (5) = 30$	Zu 30 GE je ME kaufen alle Käufer der Stadt zusammen 5 ME.
Angebot	$p_{A} (x) = 10 + x$	$p_{A} (5) = 15$	Zu 15 GE je ME bieten alle Bauern zusammen 5 ME zum Verkauf an.

Die Nachfrage fällt: Je billiger die Erdbeeren, desto mehr kaufen die Leute. Das Angebot steigt: Je teurer die Erdbeeren, desto mehr Bauern lohnt sich das Pflücken und Verkaufen.

Rückwärts geht es auch. Wie viele ME kaufen die Käufer zu 24 GE je ME?

40 - 2 x = 24 \Rightarrow 2 x = 16 \Rightarrow x = 8

Zu 24 GE je ME kaufen die Käufer 8 ME. Auch hier steht die Menge waagerecht, der Preis senkrecht:

Jetzt du:

a) $p_{1} (x) = 8 + 0, 5 x$ und $p_{2} (x) = 50 - 4 x$ . Welche Funktion ist die Nachfrage, welche das Angebot? (Lösung: $p_{2}$ fällt: Nachfrage. $p_{1}$ steigt: Angebot.)

b) Wie groß ist $p_{2} (10)$ , und wie viele ME kaufen die Käufer zu 34 GE je ME? (Lösung: $p_{2} (10) = 50 - 40 = 10$ GE je ME; $50 - 4 x = 34 \Rightarrow x = 4$ , also 4 ME)

Polypol und Monopol: der Erlös

Wie der Erlös aussieht, hängt davon ab, wie viele Verkäufer es gibt.

Die Saftfabrik ist eine von vielen Saftfabriken. Eine allein ändert den Marktpreis nicht, darum bekommt sie für jede Menge 30 GE je ME. Diese Lage heißt Polypol (viele Verkäufer).

Verkauft ein einziger Bauer alle Erdbeeren der Stadt, heißt das Monopol (ein Verkäufer). Die Nachfrage der ganzen Stadt gilt dann für ihn allein. Will er mehr ME verkaufen, muss er den Preis senken, und zwar für alle ME:

E (x) = p_{N} (x) \cdot x = (40 - 2 x) \cdot x = 40 x - 2 x^{2}

$x$ in ME	5	10	15
Preis $p_{N} (x)$ in GE je ME	30	20	10
Erlös $E (x)$ in GE	$30 \cdot 5 = 150$	$20 \cdot 10 = 200$	$10 \cdot 15 = 150$

Von 10 auf 15 ME: 5 ME mehr verkauft, 50 GE weniger eingenommen.

Erlös bei festem und bei sinkendem Preis

Merken: Polypol: $E (x) = p \cdot x$ , der Preis ist fest. Monopol: $E (x) = p_{N} (x) \cdot x$ , der Preis sinkt mit der Menge.

Wo das Modell gilt: $D_{\text{ök}}$

Ein Term rechnet für jedes $x$ . Eine Bedeutung hat das Ergebnis nur für manche $x$ :

E (- 3) = 30 \cdot (- 3) = - 90 Saftfabrik: Eine negative Menge gibt es nicht.

p_{N} (25) = 40 - 2 \cdot 25 = - 10 Erdbeeren: Der Bauer m \overset{u}{¨} sste den K \overset{a}{¨} ufern 10 GE je ME zahlen.

Dazu kommt der Betrieb selbst. Die Saftfabrik schafft mit ihren Maschinen höchstens 30 ME in der Woche. Diese Menge heißt Kapazitätsgrenze. Sie steht in keinem Term, sie ist eine Angabe über den Betrieb.

K (40) = 0, 5 \cdot 4 0^{2} + 10 \cdot 40 + 100 = 1300 rechenbar, aber 40 ME kann die Fabrik nicht herstellen

Die Mengen, für die das Modell gilt, bilden den ökonomischen Definitionsbereich $D_{\overset{o}{¨} k}$ . Jede dieser Bedingungen muss erfüllt sein:

	Menge nicht negativ	höchstens die Kapazitätsgrenze	Preis nicht negativ	$D_{\overset{o}{¨} k}$
Saftfabrik, Kapazitätsgrenze 30 ME	$x \geq 0$	$x \leq 30$	Preis immer 30	$[0; 30]$
Erdbeer-Monopol, Kapazitätsgrenze 25 ME	$x \geq 0$	$x \leq 25$	$40 - 2 x \geq 0$ , also $x \leq 20$	$[0; 20]$

$[0; 20]$ heißt: alle $x$ mit $0 \leq x \leq 20$ , beide Ränder gehören dazu. Beim Erdbeer-Monopol endet das Modell also schon bei 20 ME.

Merken: $D_{\overset{o}{¨} k}$ enthält nur Mengen ab 0, höchstens bis zur Kapazitätsgrenze, und nur solange der Preis nicht negativ ist.

Jetzt ihr

Ein Monopolist verkauft zum Preis

p_{N} (x) = 48 - 4 x

, seine Kapazitätsgrenze ist 15 ME. Wie lautet

D_{\overset{o}{¨} k}

Lösung

48 - 4 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 12

; 12 liegt unter 15, also

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 12]

Übungen: Markt

Ein Monopolist verkauft zum Preis $p_{N} (x)$ . Bestimmt den Preis bei der Menge $x_{0}$ , die Menge zum Preis $p_{0}$ , den Erlös $E (x)$ , den Erlös bei $x_{0}$ und $D_{\overset{o}{¨} k}$ .

a) $p_{N} (x) = 60 - 3 x$ , Kapazitätsgrenze 25 ME, $x_{0} = 8$ , $p_{0} = 45$

b) $p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$ , Kapazitätsgrenze 40 ME, $x_{0} = 20$ , $p_{0} = 25$

c) $p_{N} (x) = 50 - 0, 5 x^{2}$ , Kapazitätsgrenze 12 ME, $x_{0} = 4$ , $p_{0} = 32$

Lösungen Schritt für Schritt:

a) $p_{N} (x) = 60 - 3 x$ , Kapazitätsgrenze 25 ME, $x_{0} = 8$ , $p_{0} = 45$

p_{N} (8) 60 - 3 x E (x) E (8) 60 - 3 x = 60 - 3 \cdot 8 = 36 = 45 \Rightarrow 3 x = 15 \Rightarrow x = 5 = (60 - 3 x) \cdot x = 60 x - 3 x^{2} = 60 \cdot 8 - 3 \cdot 8^{2} = 480 - 192 = 288 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2020 < 25

Bei 8 ME liegt der Preis bei 36 GE je ME, zu 45 GE je ME kaufen die Käufer 5 ME. $E (8) = 288$ GE. $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 20]$ .

b) $p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$ , Kapazitätsgrenze 40 ME, $x_{0} = 20$ , $p_{0} = 25$

p_{N} (20) 30 - 0, 5 x E (x) E (20) 30 - 0, 5 x = 30 - 0, 5 \cdot 20 = 20 = 25 \Rightarrow 0, 5 x = 5 \Rightarrow x = 10 = (30 - 0, 5 x) \cdot x = 30 x - 0, 5 x^{2} = 30 \cdot 20 - 0, 5 \cdot 2 0^{2} = 600 - 200 = 400 \geq 0 \Rightarrow x \leq 6040 < 60

Bei 20 ME liegt der Preis bei 20 GE je ME, zu 25 GE je ME kaufen die Käufer 10 ME. $E (20) = 400$ GE. $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 40]$ .

c) $p_{N} (x) = 50 - 0, 5 x^{2}$ , Kapazitätsgrenze 12 ME, $x_{0} = 4$ , $p_{0} = 32$

p_{N} (4) 50 - 0, 5 x^{2} E (x) E (4) 50 - 0, 5 x^{2} = 50 - 0, 5 \cdot 4^{2} = 42 = 32 \Rightarrow 0, 5 x^{2} = 18 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = 6 (x = - 6 ist keine Menge) = (50 - 0, 5 x^{2}) \cdot x = 50 x - 0, 5 x^{3} = 50 \cdot 4 - 0, 5 \cdot 4^{3} = 200 - 32 = 168 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 100 \Rightarrow x \leq 1010 < 12

Bei 4 ME liegt der Preis bei 42 GE je ME, zu 32 GE je ME kaufen die Käufer 6 ME. $E (4) = 168$ GE. $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ .

Grenzkosten: $K'(x)$

Die Grenzkosten $K^{'} (x)$ sagen, wie schnell die Kosten wachsen, wenn die Menge über $x$ hinaus wächst. Sie sind die Ableitung der Kostenfunktion.

Die Saftfabrik stellt 10 ME her:

K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100 K^{'} (x) = 0, 5 \cdot 2 x + 10 = x + 10 K^{'} (10) = 10 + 10 = 20

Im Bild ist $K^{'} (10)$ die Steigung der Tangente im Punkt $(10 ∣ 250)$ , das $m$ in $y = m x + b$ :

Die Einheit steht im Steigungsdreieck: GE geteilt durch ME, also GE je ME. Bei 10 ME wachsen die Kosten um 20 GE je weitere ME.

Probe: Was kostet die 11. ME genau?

K (11) - K (10) = 270, 5 - 250 = 20, 5 \approx 20 = K^{'} (10)

Nur ungefähr: Die Kurve ist krumm, die Tangente gerade. Über eine einzige ME liegen beide dicht beieinander, wie die Lupe zeigt.

Im Antwortsatz: Bei 10 ME kostet eine ME mehr etwa 20 GE.

An derselben Stelle stehen jetzt zwei Zahlen:

K (10) = 250 GE H \overset{o}{¨} he: was 10 ME zusammen kosten

K^{'} (10) = 20 GE je ME Steigung: was eine ME mehr etwa kostet

Und $K^{'}$ ist selbst eine Funktion. Jede Menge hat ihre eigenen Grenzkosten:

$x$ in ME	0	10	20
$K^{'} (x) = x + 10$ in GE je ME	10	20	30

Je mehr die Fabrik schon herstellt, desto steiler die Kostenkurve und desto teurer die nächste ME.

Jetzt ihr

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32

. Wie groß sind

K^{'} (2)

und

K^{'} (5)

Lösung

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15

K^{'} (2) = 3

GE je ME,

K^{'} (5) = 30

GE je ME. Bei 2 ME kostet eine ME mehr etwa 3 GE, bei 5 ME etwa 30 GE.

Wo sind die 100 GE Fixkosten geblieben? In $K^{'} (x) = x + 10$ steht keine 100, denn beim Ableiten fällt die Konstante weg. Eine zweite Fabrik hat dieselben variablen Kosten, aber 900 GE Fixkosten:

K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100 K^{'} (x) = x + 10

K_{2} (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 900 K_{2}^{'} (x) = x + 10

gleiche Steigung trotz höherer Fixkosten

Die höheren Fixkosten schieben den Graphen nach oben. Seine Steigung ändern sie nirgends. Die Stückkosten ändern sie sehr wohl:

k (10) = \frac{250}{10} = 25 k_{2} (10) = \frac{1050}{10} = 105

Merken: Fixkosten stecken in den Kosten und in den Stückkosten, nie in den Grenzkosten.

Durchschnitt und Grenze: $k(x)$ und $K'(x)$

Was kostet bei 10 ME eine ME? Es gibt zwei Antworten mit derselben Einheit:

k (10) = \frac{K ( 10 )}{10} = \frac{250}{10} = 25 GE je ME Durchschnitt aller 10 ME

K^{'} (10) = 20 GE je ME ungef \overset{a}{¨} hr die 11. ME

Und bei 20 ME?

k (20) = \frac{K ( 20 )}{20} = \frac{500}{20} = 25 GE je ME K^{'} (20) = 20 + 10 = 30 GE je ME

Im Bild sind beide Zahlen Steigungen, aber von verschiedenen Geraden. Die Stückkosten sind die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Kurvenpunkt: 250 GE hoch, 10 ME breit. Die Grenzkosten sind die Steigung der Tangente. Die variablen Stückkosten $k_{v} (10) = \frac{150}{10} = 15$ sind die Steigung der Geraden vom Startpunkt $S (0 ∣ 100)$ zum Kurvenpunkt.

Durchschnitt und Grenze an einem Kostengraphen

Gleicher Durchschnitt, verschiedene nächste ME. Der Durchschnitt verrät nicht, was die nächste ME kostet.

Merken: Stückkosten = Steigung der Geraden vom Ursprung zum Kurvenpunkt, der Durchschnitt. Grenzkosten = Steigung der Tangente, ungefähr die nächste ME.

Grenzerlös: $E'(x)$

Der Grenzerlös $E^{'} (x)$ ist die Ableitung des Erlöses. Er sagt, wie viel eine ME mehr ungefähr einbringt.

	Preis	Erlös	Grenzerlös	bei 5 ME
Polypol (Saftfabrik)	$p = 30$	$E (x) = 30 x$	$E^{'} (x) = 30$	Preis 30, Grenzerlös 30
Monopol (Erdbeeren)	$p_{N} (x) = 40 - 2 x$	$E (x) = 40 x - 2 x^{2}$	$E^{'} (x) = 40 - 4 x$	Preis 30, Grenzerlös 20

Im Polypol bringt jede weitere ME genau ihren Preis. Im Monopol bringt sie weniger:

Preis und Grenzerlös starten beide bei 40. Der Grenzerlös fällt doppelt so schnell.

Warum bringt die 6. ME weniger als ihren Preis? Im Monopol gilt ein Preis für alle verkauften ME:

verkauft	Preis für jede ME	Erlös
5 ME	$p_{N} (5) = 30$	$5 \cdot 30 = 150$
6 ME	$p_{N} (6) = 28$	$6 \cdot 28 = 168$

Die 6. ME bringt ihren Preis, 28 GE. Die ersten 5 ME bringen jetzt je 2 GE weniger:

E (6) - E (5) = die 6. ME 28 - 5 ME je 2 GE billiger 5 \cdot 2 = 18 Probe: 168 - 150 = 18

Genau sind es 18 GE, der Grenzerlös sagt ungefähr 20 GE. Das ist dieselbe Näherung wie bei den Kosten:

K (11) - K (10) = 20, 5 \approx 20 = K^{'} (10)

E (6) - E (5) = 18 \approx 20 = E^{'} (5)

Bei 12 ME wird der Grenzerlös sogar negativ: $E^{'} (12) = 40 - 4 \cdot 12 = - 8$ . Dort senkt eine ME mehr den Erlös um etwa 8 GE.

Merken: Im Polypol ist der Grenzerlös der Preis. Im Monopol ist er kleiner als der Preis, denn für eine ME mehr sinkt der Preis aller ME.

Grenzgewinn: $G'(x)$

Der Grenzgewinn $G^{'} (x)$ ist die Ableitung des Gewinns. Er sagt, wie sich der Gewinn mit einer ME mehr ungefähr ändert. Aus $G (x) = E (x) - K (x)$ folgt mit der Summenregel:

G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x)

Die Saftfabrik stellt 10 ME her. Soll sie mehr herstellen?

E^{'} (x) = 30 K^{'} (x) = x + 10 G^{'} (x) = 30 - (x + 10) = 20 - x

$x$ in ME	$E^{'} (x)$ in GE je ME	$K^{'} (x)$ in GE je ME	$G^{'} (x)$ in GE je ME	$G (x)$ in GE
10	30	20	$10$	50
30	30	40	$- 10$	50

G (30) = - 0, 5 \cdot 3 0^{2} + 20 \cdot 30 - 100 = - 450 + 600 - 100 = 50

Bei 10 ME bringt eine ME mehr etwa 30 GE und kostet etwa 20 GE. Der Gewinn wächst um etwa 10 GE.

Bei 30 ME kostet eine ME mehr etwa 40 GE. Der Gewinn sinkt um etwa 10 GE.

Der Gewinn selbst beträgt beide Male 50 GE.

Merken: $G^{'} (x) > 0$ : Eine ME mehr erhöht den Gewinn. $G^{'} (x) < 0$ : Eine ME mehr senkt ihn.

Jetzt ihr

Monopol mit

E (x) = 40 x - 2 x^{2}

und

K (x) = 8 x + 50

. Lohnt sich bei 6 ME eine ME mehr? Und bei 9 ME?

Lösung

G^{'} (x) = 40 - 4 x - 8 = 32 - 4 x

;

G^{'} (6) = 8 > 0

, ja;

G^{'} (9) = - 4 < 0

, nein

Übungen: Grenzgrößen

Berechnet $K^{'} (x)$ , $E^{'} (x)$ und $G^{'} (x)$ bei der angegebenen Menge. Deutet die Werte: Lohnt sich dort eine ME mehr?

a) $K (x) = x^{2} + 6 x + 100$ , Preis 30 GE je ME, 5 ME

b) $K (x) = 5 x + 1000$ , Preis 8 GE je ME, 100 ME

c) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ , Monopol mit $p_{N} (x) = 40 - 2 x$ , 5 ME

Lösungen Schritt für Schritt:

a) $K (x) = x^{2} + 6 x + 100$ , Preis 30 GE je ME, 5 ME

K^{'} (x) E (x) G^{'} (x) = 2 x + 6 = 30 x = 30 - (2 x + 6) = 24 - 2 x K^{'} (5) E^{'} (5) G^{'} (5) = 2 \cdot 5 + 6 = 16 = 30 = 24 - 10 = 14

Bei 5 ME bringt eine ME mehr etwa 30 GE und kostet etwa 16 GE. Der Gewinn steigt um etwa 14 GE: Eine ME mehr lohnt sich.

b) $K (x) = 5 x + 1000$ , Preis 8 GE je ME, 100 ME

K^{'} (x) E (x) G^{'} (x) = 5 = 8 x = 8 - 5 = 3 K (101) - K (100) E^{'} (100) G^{'} (100) = 1505 - 1500 = 5 = 8 = 3

Bei 100 ME steigt der Gewinn mit einer ME mehr um 3 GE, bei jeder anderen Menge auch: Eine ME mehr lohnt sich.

c) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ , Monopol mit $p_{N} (x) = 40 - 2 x$ , 5 ME

K^{'} (x) E (x) G^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15 = (40 - 2 x) \cdot x = 40 x - 2 x^{2} = 40 - 4 x - (3 x^{2} - 12 x + 15) = - 3 x^{2} + 8 x + 25 K^{'} (5) E^{'} (5) G^{'} (5) = 75 - 60 + 15 = 30 = 40 - 4 \cdot 5 = 20 = 20 - 30 = - 10

Bei 5 ME bringt eine ME mehr etwa 20 GE und kostet etwa 30 GE. Der Gewinn sinkt um etwa 10 GE: Eine ME mehr lohnt sich nicht.

Zusammenfassung: alle Begriffe auf einen Blick

Begriff	Zeichen	Einheit	im Bild	Beispiel
Kosten	$K (x) = K_{v} (x) + K_{f}$	GE	Höhe des Kostengraphen	Saft, 10 ME: 250
Fixkosten	$K_{f} = K (0)$	GE	Start auf der senkrechten Achse	Saft: 100
variable Kosten	$K_{v} (x)$	GE	Höhe über $K_{f}$	Saft, 10 ME: 150
Stückkosten	$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$	GE je ME	Steigung der Geraden vom Ursprung zum Kurvenpunkt	Saft, 10 ME: 25
variable Stückkosten	$k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}$	GE je ME	Steigung der Geraden von $(0 ∣ K_{f})$ zum Kurvenpunkt	Saft, 10 ME: 15
Preis im Polypol	$p$	GE je ME	Steigung der Erlösgeraden	Saft: 30
Nachfrage	$p_{N} (x)$	GE je ME	fallende Preiskurve	Erdbeeren, 5 ME: 30
Angebot	$p_{A} (x)$	GE je ME	steigende Preiskurve	Erdbeeren, 5 ME: 15
Erlös	$E (x) = p \cdot x$ , im Monopol $E (x) = p_{N} (x) \cdot x$	GE	Höhe des Erlösgraphen	Saft, 10 ME: 300
Gewinn	$G (x) = E (x) - K (x)$	GE	Pfeil von $K$ nach $E$	Saft, 10 ME: 50
Grenzkosten	$K^{'} (x)$	GE je ME	Steigung der Tangente an $K$	Saft, 10 ME: 20
Grenzerlös	$E^{'} (x)$	GE je ME	Steigung der Tangente an $E$	Saft, 10 ME: 30
Grenzgewinn	$G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x)$	GE je ME	Steigung der Tangente an $G$	Saft, 10 ME: 10
ökonomischer Definitionsbereich	$D_{\overset{o}{¨} k}$	ME	Bereich, in dem die Graphen durchgezogen sind	Saft: $[0; 30]$

Merken: Großbuchstabe ohne Strich: Geld insgesamt, in GE. Kleinbuchstabe oder Strich: Geld je ME, in GE je ME.