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Ab welcher Menge entsteht Gewinn?

Ziehen wir vom Erlös die Kosten ab, bleibt der Gewinn:

G (x) = E (x) - K (x) .

Ab welcher Menge entsteht Gewinn, und ab welcher Menge entsteht wieder Verlust?

Die Gewinnfunktion bilden

Im Polypol ist der Preis für den Betrieb fest. Hier beträgt er 52 GE je ME. Mit der Menge $x \geq 0$ steigen die Kosten nach der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion:

K (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 24 x + 80.

Der Erlös ist Preis mal Menge:

E (x) = 52 x .

Wir ziehen die gesamten Kosten ab. Das Minus vor der Klammer ändert jedes Vorzeichen:

G (x) = 52 x - (x^{3} - 8 x^{2} + 24 x + 80) = 52 x - x^{3} + 8 x^{2} - 24 x - 80.

Die beiden linearen Terme werden zusammengefasst:

(52 - 24) x = 28 x 52 x - 24 x

G (x) = - x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 80.

Bei Stillstand gibt es keinen Erlös, aber Fixkosten von 80 GE: $G (0) = - 80$ . Der Betrieb beginnt mit Verlust. Gesucht sind die Mengen, bei denen der Gewinn null ist.

Die Nullstellen berechnen

G (x) = 0

- x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 80 = 0.

Wir probieren zuerst kleine ganzzahlige Mengen und prüfen durch Einsetzen:

G (1) = - 1 + 8 + 28 - 80 = - 45.

G (2) = - 8 + 32 + 56 - 80 = 0. ✓

$x = 2$ ist eine Nullstelle. Deshalb können wir den Faktor $(x - 2)$ durch Polynomdivision abspalten.

Polynomdivision: den gefundenen Faktor abspalten

Der erste Quotiententerm ist $- x^{3} : x = - x^{2}$ . Wir multiplizieren zurück und ziehen ab:

- x^{2} (x - 2) = - x^{3} + 2 x^{2}

(- x^{3} + 8 x^{2}) - (- x^{3} + 2 x^{2}) = 6 x^{2} .

Den nächsten Term $+ 28 x$ herunterholen. Jetzt ist $6 x^{2} : x = 6 x$ :

6 x (x - 2) = 6 x^{2} - 12 x

(6 x^{2} + 28 x) - (6 x^{2} - 12 x) = 40 x .

Die $- 80$ herunterholen. Der letzte Quotiententerm ist $40 x : x = 40$ :

40 (x - 2) = 40 x - 80

(40 x - 80) - (40 x - 80) = 0.

Der Rest ist null. Die drei Quotiententerme ergeben:

G (x) = (x - 2) \cdot (- x^{2} + 6 x + 40) .

Die beiden übrigen Nullstellen

Neben $x = 2$ suchen wir die Nullstellen des zweiten Faktors:

- x^{2} + 6 x + 40 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 6 x - 40 = 0.

Mit $p = - 6$ und $q = - 40$ liefert die pq-Formel:

x = 3 \pm 9 + 40 = 3 \pm 7.

x_{1} = 10, x_{2} = - 4.

$x = - 4$ entfällt: eine Menge kann nicht negativ sein.

Im wirtschaftlichen Bereich bleiben $x = 2$ und $x = 10$ . Welche Seite der Nullstellen Gewinn und welche Verlust bedeutet, prüfen wir mit einer Menge aus jedem Bereich:

G (1) = - 45, G (6) = 160,

G (11) = - 135.

Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone

Die erste positive Nullstelle heißt hier Gewinnschwelle: $x = 2$ ME. Dort wechselt der Gewinn von negativ zu positiv. Bei genau 2 ME ist er noch null; unmittelbar danach entsteht Gewinn.

Die zweite heißt Gewinngrenze: $x = 10$ ME. Dort wechselt der Gewinn von positiv zu negativ. Unmittelbar davor gibt es Gewinn, bei genau 10 ME ist er null und danach entsteht wieder Verlust.

Gewinnzone: $2 < x < 10$ , also das Intervall $(2; 10)$ .

Die Gewinnzone ist ein Mengenbereich auf der waagerechten Achse. Ihre Grenzen gehören nicht dazu: Dort gilt $G (x) = 0$ , im Inneren $G (x) > 0$ .

Schnittpunkte oben, Nullstellen unten

Wo Erlös und Kosten gleich groß sind, bleibt nach dem Abziehen null:

E (x) = K (x)

G (x) = E (x) - K (x) = 0.

Bei 2 ME sind beide 104 GE groß; bei 10 ME sind beide 520 GE groß. Im oberen Bild sind das Schnittpunkte, im unteren Nullstellen. Beide Bilder benutzen dieselben Mengen.

Bei 6 ME liegen oben $E (6) = 312$ GE und $K (6) = 152$ GE übereinander. Die senkrechte Maßklammer zeigt ihren Abstand:

G (6) = 312 - 152 = 160 GE .

Unten sind diese 160 GE die Höhe des Gewinnpunkts. Der Gewinn ist der senkrechte Abstand bei derselben Menge, keine Fläche zwischen den Kurven.

Die Tangenten zeigen, wer wen überholt. Die Erlösgerade steigt überall mit $E^{'} (x) = 52$ . Für die Kosten gilt:

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 16 x + 24.

Bei der Gewinnschwelle ist $K^{'} (2) = 4$ . Die Erlösgerade steigt schneller als die Kostenkurve und holt sie ein:

G^{'} (2) = 52 - 4 = 48 > 0.

Bei der Gewinngrenze ist $K^{'} (10) = 164$ . Jetzt steigt die Kostenkurve schneller und überholt den Erlös:

G^{'} (10) = 52 - 164 = - 112 < 0.

Unten steigt $G$ deshalb durch die erste Nullstelle und fällt durch die zweite.

Gewinnschwelle und Gewinngrenze bestimmen

a)Gewinnfunktion bilden: $G (x) = E (x) - K (x)$ . Ist $G$ schon gegeben, entfällt dieser Schritt.
b)Nullstellen bestimmen: $G (x) = 0$ setzen und lösen. Bei einer kubischen Gewinnfunktion eine Nullstelle durch Probieren finden, mit Polynomdivision abspalten und den quadratischen Rest mit der pq-Formel lösen.
c)Negative Lösungen streichen: Es gibt keine negative Menge. Weitere Grenzen des gegebenen Mengenbereichs beachten.
d)Vorzeichen prüfen: An einer Gewinnschwelle wechselt $G$ von Verlust zu Gewinn, an einer Gewinngrenze von Gewinn zu Verlust. Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel ist keine solche Grenze.
e)Gewinnzone angeben: Dort gilt $G (x) > 0$ . Bleibt $G$ nach einer Gewinnschwelle positiv, läuft die Zone im betrachteten Mengenbereich nach rechts offen weiter. Bleibt $G$ überall negativ, gibt es keine Gewinnzone.

Vier Fälle mit demselben Vorgehen

a) Eine Gewinnschwelle, keine Gewinngrenze

Gegeben sind $K (x) = 30 x + 750$ und der feste Preis $p = 80$ GE/ME.

E (x) = 80 x

G (x) = 80 x - (30 x + 750)

G (x) = 50 x - 750.

Die Nullstelle:

50 x - 750 = 0 \Rightarrow x = 15.

Probe: $E (15) = 1200 = K (15)$ . Unterhalb von 15 ME ist $50 x - 750$ negativ, darüber positiv.

Gewinnschwelle: 15 ME. Keine Gewinngrenze. Gewinnzone: $x > 15$ .

b) Eine quadratische Gewinnfunktion

Gegeben sind $K (x) = x^{2} + 5 x + 24$ und $p = 16$ GE/ME.

G (x) = 16 x - (x^{2} + 5 x + 24)

G (x) = - x^{2} + 11 x - 24.

x^{2} - 11 x + 24 = 0

x = 5, 5 \pm 30, 25 - 24

x = 5, 5 \pm 2, 5.

Die Nullstellen sind 3 und 8. Probe: $E (3) = 48 = K (3)$ und $E (8) = 128 = K (8)$ . Die nach unten geöffnete Parabel liegt zwischen den Nullstellen über der Achse.

Gewinnschwelle: 3 ME. Gewinngrenze: 8 ME. Gewinnzone: $3 < x < 8$ .

c) Die Gewinnfunktion ist direkt gegeben

G (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15.

Wir brauchen weder den Preis noch die Kostenfunktion. Probieren ergibt:

G (1) = - 1 + 3 + 13 - 15 = 0.

Die Polynomdivision durch $(x - 1)$ liefert den zweiten Faktor:

G (x) = (x - 1) \cdot (- x^{2} + 2 x + 15) .

x^{2} - 2 x - 15 = 0

x = 1 \pm 1 + 15 = 1 \pm 4.

Neben 1 erhalten wir 5 und $- 3$ . Die negative Menge $- 3$ entfällt. Zwischen 1 und 5 ist der Gewinn positiv, beispielsweise $G (3) = 24$ ; außerhalb ist er im wirtschaftlichen Bereich negativ.

Gewinnschwelle: 1 ME. Gewinngrenze: 5 ME. Gewinnzone: $1 < x < 5$ .

d) Es entsteht bei keiner Menge Gewinn

Gegeben sind $K (x) = x^{2} + 4 x + 20$ und $p = 8$ GE/ME.

G (x) = 8 x - (x^{2} + 4 x + 20)

G (x) = - x^{2} + 4 x - 20.

Für die Nullstellen müsste $x^{2} - 4 x + 20 = 0$ gelten. Die Diskriminante ist negativ:

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20 = - 64 < 0.

Es gibt keine reellen Nullstellen. Auch am Scheitel liegt die nach unten geöffnete Parabel unter der Achse:

G (x) = - (x - 2)^{2} - 16,

G (2) = - 16.

Keine Gewinnschwelle, keine Gewinngrenze, keine Gewinnzone.

Die Fälle nebeneinander

$G (x)$	Nullstellen von $G$	Gewinnschwelle	Gewinngrenze	Gewinnzone
$50 x - 750$	$15$	15 ME	—	$x > 15$
$- x^{2} + 11 x - 24$	$3, 8$	3 ME	8 ME	$3 < x < 8$
$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$	$1, 5, (- 3)$	1 ME	5 ME	$1 < x < 5$
$- x^{2} + 4 x - 20$	keine	keine	keine	keine

Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel: von Verlust zu Gewinn an der Schwelle, von Gewinn zu Verlust an der Grenze. Die Gewinnzone besteht aus den Mengen mit positivem Gewinn. Sie kann begrenzt sein, offen weiterlaufen oder fehlen.

Jetzt selbst bestimmen

Jetzt ihr

Bestimmt jeweils die Gewinnfunktion, soweit sie noch nicht gegeben ist, die wirtschaftlich sinnvollen Nullstellen, Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone für

x \geq 0

. a)

K (x) = 40 x + 120

p = 70

GE/ME. b)

K (x) = x^{2} + 4 x + 45

p = 18

GE/ME. c)

G (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 8

Lösung

G (x) = 30 x - 120

. Aus

30 x - 120 = 0

folgt

x = 4

. Gewinnschwelle: 4 ME; keine Gewinngrenze; Gewinnzone:

x > 4

. b)

G (x) = - x^{2} + 14 x - 45

. Die pq-Formel ergibt

x = 7 \pm 49 - 45 = 7 \pm 2

, also 5 und 9. Gewinnschwelle: 5 ME; Gewinngrenze: 9 ME; Gewinnzone:

5 < x < 9

. c)

G (1) = 0

. Nach Polynomdivision:

G (x) = (x - 1) (- x^{2} + 2 x + 8)

. Aus

x^{2} - 2 x - 8 = 0

folgt

x = 1 \pm 3

, also 4 und

- 2

. Die negative Menge entfällt. Gewinnschwelle: 1 ME; Gewinngrenze: 4 ME; Gewinnzone:

1 < x < 4