[Test1 m8] Mengen: Element, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Teilmenge

Eine Menge fasst Dinge zusammen. Wir zeichnen sie als Kreis um diese Dinge. An Kreisen liest man vier Dinge ab:

Was ist eine Menge?

Eine Zahl liegt im Kreis oder nicht. Darum ist die Reihenfolge in der Klammer egal, und eine Zahl zweimal zu schreiben ändert nichts:

Also gilt $\{2,4\}=\{4,2\}=\{2,2,4\}$.

Bestimmen Sie A ∩ B

Die 4 liegt in A ∩ B, weil $4\in A$ und $4\in B$. Die 8 liegt nicht darin, weil $8\notin B$.

Das gilt für jede Zahl. Man schreibt sie oft als x:

heißt: x liegt in A und x liegt in B.

Bestimmen Sie A ∪ B

Die 1 liegt in A ∪ B, weil $1\in B$. Die 7 liegt nicht darin: Sie liegt weder in A noch in B.

heißt: x liegt in A oder in B, auch wenn x in beiden liegt.

Schnitt und Vereinigung nebeneinander

$\cap$ ist die Mitte, $\cup$ sind beide Kreise ganz. Die Reihenfolge ist egal: $B\cap A$ ist dieselbe Mitte wie $A\cap B$, und $B\cup A$ ist dieselbe Fläche wie $A\cup B$.

Was ist, wenn sich die Kreise nicht überlappen?

Die leere Menge schreibt man auch $\varnothing$:

Prüfen Sie, ob C eine Teilmenge von A ist

$C\subseteq A$ heißt: Jedes Element von C ist auch Element von A.

Auch $A\subseteq A$ ist richtig, denn jedes Element von A liegt in A.

Ein Element draußen genügt

$D⊈A$ heißt: Mindestens ein Element von D liegt nicht in A.

Element oder Teilmenge?

$\{2\}$ ist die Menge, die nur die 2 enthält: ein kleiner Kreis um die 2. Die Zahl 2 ist ein Element von A. Der kleine Kreis $\{2\}$ ist eine Teilmenge von A. In A liegen nur Zahlen, keine Mengen. Darum ist $\{2\}\in A$ falsch.

Aufgaben

Gegeben sind $P=\{1,2,3,4\}$ und $Q=\{3,4,5\}$.