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Würfe

Der senkrechte Wurf

Ein Wurf ist eine Bewegung, bei der nach dem Loslassen nur noch die Erde am Körper zieht. Dieser Zug heißt Schwerkraft. Er gibt jedem Körper dieselbe Beschleunigung nach unten: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ . Auf dem Weg nach oben bremst sie ihn, auf dem Weg nach unten macht sie ihn schneller.

Zum Beispiel: Ihr steht auf einer Mauer und werft einen Stein aus $5 m$ Höhe mit $2 \frac{m}{s}$ senkrecht nach oben. Wann liegt er am Boden?

Senkrechte Achse y nach oben, Nullpunkt am Boden; Mauer bis 5 m mit Doppelpfeil y0 = 5 m; Stein auf der Mauerkrone mit Pfeil nach oben v0 = 2 m/s; roter Pfeil g nach unten; gestrichelter Weg erst nach oben, dann hinunter zum Boden

Das Gesetz kennt ihr: $s (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + s_{0}$ . Hier ist der Ort eine Höhe, darum heißt er $y$ :

y (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + y_{0}

Die Achse zeigt nach oben, $g$ nach unten. Also $a = - 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ und $\frac{1}{2} a = - 4, 905$ :

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 2 t + 5

Am Boden ist die Höhe null. Für die pq-Formel muss vor $t^{2}$ eine $1$ stehen, also teilt ihr durch $- 4, 905$ :

- 4, 905 t^{2} + 2 t + 5 = 0 : (- 4, 905)

t^{2} + \frac{2}{- 4 , 905} t + \frac{5}{- 4 , 905} = 0

t^{2} - 0, 408 t - 1, 019 = 0 p = - 0, 408, q = - 1, 019

t_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q = 0, 204 \pm 0, 20 4^{2} + 1, 019 = 0, 204 \pm 1, 061 = 0, 204 \pm 1, 030

t_{1} \approx 1, 23 s t_{2} \approx - 0, 83 s

$t = 0$ ist der Abwurf. $t_{2}$ liegt davor, da war der Stein noch in der Hand. Die Gleichung beschreibt den Stein nur vom Abwurf bis zum Aufprall, hier von $0$ bis $1, 23 s$ .

> Ergebnis: Der Stein liegt nach $1, 23 s$ am Boden.

Merken: Ein Wurf ist das bekannte Gesetz mit $a = - g$ . „Am Boden" heißt $y (t) = 0$ .

Eine Achse, alle Vorzeichen daran

Die Achse dürft ihr wählen. Danach bekommt jede Größe ihr Vorzeichen von ihr. Zeigt eine Größe in Achsenrichtung, ist sie positiv:

Achse zeigt	$a$	$v_{0}$ nach oben	$v_{0}$ nach unten
nach oben	$- g$	$+$	$-$
nach unten	$+ g$	$-$	$+$

Der Stein von der Mauer, einmal richtig und einmal mit falschem Vorzeichen nur bei $g$ :

	Gleichung $y (t) = 0$	unter der Wurzel	Aufprall
a) richtig: $a = - g$	$- 4, 905 t^{2} + 2 t + 5 = 0$	$0, 042 + 1, 019 = 1, 061$	$1, 23 s$
b) falsch: $a = + g$	$+ 4, 905 t^{2} + 2 t + 5 = 0$	$0, 042 - 1, 019 = - 0, 977$	keiner

In b) steht unter der Wurzel eine negative Zahl. Die Höhe wird nie null, der Stein käme nie unten an.

Freier Fall und Wurf nach unten

Dieselbe Gleichung, andere Startwerte. Immer aus $20 m$ Höhe, Achse nach oben. Geteilt wird wieder durch $- 4, 905$ , dann pq:

	$v_{0}$	$y (t) = 0$ , durch $- 4, 905$ geteilt	$- \frac{p}{2} + (\frac{p}{2})^{2} - q$	Aufprall
a) fallen lassen	$0$	$t^{2} + 0 t - 4, 077 = 0$	$0 + 0 + 4, 077$	$2, 02 s$
b) nach unten werfen	$- 5 \frac{m}{s}$	$t^{2} + 1, 019 t - 4, 077 = 0$	$- 0, 510 + 0, 260 + 4, 077$	$1, 57 s$
c) nach oben werfen	$+ 2 \frac{m}{s}$	$t^{2} - 0, 408 t - 4, 077 = 0$	$0, 204 + 0, 042 + 4, 077$	$2, 23 s$

Zeile a) heißt freier Fall: der Wurf mit $v_{0} = 0$ .

In keiner Zeile steht eine Masse. Eine Kugel mit $1 kg$ und eine mit $5 kg$ fallen aus $20 m$ beide $2, 02 s$ . Eine Feder fällt langsamer, weil die Luft sie bremst. Dieses Bremsen heißt Luftwiderstand, und in allen Aufgaben hier lassen wir es weg. Auf dem Mond gibt es keine Luft: 1971 ließ dort ein Astronaut Hammer und Feder gleichzeitig los, beide kamen gleichzeitig unten an.

Der höchste Punkt

Wie hoch kommt der Stein von der Mauer? Oben steht er einen Augenblick still. Dafür braucht ihr seine Geschwindigkeit.

Im $v$ - $t$ -Diagramm ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine Gerade. Sie startet bei $v_{0}$ und hat die Steigung $a$ , wie $y = m x + b$ :

v (t) = a t + v_{0} = - 9, 81 t + 2

Zwei Koordinatensysteme übereinander mit gemeinsamer t-Achse: oben die y-t-Parabel des Steins mit Start 5 m, Scheitel bei 0,20 s und 5,20 m, Nullstelle 1,23 s; unten die fallende v-t-Gerade von 2 m/s mit Nullstelle bei 0,20 s und Steigungsdreieck 1 s nach rechts, 9,81 m/s nach unten; gestrichelte Linie v = 0 verbindet Scheitel und Nullstelle

Stillstand heißt $v (t) = 0$ :

- 9, 81 t + 2 = 0 \Rightarrow t_{S} = \frac{2}{9 , 81} \approx 0, 204 s

y (0, 204) = - 4, 905 \cdot 0, 20 4^{2} + 2 \cdot 0, 204 + 5 \approx - 0, 204 + 0, 408 + 5 \approx 5, 20 m

> Ergebnis: Steigzeit $t_{S} \approx 0, 20 s$ , höchster Punkt $5, 20 m$ über dem Boden.

Das Steigungsdreieck im unteren Bild sitzt an jeder Stelle gleich, auch bei $v = 0$ . Die Geschwindigkeit ist oben null. Die Beschleunigung bleibt $- 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ , darum fällt der Stein sofort wieder.

Situation in Gleichung

Die Aufgabe sagt	Ihr schreibt
a) trifft den Boden	$y (t) = 0$
b) höchster Punkt	$v (t) = 0$
c) nach $2 s$	$t = 2 s$ einsetzen
d) Aufprallgeschwindigkeit	Aufprallzeit in $v (t)$ einsetzen

Bei c) fragt ihr zuerst: Fliegt der Stein bei $t = 2 s$ noch? Er fliegt nur von $0$ bis $1, 23 s$ . Also liegt er schon am Boden, seine Höhe ist $0 m$ . Die Gleichung allein würde etwas anderes liefern:

y (2) = - 4, 905 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 5 = - 10, 62 m

Das wäre $10, 62 m$ unter dem Boden.

Schema: senkrechter Wurf, das eben Gerechnete allgemein.

1. Achse wählen, Nullpunkt festlegen. 2. Bewegungsgleichungen mit Vorzeichen aufstellen: $y (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + y_{0}$ und $v (t) = a t + v_{0}$ . 3. Situation als Bedingung schreiben: Aufprall $y (t) = 0$ , Scheitel $v (t) = 0$ . 4. Nach $t$ lösen. Flugzeitraum von Abwurf bis Aufprall festhalten, Zeiten außerhalb streichen. 5. $t$ einsetzen, falls nach Höhe oder Geschwindigkeit gefragt ist. Liegt $t$ nach dem Aufprall, ist die Höhe $0$ .

Nach dem Schema: Ein Ball wird aus $1, 5 m$ Höhe mit $8 \frac{m}{s}$ senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch steigt er, wann und wie schnell kommt er unten an?

1. Achse nach oben, Nullpunkt am Boden. 2. $y (t) = - 4, 905 t^{2} + 8 t + 1, 5$ und $v (t) = - 9, 81 t + 8$ . 3. Scheitel: $v (t) = 0$ . Aufprall: $y (t) = 0$ . 4. Scheitel: $- 9, 81 t + 8 = 0$ , $t_{S} = \frac{8}{9 , 81} \approx 0, 815 s$ . Aufprall: $: (- 4, 905)$ ergibt $t^{2} - 1, 631 t - 0, 306 = 0$ , $t = 0, 815 \pm 0, 81 5^{2} + 0, 306 = 0, 815 \pm 0, 971 = 0, 815 \pm 0, 985$ , also $t \approx 1, 80 s$ ( $- 0, 17 s$ entfällt). 5. $H = y (0, 815) = - 4, 905 \cdot 0, 81 5^{2} + 8 \cdot 0, 815 + 1, 5 \approx 4, 76 m$ und $v (1, 80) = - 9, 81 \cdot 1, 80 + 8 \approx - 9, 66 \frac{m}{s}$ .

> Ergebnis: Der Ball steigt auf $4, 76 m$ und trifft nach $1, 80 s$ mit $9, 66 \frac{m}{s}$ nach unten auf.

Jetzt ihr

Ein Ball wird vom Boden mit

10 \frac{m}{s}

senkrecht hochgeworfen. Wie hoch steigt er?

Lösung

- 9, 81 t + 10 = 0

t_{S} \approx 1, 02 s

;

y (1, 02) = - 4, 905 \cdot 1, 0 2^{2} + 10 \cdot 1, 02 \approx 5, 10 m

Zwei Körper treffen sich

Zwei Körper treffen sich, wenn sie zur selben Zeit am selben Ort sind.

Zum Beispiel: Ein gelber Ball fällt aus $5 m$ Höhe. Im selben Moment wird genau darunter ein roter Ball aus $1 m$ Höhe mit $10 \frac{m}{s}$ nach oben geworfen. Wann und wo treffen sie sich?

Senkrechte Achse y nach oben, Nullpunkt am Boden, Marken bei 1 m und 5 m; gelber Ball bei 5 m mit gestricheltem Weg nach unten, roter Ball bei 1 m mit Pfeil 10 m/s nach oben; beide Wege enden im Kreuz bei 4,22 m, t = 0,4 s; Uhr t = 0 für beide

Beide Höhen auf derselben Achse, vom Boden aus gemessen, mit derselben Uhr:

	$a$	$v_{0}$	$y_{0}$	$y (t)$
gelb	$- 9, 81$	$0$	$5$	$- 4, 905 t^{2} + 0 t + 5$
rot	$- 9, 81$	$10$	$1$	$- 4, 905 t^{2} + 10 t + 1$

Selber Ort zur selben Zeit heißt $y_{gelb} (t) = y_{rot} (t)$ :

- 4, 905 t^{2} + 5 = - 4, 905 t^{2} + 10 t + 1

4 = 10 t \Rightarrow t = 0, 4 s

Bei $0, 4 s$ sind beide am selben Ort. Darum liefert jede der beiden Gleichungen die Treffhöhe:

y_{gelb} (0, 4) = - 4, 905 \cdot 0, 16 + 5 \approx 4, 22 m y_{rot} (0, 4) = - 4, 905 \cdot 0, 16 + 10 \cdot 0, 4 + 1 \approx 4, 22 m

> Ergebnis: Die Bälle treffen sich nach $0, 4 s$ in $4, 22 m$ Höhe.

Das $t^{2}$ fällt weg, weil beide gleich stark nach unten beschleunigt werden. Übrig bleibt eine Annäherung mit fester Geschwindigkeit: $4 m$ Abstand, $10 \frac{m}{s}$ aufeinander zu, also $0, 4 s$ .

Die $1$ beim roten Ball ist seine Höhe über dem gemeinsamen Nullpunkt. Fehlt sie, kommt eine falsche Zeit heraus:

	rote Gleichung	gleichgesetzt	Zeit	Höhen bei dieser Zeit
a) richtig	$- 4, 905 t^{2} + 10 t + 1$	$4 = 10 t$	$0, 4 s$	gelb $4, 22 m$ , rot $4, 22 m$
b) $1$ vergessen	$- 4, 905 t^{2} + 10 t$	$5 = 10 t$	$0, 5 s$	gelb $3, 77 m$ , rot $4, 77 m$

In b) stehen die echten Höhen der beiden Bälle nach $0, 5 s$ . Rot ist schon $1 m$ über Gelb, die beiden sind längst aneinander vorbei.

Schema: Treffen zweier Körper, das eben Gerechnete allgemein.

1. Eine Achse und einen Nullpunkt für beide Körper festlegen, eine gemeinsame Uhr mit $t = 0$ beim Start. 2. Für jeden Körper die Höhe aufstellen: $y_{1} (t)$ und $y_{2} (t)$ . 3. Treffbedingung: $y_{1} (t) = y_{2} (t)$ . 4. Nach $t$ lösen und prüfen, ob beide Körper dann noch fliegen. 5. $t$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen: Treffhöhe.

Nach dem Schema:

a) Ball A wird aus $20 m$ Höhe mit $5 \frac{m}{s}$ nach unten geworfen. Im selben Moment wird Ball B vom Boden darunter mit $15 \frac{m}{s}$ nach oben geworfen.

1. Achse nach oben, Nullpunkt am Boden, $t = 0$ für beide. 2. $y_{A} (t) = - 4, 905 t^{2} - 5 t + 20$ und $y_{B} (t) = - 4, 905 t^{2} + 15 t + 0$ . 3. $- 4, 905 t^{2} - 5 t + 20 = - 4, 905 t^{2} + 15 t + 0$ . 4. $20 = 20 t$ , also $t = 1 s$ . Beide sind dann über dem Boden. 5. $y_{B} (1) = - 4, 905 + 15 \approx 10, 1 m$ .

> Ergebnis: Treffpunkt nach $1 s$ in $10, 1 m$ Höhe.

b) Ball A wird aus $10 m$ Höhe mit $2 \frac{m}{s}$ nach oben geworfen. Im selben Moment wird Ball B vom Boden mit $12 \frac{m}{s}$ nach oben geworfen.

1. Achse nach oben, Nullpunkt am Boden, $t = 0$ für beide. 2. $y_{A} (t) = - 4, 905 t^{2} + 2 t + 10$ und $y_{B} (t) = - 4, 905 t^{2} + 12 t + 0$ . 3. $- 4, 905 t^{2} + 2 t + 10 = - 4, 905 t^{2} + 12 t + 0$ . 4. $10 = 10 t$ , also $t = 1 s$ . Beide sind dann über dem Boden. 5. $y_{A} (1) = - 4, 905 + 2 + 10 \approx 7, 10 m$ .

> Ergebnis: B holt A nach $1 s$ in $7, 10 m$ Höhe ein.

Jetzt ihr

Ein Stein fällt aus

15 m

Höhe. Im selben Moment wird darunter ein Ball vom Boden mit

10 \frac{m}{s}

nach oben geworfen. Wann und wo treffen sie sich?

Lösung

- 4, 905 t^{2} + 15 = - 4, 905 t^{2} + 10 t

15 = 10 t

t = 1, 5 s

;

y = - 4, 905 \cdot 2, 25 + 15 \approx 3, 96 m

Zwei Bewegungen nacheinander

Manche Vorgänge bestehen aus zwei Bewegungen, die nacheinander ablaufen. Jede hat ihr eigenes Gesetz und ihre eigene Uhr.

Zum Beispiel: Ihr lasst einen Stein in einen Brunnen fallen und hört nach $2, 5 s$ den Aufschlag. Der Schall läuft mit $300 \frac{m}{s}$ . Wie tief ist der Brunnen?

Erst fällt der Stein, seine Zeit heißt $t_{1}$ . Dann läuft der Schall hoch, seine Zeit heißt $t_{2}$ . Gefragt ist eine Tiefe, also zeigt die Achse nach unten, und der Ort heißt $s$ , gemessen vom Rand.

Brunnenschacht im Schnitt mit Person am Rand; Achse s nach unten, Nullpunkt am Rand; Pfeil nach unten Stein t1, Pfeil nach oben Schall t2; Doppelpfeil h vom Rand zum Wasser; Zeitleiste t1 dann t2, darüber Klammer 2,5 s

Die Achse zeigt nach unten, $g$ auch. Darum ist $a$ hier positiv:

	Gesetz	$a$ , $v_{0}$ , $s_{0}$	eingesetzt
Stein	$s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + s_{0}$	$+ 9, 81$ , $0$ , $0$	$h = 4, 905 t_{1}^{2}$
Schall	$s = v \cdot t$	$v = 300$	$h = 300 t_{2}$

Zwei Verbindungen: Beide legen dieselbe Strecke $h$ zurück, und zusammen dauern sie $2, 5 s$ , also $t_{2} = 2, 5 - t_{1}$ :

4, 905 t_{1}^{2} = 300 (2, 5 - t_{1})

4, 905 t_{1}^{2} + 300 t_{1} - 750 = 0 : 4, 905

t_{1}^{2} + 61, 16 t_{1} - 152, 9 = 0 \frac{p}{2} = 30, 58

t_{1} = - 30, 58 + 30, 5 8^{2} + 152, 9 \approx - 30, 58 + 935, 1 + 152, 9 = - 30, 58 + 1088 \approx - 30, 58 + 32, 985 \approx 2, 405 s

h = 4, 905 \cdot 2, 40 5^{2} \approx 28, 4 m

Die zweite Lösung der pq-Formel ist negativ und entfällt.

> Ergebnis: Der Brunnen ist etwa $28, 4 m$ tief.

Schema: zwei Bewegungen nacheinander, das eben Gerechnete allgemein.

1. Die beiden Teilbewegungen benennen, jede mit eigener Zeit: $t_{1}$ und $t_{2}$ . 2. Achse festlegen, für jede Teilbewegung das eigene Gesetz aufstellen. 3. Verbindungen aufschreiben: gemeinsame Strecke und $t_{1} + t_{2} = t_{ges}$ . 4. Mit beiden Verbindungen nach der gesuchten Größe lösen. Negative Zeiten streichen. 5. Antwort mit Strecke oder Gesamtzeit.

Nach dem Schema: Ein Stein fällt in einen $20 m$ tiefen Schacht. Der Schall läuft mit $340 \frac{m}{s}$ . Nach welcher Zeit hört man den Aufschlag?

1. Stein fällt: $t_{1}$ . Schall steigt: $t_{2}$ . 2. Achse nach unten: Stein $s = 4, 905 t_{1}^{2}$ , Schall $s = 340 t_{2}$ . 3. Strecke: $4, 905 t_{1}^{2} = 20$ und $340 t_{2} = 20$ . Gesucht ist $t_{ges} = t_{1} + t_{2}$ . 4. $t_{1} = \frac{20}{4 , 905} \approx 2, 019 s$ und $t_{2} = \frac{20}{340} \approx 0, 059 s$ . 5. $t_{ges} \approx 2, 019 + 0, 059 \approx 2, 08 s$ .

> Ergebnis: Man hört den Aufschlag nach $2, 08 s$ .

Treffen und Nacheinander nebeneinander:

	Uhren	Bedingung
a) Treffen	eine: $t$	gleicher Ort: $y_{1} (t) = y_{2} (t)$
b) Nacheinander	zwei: $t_{1}$ , $t_{2}$	gleiche Strecke und $t_{1} + t_{2} = t_{ges}$

Jetzt ihr

Ein Stein fällt in einen

45 m

tiefen Schacht, Schall

340 \frac{m}{s}

. Wann hört man den Aufschlag?

Lösung

t_{1} = 45/4, 905 \approx 3, 03 s

t_{2} = \frac{45}{340} \approx 0, 13 s

t_{ges} \approx 3, 16 s

Der waagerechte Wurf

Ein Körper, der waagerecht losfliegt, macht zwei Bewegungen gleichzeitig: Waagerecht fliegt er mit fester Geschwindigkeit weiter, senkrecht fällt er wie ein losgelassener Stein.

Zum Beispiel: Eine Kugel rollt mit $4 \frac{m}{s}$ über die Kante eines $5 m$ hohen Daches. Wie weit vom Haus landet sie?

Waagerechter Wurf aus 5 m Höhe: Bahn als nach unten gekrümmte Kurve; an mehreren Bahnpunkten ein waagerechter Pfeil vx, überall gleich lang, und ein senkrechter Pfeil vy nach unten, der von Punkt zu Punkt länger wird

Waagerecht zieht nichts an der Kugel, senkrecht zieht die Erde. Jede Richtung bekommt darum ihre eigene Spalte mit dem bekannten Gesetz:

	$x$ : waagerecht	$y$ : senkrecht
$a$	$0$	$- 9, 81$
Geschwindigkeit	$v_{x} = 4$ , bleibt immer gleich	$v_{y}$ , startet mit $v_{0 y} = 0$
Start	$0$	$5$
Gesetz	$x (t) = 4 t$	$y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5$

Die beiden Geschwindigkeiten alle Viertelsekunde:

$t$ in s	$0$	$0, 25$	$0, 5$	$0, 75$	$1, 01$
$v_{x}$ in $\frac{m}{s}$	$4$	$4$	$4$	$4$	$4$
$v_{y} = - 9, 81 t$ in $\frac{m}{s}$	$0$	$- 2, 45$	$- 4, 91$	$- 7, 36$	$- 9, 91$

$v_{x}$ steht still, nur $v_{y}$ wächst. Das sind die Pfeile im Bild.

Wann ist die Kugel unten? Das sagt nur die $y$ -Spalte. Diese Zeit vom Abwurf bis zur Landung heißt Flugzeit $t_{F}$ :

- 4, 905 t^{2} + 5 = 0 \Rightarrow t_{F} = \frac{5}{4 , 905} \approx 1, 019 \approx 1, 01 s

Diese Zeit setzt ihr in die $x$ -Spalte ein:

x (1, 01) = 4 \cdot 1, 01 \approx 4, 04 m

> Ergebnis: Die Kugel landet $4, 04 m$ vom Haus entfernt. Diese Strecke heißt Wurfweite $W$ .

Merken: Die Zeit verbindet die beiden Richtungen. Meist kommt sie aus $y$ und geht nach $x$ .

Gleiches Dach, verschiedene $v_{x}$ :

	geworfen wird	$v_{x}$	$t_{F}$ aus $y (t) = 0$	$W = v_{x} \cdot t_{F}$
a)	ein losgelassener Stein	$0 \frac{m}{s}$	$1, 01 s$	$0 m$
b)	die Kugel	$4 \frac{m}{s}$	$1, 01 s$	$4, 04 m$
c)	ein Pfeil vom Bogen	$50 \frac{m}{s}$	$1, 01 s$	$50, 5 m$

In $y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5$ steht kein $v_{x}$ . Alle drei kommen gleichzeitig unten an. Auch der schnelle Pfeil fällt vom ersten Moment an.

Schema: waagerechter Wurf, das eben Gerechnete allgemein.

1. Zwei Spalten anlegen: $x$ mit $a = 0$ , $v_{x}$ , Start $0$ ; $y$ mit $a = - g$ , $v_{0 y} = 0$ , Start $y_{0}$ . 2. Bewegungsgleichungen: $x (t) = v_{x} t$ und $y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + y_{0}$ , also $y (t) = - 4, 905 t^{2} + y_{0}$ . 3. Flugzeit aus der $y$ -Spalte: $y (t) = 0$ ergibt $t_{F}$ . 4. $t_{F}$ in die $x$ -Spalte einsetzen: Wurfweite $W = x (t_{F})$ .

Nach dem Schema: Ein Stein wird aus $20 m$ Höhe mit $6 \frac{m}{s}$ waagerecht geworfen. Wie weit fliegt er?

1. $x$ : $a = 0$ , $v_{x} = 6$ , Start $0$ . $y$ : $a = - 9, 81$ , $v_{0 y} = 0$ , Start $20$ . 2. $x (t) = 6 t$ und $y (t) = - 4, 905 t^{2} + 20$ . 3. $- 4, 905 t^{2} + 20 = 0$ , $t_{F} = \frac{20}{4 , 905} \approx 4, 077 \approx 2, 02 s$ . 4. $W = x (2, 02) = 6 \cdot 2, 02 \approx 12, 1 m$ .

> Ergebnis: Der Stein landet $12, 1 m$ weit.

Jetzt ihr

Eine Murmel rollt mit

5 \frac{m}{s}

von einem

1, 8 m

hohen Regal. Wie weit vom Regal landet sie?

Lösung

- 4, 905 t^{2} + 1, 8 = 0

t_{F} = 1, 8/4, 905 \approx 0, 606 s

;

W = 5 \cdot 0, 606 \approx 3, 03 m

Wie schnell kommt er an?

Die Kugel vom Dach landet nach $t_{F} = 1, 01 s$ . In diesem Moment hat sie beide Geschwindigkeiten zugleich:

v_{x} = 4 \frac{m}{s} v_{y} = - 9, 81 \cdot 1, 01 \approx - 9, 91 \frac{m}{s}

Zusammen ergeben sie einen schrägen Pfeil $v$ , die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks:

Am Aufprallpunkt ein rechtwinkliges Dreieck aus Pfeilen: waagerecht nach rechts vx = 4 m/s, an dessen Spitze senkrecht nach unten vy = -9,91 m/s, vom Anfang von vx zur Spitze von vy ein dicker roter Pfeil v als Hypotenuse; Winkelbogen β zwischen vx und v; rechter Winkel als Viertelbogen mit Punkt

Eine Seitenlänge hat kein Vorzeichen. Für das Dreieck nehmt ihr darum $9, 91$ ohne Minus. Diese Zahl ohne Vorzeichen heißt Betrag und wird mit Strichen geschrieben: $∣ v_{y} ∣ = ∣ - 9, 91∣ = 9, 91$ .

v = v_{x}^{2} + ∣ v_{y} ∣^{2} = 4^{2} + 9, 9 1^{2} \approx 16 + 98, 2 = 114, 2 \approx 10, 7 \frac{m}{s}

tan β = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{∣ v _{y} ∣}{v _{x}} = \frac{9 , 91}{4} \approx 2, 48 \Rightarrow β = tan^{- 1} (2, 48) \approx 68, 0^{\circ}

> Ergebnis: Die Kugel trifft mit $10, 7 \frac{m}{s}$ unter $68, 0^{\circ}$ zur Waagerechten auf.

Schema: Aufprallgeschwindigkeit, das eben Gerechnete allgemein.

1. Flugzeit $t_{F}$ aus $y (t) = 0$ . 2. Beide Geschwindigkeiten beim Aufprall: $v_{x}$ bleibt, $v_{y} = - g \cdot t_{F}$ . 3. Betrag: $v = v_{x}^{2} + ∣ v_{y} ∣^{2}$ . 4. Aufprallwinkel zur Waagerechten: $tan β = \frac{∣ v _{y} ∣}{v _{x}}$ , mit $tan^{- 1}$ auf dem Rechner.

Nach dem Schema, der Stein aus $20 m$ mit $6 \frac{m}{s}$ :

1. $t_{F} \approx 2, 02 s$ . 2. $v_{x} = 6 \frac{m}{s}$ , $v_{y} = - 9, 81 \cdot 2, 02 \approx - 19, 8 \frac{m}{s}$ . 3. $v = 36 + 392, 0 = 428, 0 \approx 20, 7 \frac{m}{s}$ . 4. $tan β = \frac{19 , 8}{6} = 3, 3$ , $β \approx 73, 1^{\circ}$ .

> Ergebnis: Der Stein trifft mit $20, 7 \frac{m}{s}$ unter $73, 1^{\circ}$ auf.

Die Bahn

Welche Form hat der Weg der Kugel durch die Luft? Dafür braucht ihr die Höhe $y$ an jeder waagerechten Stelle $x$ , ohne $t$ .

Herleitung, an der Kugel vom Dach:

x = 4 t \Rightarrow t = \frac{x}{4}

y = - 4, 905 t^{2} + 5 = - 4, 905 \cdot (\frac{x}{4})^{2} + 5 = - \frac{4 , 905}{16} x^{2} + 5 \approx - 0, 3066 x^{2} + 5

Eine nach unten offene Parabel: $x$ wächst mit $t$ , $y$ fällt mit $t^{2}$ . Bei $x = 2 m$ ist die Kugel noch $- 0, 3066 \cdot 4 + 5 \approx 3, 77 m$ hoch.

Zwei Koordinatensysteme nebeneinander mit je einer nach unten offenen Parabel: links Zeitverlauf, t in s gegen Höhe y, der Stein von der Mauer, daneben der Stein an einer senkrechten Linie, nur hoch und runter; rechts Bahn, x in m gegen Höhe y, die Kugel vom Dach von 5 m bis 4,04 m

Beide Kurven sind Parabeln. Links steht auf der waagerechten Achse die Zeit, der Stein selbst fliegt nur hoch und runter. Rechts steht dort der Ort $x$ . Nur das rechte Bild zeigt den Weg durch die Luft.

Schema: Bahngleichung, das eben Gerechnete allgemein.

1. $x (t) = v_{x} t$ nach $t$ umstellen: $t = \frac{x}{v _{x}}$ . 2. In $y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + y_{0}$ einsetzen: $y = - \frac{1}{2} g (\frac{x}{v _{x}})^{2} + y_{0}$ . 3. Zusammenfassen: $y (x) = - \frac{g}{2 v _{x}^{2}} x^{2} + y_{0}$ .

Nach dem Schema, der Stein aus $20 m$ mit $6 \frac{m}{s}$ :

1. $t = \frac{x}{6}$ . 2. $y = - 4, 905 \cdot (\frac{x}{6})^{2} + 20$ . 3. $y (x) = - \frac{4 , 905}{36} x^{2} + 20 \approx - 0, 1363 x^{2} + 20$ . Bei $x = 6 m$ : $y \approx - 0, 1363 \cdot 36 + 20 \approx 15, 1 m$ .

> Ergebnis: $y (x) = - 0, 1363 x^{2} + 20$ ; nach $6 m$ waagerecht ist der Stein noch $15, 1 m$ hoch.

Der schräge Wurf

Beim schrägen Wurf zeigt die Anfangsgeschwindigkeit schräg nach oben. Um wie beim waagerechten Wurf in zwei Spalten zu rechnen, teilt ihr sie in einen waagerechten und einen senkrechten Teil auf. Dieses Aufteilen heißt Zerlegen.

Zum Beispiel: Ein Ball wird vom Boden mit $10 \frac{m}{s}$ unter $3 0^{\circ}$ zur Waagerechten abgeworfen. Wie weit fliegt er?

Zerlegung: rechtwinkliges Dreieck mit v0 als schräger Hypotenuse, vx als waagerechter Ankathete, vy als senkrechter Gegenkathete; Winkel α zwischen vx und v0 am Abwurfpunkt

Der Abwurfwinkel $α$ wird zur Waagerechten gemessen. Im Dreieck gilt $cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ und $sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ :

cos α = \frac{v _{x}}{v _{0}} \Rightarrow v_{x} = v_{0} \cdot cos α = 10 \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 8, 66 \frac{m}{s}

sin α = \frac{v _{0 y}}{v _{0}} \Rightarrow v_{0 y} = v_{0} \cdot sin α = 10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 5 \frac{m}{s}

Der Rechner steht dafür auf Grad (DEG): $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ .

	$x$ : waagerecht	$y$ : senkrecht
$a$	$0$	$- 9, 81$
Geschwindigkeit	$v_{x} = 8, 66$ , bleibt immer gleich	$v_{y} (t) = - 9, 81 t + 5$ , startet mit $v_{0 y} = 5$
Start	$0$	$0$
Gesetz	$x (t) = 8, 66 t$	$y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5 t$

Landung heißt $y (t) = 0$ . Hier fehlt die Zahl ohne $t$ , darum klammert ihr $t$ aus:

- 4, 905 t^{2} + 5 t = 0 \Rightarrow t (- 4, 905 t + 5) = 0

t_{1} = 0 - 4, 905 t + 5 = 0 \Rightarrow t_{F} = \frac{5}{4 , 905} \approx 1, 02 s

$t_{1} = 0$ ist der Abwurf. Die Flugzeit $t_{F}$ geht in die $x$ -Spalte:

W = x (1, 02) = 8, 66 \cdot 1, 02 \approx 8, 83 m

> Ergebnis: Der Ball fliegt $8, 83 m$ weit.

Steighöhe und Scheitel

Schräger Wurf vom Boden: Parabelbahn mit Pfeilen an fünf Punkten; vx überall gleich lang, vy erst nach oben, im Scheitel null, dann nach unten; Steighöhe H, Steigzeit tS, Flugzeit tF = 2tS, Wurfweite W

Die Pfeile im Bild, als Zahlen:

$t$ in s	$0$	$0, 25$	$0, 51$	$0, 76$	$1, 02$
$v_{x}$ in $\frac{m}{s}$	$8, 66$	$8, 66$	$8, 66$	$8, 66$	$8, 66$
$v_{y}$ in $\frac{m}{s}$	$5$	$2, 55$	$0$	$- 2, 46$	$- 5, 01$

Bei $0, 51 s$ ist $v_{y} = 0$ : Der Ball steigt nicht mehr und fällt noch nicht. Dieser höchste Punkt heißt Scheitel. Dort fliegt er mit $8, 66 \frac{m}{s}$ waagerecht weiter.

Scheitel heißt $v_{y} (t) = 0$ :

- 9, 81 t + 5 = 0 \Rightarrow t_{S} = \frac{5}{9 , 81} \approx 0, 51 s

H = y (0, 51) = - 4, 905 \cdot 0, 5 1^{2} + 5 \cdot 0, 51 \approx 1, 27 m

> Ergebnis: Steigzeit $t_{S} = 0, 51 s$ , Steighöhe $H = 1, 27 m$ .

Schema: schräger Wurf, das eben Gerechnete allgemein.

1. Zerlegen: $v_{x} = v_{0} cos α$ und $v_{0 y} = v_{0} sin α$ . 2. Zwei Spalten: $x (t) = v_{x} t$ und $y (t) = - 4, 905 t^{2} + v_{0 y} t + y_{0}$ , dazu $v_{y} (t) = - 9, 81 t + v_{0 y}$ . 3. Situation als Bedingung in der $y$ -Spalte: Scheitel $v_{y} (t) = 0$ , Landung $y (t) = 0$ . 4. Nach $t$ lösen. Die Lösung des Abwurfs und negative Zeiten streichen. 5. Gefundenes $t$ einsetzen: $t_{S}$ in $y (t)$ für die Steighöhe $H$ , $t_{F}$ in $x (t)$ für die Wurfweite $W$ .

Nach dem Schema, zwei Würfe mit gleichem Ball, $10 \frac{m}{s}$ unter $3 0^{\circ}$ :

Schritt	a) vom Boden	b) aus $2 m$ Höhe
1	$v_{x} \approx 8, 66$ , $v_{0 y} = 5$	$v_{x} \approx 8, 66$ , $v_{0 y} = 5$
2	$y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5 t$	$y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5 t + 2$
3	$v_{y} = 0$ ; $y = 0$	$v_{y} = 0$ ; $y = 0$
4	$t_{S} \approx 0, 51 s$ ; $t_{F} \approx 1, 02 s$	$t_{S} \approx 0, 51 s$ ; $t_{F} \approx 1, 33 s$
5	$H \approx 1, 27 m$ ; $W \approx 8, 83 m$	$H \approx 3, 27 m$ ; $W \approx 11, 5 m$

Die Landung in b), Schritt 4: $: (- 4, 905)$ ergibt $t^{2} - 1, 019 t - 0, 408 = 0$ , $t = 0, 510 \pm 0, 51 0^{2} + 0, 408 = 0, 510 \pm 0, 668 = 0, 510 \pm 0, 817$ , also $t_{F} \approx 1, 33 s$ ( $- 0, 31 s$ entfällt). Schritt 5: $H = - 4, 905 \cdot 0, 5 1^{2} + 5 \cdot 0, 51 + 2 \approx 3, 27 m$ , $W = 8, 66 \cdot 1, 33 \approx 11, 5 m$ .

Vergleicht Schritt 4. In a) ist $t_{F} = 1, 02 s$ genau $2 \cdot t_{S}$ . In b) fällt der Ball $2 m$ tiefer als in a) und ist länger unterwegs: $1, 33 s$ statt $1, 02 s$ .

Merken: Nur wenn der Ball auf der Abwurfhöhe landet, gilt $t_{F} = 2 t_{S}$ .

Jetzt ihr

Ein Ball wird vom Boden mit

15 \frac{m}{s}

unter

6 0^{\circ}

abgeworfen. Steighöhe und Wurfweite?

Lösung

v_{x} = 15 cos 6 0^{\circ} = 7, 5 \frac{m}{s}

v_{0 y} = 15 sin 6 0^{\circ} \approx 12, 99 \frac{m}{s}

;

t_{S} = \frac{12 , 99}{9 , 81} \approx 1, 32 s

H = - 4, 905 \cdot 1, 3 2^{2} + 12, 99 \cdot 1, 32 \approx 8, 60 m

;

t_{F} = 2 t_{S} \approx 2, 65 s

W = 7, 5 \cdot 2, 65 \approx 19, 9 m

Welcher Winkel fliegt am weitesten?

Theorie: Vom Boden aus hat die Flugzeit eine eigene Formel. Die Landung $y (t) = 0$ mit Buchstaben:

- \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0 y} t = 0

t (- \frac{1}{2} g t + v_{0 y}) = 0

- \frac{1}{2} g t + v_{0 y} = 0 - v_{0 y} - \frac{1}{2} g t = - v_{0 y} : (- \frac{1}{2} g) t_{F} = \frac{2 v _{0 y}}{g}

Probe mit dem Ball von oben: $\frac{2 \cdot 5}{9 , 81} \approx 1, 02 s$ .

Immer $v_{0} = 10 \frac{m}{s}$ vom Boden, nur $α$ ändert sich:

	$α$	$v_{x}$	$v_{0 y}$	$t_{F} = \frac{2 v _{0 y}}{9 , 81}$	$W = v_{x} \cdot t_{F}$
a)	$0^{\circ}$	$10, 00$	$0$	$0$	$0 m$
b)	$3 0^{\circ}$	$8, 66$	$5, 00$	$1, 02 s$	$8, 83 m$
c)	$4 5^{\circ}$	$7, 07$	$7, 07$	$1, 44 s$	$10, 19 m$
d)	$6 0^{\circ}$	$5, 00$	$8, 66$	$1, 77 s$	$8, 83 m$
e)	$8 0^{\circ}$	$1, 74$	$9, 85$	$2, 01 s$	$3, 49 m$
f)	$9 0^{\circ}$	$0$	$10, 00$	$2, 04 s$	$0 m$

$v_{0 y}$ bestimmt, wie lange der Ball fliegt. $v_{x}$ bestimmt, wie weit er pro Sekunde kommt. Der Winkel teilt $v_{0}$ zwischen beiden auf. Am weitesten fliegt der Ball bei $4 5^{\circ}$ , wo beide gleich groß sind. In b) und d) sind $8, 66$ und $5, 00$ nur vertauscht, darum fliegen $3 0^{\circ}$ und $6 0^{\circ}$ gleich weit.

Alle Würfe des Kapitels sind derselbe Wurf mit anderem $α$ :

	$α$	$v_{x} = v_{0} cos α$	$v_{0 y} = v_{0} sin α$
senkrechter Wurf	$9 0^{\circ}$	$0$	$v_{0}$
waagerechter Wurf	$0^{\circ}$	$v_{0}$	$0$
schräger Wurf	dazwischen	größer als $0$	größer als $0$

Die Starthöhe $y_{0}$ kommt in jedem Fall in die $y$ -Spalte.

Übungen

Jetzt ihr

Ein Stein fällt aus

45 m

Höhe. a) Wie lange fällt er? b) Mit welcher Geschwindigkeit kommt er unten an?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

; 2.

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 45

v (t) = - 9, 81 t

; 3.

y (t) = 0

; 4. a)

t = 45/4, 905 \approx 3, 03 s

; 5. b)

v = - 9, 81 \cdot 3, 03 \approx - 29, 7 \frac{m}{s}

, also

29, 7 \frac{m}{s}

nach unten

Jetzt ihr

Ein Ball wird vom Boden mit

15 \frac{m}{s}

senkrecht nach oben geworfen. a) Wann ist er am höchsten Punkt? b) Wie hoch kommt er?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

; 2.

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 15 t

v (t) = - 9, 81 t + 15

; 3.

v (t) = 0

; 4. a)

t_{S} = \frac{15}{9 , 81} \approx 1, 53 s

; 5. b)

y (1, 53) = - 4, 905 \cdot 1, 5 3^{2} + 15 \cdot 1, 53 \approx 11, 5 m

Jetzt ihr

Ein Stein wird aus

10 m

Höhe mit

5 \frac{m}{s}

senkrecht nach oben geworfen. Wann trifft er den Boden?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

; 2.

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 5 t + 10

; 3.

y (t) = 0

; 4.

: (- 4, 905)

t^{2} - 1, 019 t - 2, 039 = 0

t = 0, 510 \pm 0, 260 + 2, 039 = 0, 510 \pm 1, 516

t_{1} \approx 2, 03 s

t_{2} \approx - 1, 01 s

entfällt

Jetzt ihr

Ein Stein wird aus

30 m

Höhe mit

10 \frac{m}{s}

senkrecht nach unten geworfen. Wann trifft er den Boden?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

, also

v_{0} = - 10 \frac{m}{s}

; 2.

y (t) = - 4, 905 t^{2} - 10 t + 30

; 3.

y (t) = 0

; 4.

: (- 4, 905)

t^{2} + 2, 039 t - 6, 116 = 0

t = - 1, 019 + 1, 039 + 6, 116 \approx - 1, 019 + 2, 675 \approx 1, 66 s

Jetzt ihr

Ball A fällt aus

20 m

Höhe. Im selben Moment wird Ball B vom Boden darunter mit

20 \frac{m}{s}

nach oben geworfen. a) Wann treffen sie sich? b) In welcher Höhe?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

, eine Uhr; 2.

y_{A} (t) = - 4, 905 t^{2} + 20

y_{B} (t) = - 4, 905 t^{2} + 20 t

; 3.

y_{A} (t) = y_{B} (t)

; 4. a)

20 = 20 t

t = 1 s

; 5. b)

y_{A} (1) = - 4, 905 + 20 \approx 15, 1 m

Jetzt ihr

Ball A wird aus

25 m

Höhe mit

5 \frac{m}{s}

nach unten geworfen. Im selben Moment wird Ball B vom Boden darunter mit

20 \frac{m}{s}

nach oben geworfen. a) Wann treffen sie sich? b) In welcher Höhe?

Lösung

1. Achse nach oben, Boden

0

, eine Uhr; 2.

y_{A} (t) = - 4, 905 t^{2} - 5 t + 25

y_{B} (t) = - 4, 905 t^{2} + 20 t

; 3.

y_{A} (t) = y_{B} (t)

; 4. a)

25 = 25 t

t = 1 s

; 5. b)

y_{B} (1) = - 4, 905 + 20 \approx 15, 1 m

Jetzt ihr

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach

3 s

hört man den Aufschlag. Der Schall läuft mit

340 \frac{m}{s}

. Wie tief ist der Brunnen?

Lösung

1. Stein

t_{1}

, Schall

t_{2}

; 2. Achse nach unten:

h = 4, 905 t_{1}^{2}

h = 340 t_{2}

; 3.

4, 905 t_{1}^{2} = 340 t_{2}

und

t_{2} = 3 - t_{1}

; 4.

4, 905 t_{1}^{2} = 340 (3 - t_{1})

t_{1}^{2} + 69, 32 t_{1} - 208, 0 = 0

t_{1} = - 34, 66 + 1201 + 208, 0 \approx 2, 88 s

; 5.

h = 4, 905 \cdot 2, 8 8^{2} \approx 40, 7 m

Jetzt ihr

Von einer

80 m

hohen Klippe fällt ein Stein ins Meer. Der Schall läuft mit

340 \frac{m}{s}

. Nach welcher Zeit hört man oben den Aufschlag?

Lösung

1. Stein

t_{1}

, Schall

t_{2}

; 2. Achse nach unten:

s = 4, 905 t_{1}^{2}

s = 340 t_{2}

; 3.

4, 905 t_{1}^{2} = 80

und

340 t_{2} = 80

; 4.

t_{1} = 80/4, 905 \approx 4, 04 s

t_{2} = \frac{80}{340} \approx 0, 235 s

; 5.

t_{ges} \approx 4, 27 s

Jetzt ihr

Eine Murmel rollt mit

3 \frac{m}{s}

über die Kante eines

1, 25 m

hohen Tisches. a) Wie lange fällt sie? b) Wie weit vom Tisch landet sie?

Lösung

x

a = 0

v_{x} = 3

, Start

0

;

y

a = - 9, 81

v_{0 y} = 0

, Start

1, 25

; 2.

x (t) = 3 t

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 1, 25

; 3. a)

- 4, 905 t^{2} + 1, 25 = 0

t_{F} = 1, 25/4, 905 \approx 0, 505 s

; 4. b)

W = 3 \cdot 0, 505 \approx 1, 51 m

Jetzt ihr

Ein Stein wird aus

45 m

Höhe mit

10 \frac{m}{s}

waagerecht geworfen. a) Wie weit fliegt er? b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf? c) Unter welchem Winkel zur Waagerechten?

Lösung

x (t) = 10 t

y (t) = - 4, 905 t^{2} + 45

y (t) = 0

ergibt

t_{F} \approx 3, 03 s

W = 10 \cdot 3, 03 \approx 30, 3 m

; b)

v_{x} = 10 \frac{m}{s}

v_{y} = - 9, 81 \cdot 3, 03 \approx - 29, 7 \frac{m}{s}

v = 100 + 882, 1 \approx 31, 3 \frac{m}{s}

; c)

tan β = \frac{29 , 7}{10} = 2, 97

β \approx 71, 4^{\circ}

Jetzt ihr

Ein Stein wird aus

10 m

Höhe mit

5 \frac{m}{s}

waagerecht geworfen. a) Stellt die Bahngleichung

y (x)

auf. b) Wie hoch ist der Stein bei

x = 5 m

Lösung

a) 1.

x = 5 t

t = \frac{x}{5}

; 2.

y = - 4, 905 \cdot (\frac{x}{5})^{2} + 10

; 3.

y (x) = - 0, 1962 x^{2} + 10

; b)

y (5) = - 0, 1962 \cdot 25 + 10 \approx 5, 10 m

Jetzt ihr

Ein Ball wird vom Boden mit

20 \frac{m}{s}

unter

3 0^{\circ}

abgeworfen. a) Berechnet

v_{x}

und

v_{0 y}

. b) Wann und wie hoch ist der Scheitel? c) Wie weit fliegt er? d) Wie schnell ist er im Scheitel? e) Wie weit fliegt er unter

6 0^{\circ}

Lösung

v_{x} = 20 cos 3 0^{\circ} \approx 17, 3 \frac{m}{s}

v_{0 y} = 20 sin 3 0^{\circ} = 10 \frac{m}{s}

; b)

- 9, 81 t + 10 = 0

t_{S} \approx 1, 02 s

H = - 4, 905 \cdot 1, 0 2^{2} + 10 \cdot 1, 02 \approx 5, 10 m

; c)

t_{F} = 2 t_{S} \approx 2, 04 s

W = 17, 3 \cdot 2, 04 \approx 35, 3 m

; d)

v_{y} = 0

, also

v = v_{x} \approx 17, 3 \frac{m}{s}

; e)

v_{x} = 20 cos 6 0^{\circ} = 10 \frac{m}{s}

v_{0 y} = 20 sin 6 0^{\circ} \approx 17, 3 \frac{m}{s}

t_{F} = \frac{2 \cdot 17 , 3}{9 , 81} \approx 3, 53 s

W = 10 \cdot 3, 53 \approx 35, 3 m

, gleich weit wie unter

3 0^{\circ}