练习

$(x+1)\cdot e^x-\left(e^x\right)+c=x\cdot e^x+c$. Probe: $(x\cdot e^x{)}^{\prime }=e^x+x\cdot e^x=(x+1)\cdot e^x$ ✓

$\frac{1}{3}(x^4+1{)}^3+c$. Probe durch Ableiten: $\frac{3}{3}(x^4+1{)}^2\cdot 4x^3$ ✓

$\sin (e^x)+c$. Probe durch Ableiten: $\cos (e^x)\cdot e^x$ ✓

$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}(x^2+4{)}^4+c=\frac{1}{8}(x^2+4{)}^4+c$. Probe durch Ableiten: $\frac{4}{8}(x^2+4{)}^3\cdot 2x=x\cdot (x^2+4{)}^3$ ✓

$-\frac{1}{2}\cos (x^2)+c$. Probe durch Ableiten: $\frac{1}{2}\sin (x^2)\cdot 2x$ ✓

$-\frac{1}{3(x^3+1)}+c$. Mit $u=x^3+1$ und $dx=\frac{du}{3x^2}$ wird daraus $\frac{1}{3}\int u^{-2}du$.

$\ln |x^3-8|+c$; ja, bei $x=0$ ist $x^3-8=-8$

$F(x)=x^2$, $F(3)=9$, $F(2)=4$, also ${\left[x^2\right]}_2^3=9-4=5$

$F(x)=\sin x$, $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $F(0)=0$, also ${\left[\sin x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1-0=1$

Nullstellen −1 und 1, $f(0,5)=-0,75$, also unter der x-Achse; $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x$, $F(1)=-\frac{2}{3}$, $F(0)=0$, Integral $-\frac{2}{3}$, $A=\frac{2}{3}$ FE

Nullstelle 1; Teilintegrale $-\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{3}$; $A=2$ FE

Grenzen $-3$ und 3; Teilintegral $F(3)-F(-3)=-36$; $A=36$ FE

Schnittstellen 0 und 5; $d(x)=5x-x^2$; $A=\frac{125}{6}\approx 20,83$ FE

Schnittstellen 0, 1 und 2; Teilintegrale $\frac{1}{4}$ und $-\frac{1}{4}$; $A=\frac{1}{2}$ FE