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[m3 IR 3 20:20] Kosten + Erlös

Eine Werkstatt näht T-Shirts.

Der Chef rechnet mit einer festen Zahl je Stück.

Zwanzig Stück mehr kosten immer gleich viel und bringen immer gleich viel ein, sagt er.

Die Buchhaltung misst zwei solche Schritte nach.

Schritt	Kosten steigen um	Erlös (das Geld, das hereinkommt) steigt um
20 auf 40 Stück	132 €	600 €
80 auf 100 Stück	636 €	−600 €

Beide Schritte sind zwanzig Stück groß.

Keine der vier Zahlen passt zur festen Zahl des Chefs.

Die Buchhaltung schreibt die Kosten K(x) zu jeder Menge x auf.

Menge $x$	Kosten $K (x)$	Zuwachs
0 Stück	200 €
20 Stück	356 €	156 €
40 Stück	488 €	132 €
60 Stück	692 €	204 €
80 Stück	1064 €	372 €
100 Stück	1700 €	636 €

Die dritte Spalte zeigt den Sprung von der Zeile darüber zu dieser Zeile.

Bei null Stück stehen schon 200 € da.

Diese 200 € heißen Fixkosten Kf.

Darin stecken die Miete und die Maschinen.

Die Zuwachsreihe hat zwei Teile.

Degressiv heißt: jedes weitere Stück kostet weniger als das davor.

Progressiv heißt: jedes weitere Stück kostet mehr als das davor.

Teil	Zuwächse	Name	Grund in der Werkstatt
bis 40 Stück	156 · 132	degressiv	die Maschinen laufen immer voller
ab 40 Stück	204 · 372 · 636	progressiv	Überstunden kommen dazu

Merken: Eine Kostenfunktion mit diesen zwei Teilen heißt ertragsgesetzliche Kostenfunktion.

Über jedem Zwanzigerschritt steht sein Zuwachs als Doppelpfeil.

Zu jeder Menge sollt ihr den Kostenwert ausrechnen können.

Die Reihe der Kosten lässt sich als Funktion K(x) schreiben.

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 15 x^{2} + 10 x + 200

Der höchste Exponent ist die 3.

Die Funktion hat Grad drei.

Probe bei 60 Stück:

K (60) = 0, 002 \cdot 6 0^{3} - 0, 15 \cdot 6 0^{2} + 10 \cdot 60 + 200

K (60) = 432 - 540 + 600 + 200

K (60) = 692

Ergebnis: $K (60) = 692$

Die 692 € stehen auch in der Kostenreihe in der Zeile für 60 Stück.

a) $K (20) - K (0) = 356 - 200 = 156$
b) $K (40) - K (20) = 488 - 356 = 132$
c) $K (60) - K (40) = 692 - 488 = 204$
d) $K (80) - K (60) = 1064 - 692 = 372$
e) $K (100) - K (80) = 1700 - 1064 = 636$

Merken: Die Kosten selbst werden in jeder Zeile größer. Ihr Zuwachs wird erst kleiner und dann größer.

Aus dem Vorkapitel kennt ihr die Nachfragefunktion des Marktes.

x (p) = 120 - 2 p

Dort geht ein Preis hinein, heraus kommt eine Menge.

Die Werkstatt plant mit Stückzahlen.

Um den Preis zu einer Menge zu bekommen, stellt ihr nach p um.

Umstellen nach p:

x = 120 - 2 p

2 p = 120 - x

p (x) = 60 - 0, 5 x

Ergebnis: $p (x) = 60 - 0, 5 x$

p (60) = 60 - 0, 5 \cdot 60

p (60) = 30

Bei 60 Stück am Tag bringt jedes Shirt 30 €.

Der Erlös E(x) ist das Geld, das für x Stück hereinkommt.

Der Erlös ist Preis mal Menge.

Bei 60 Stück sind das 1800 €.

Die Erlösfunktion aufstellen:

E (x) = p (x) \cdot x

E (x) = (60 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = 60 x - 0, 5 x^{2}

Ergebnis: $E (x) = 60 x - 0, 5 x^{2}$

E (60) = 60 \cdot 60 - 0, 5 \cdot 6 0^{2}

E (60) = 3600 - 1800

E (60) = 1800

Ergebnis: $E (60) = 1800$

Die letzte Spalte zeigt wieder den Sprung von der Zeile darüber.

Menge $x$	Preis $p (x)$	Erlös $E (x)$	Zuwachs
0 Stück	60 €	0 €
20 Stück	50 €	1000 €	1000 €
40 Stück	40 €	1600 €	600 €
60 Stück	30 €	1800 €	200 €
80 Stück	20 €	1600 €	−200 €
100 Stück	10 €	1000 €	−600 €

In jeder Zeile steht derselbe Schritt von zwanzig Stück.

Ab 60 Stück ist der Zuwachs negativ.

Mehr Verkauf bringt dann weniger Geld herein.

Die Erlöskurve steht über der Menge.

a) $E (20) - E (0) = 1000 - 0 = 1000$
b) $E (40) - E (20) = 1600 - 1000 = 600$
c) $E (60) - E (40) = 1800 - 1600 = 200$
d) $E (80) - E (60) = 1600 - 1800 = - 200$
e) $E (100) - E (80) = 1000 - 1600 = - 600$

Merken: Der Erlöszuwachs wird in jedem Schritt kleiner und kippt ins Minus.

So kommt ihr von der Nachfrage zum Erlös:

a)Die Nachfragefunktion x(p) nach p umstellen. Das gibt p(x).
b)Den Erlös als p(x) mal x aufstellen und ausmultiplizieren.
c)Die gesuchte Menge in E(x) und in K(x) einsetzen.

Der Chef wollte eine feste Zahl je Stück.

Schritt	Kosten steigen um	Erlös steigt um
20 auf 40 Stück	132 €	600 €
80 auf 100 Stück	636 €	−600 €

Beide Schritte sind zwanzig Stück groß.

Sie liegen an verschiedenen Stellen der Menge.

Ein Minus in der Spalte heißt: der Erlös ist am Ende kleiner als vorher.

Die Zahl je Stück hängt von der Menge x ab.

Merken: Darum steht die Menge x in K(x) und in E(x).

Jetzt ihr

Eine Bäckerei hat die Nachfragefunktion

x (p) = 160 - 4 p

und die Kosten

K (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 09 x^{2} + 5 x + 150

. a) Stellt

p (x)

und

E (x)

auf. b) Rechnet

E (40)

und

K (40)

aus.

Lösung

p (x) = 40 - 0, 25 x

und

E (x) = 40 x - 0, 25 x^{2}

; b)

E (40) = 1600 - 400 = 1200

€ und

K (40) = 64 - 144 + 200 + 150 = 270

€