积分学（总论）

幂函数的积分

积分就是倒过来求导。先看求导，这个你已经会了。

现在倒过来：我们对 $x^{3}$ 积分。

对吗？我们来检验。

为什么要 + c？

求导时 $c$ 消失了。每个常数都是这样。

积分的结果叫做原函数。因为有 $+ c$ ，原函数有很多个，每个数 $c$ 对应一个。

幂法则

一个新例子。 $\int x^{5} d x$ 的意思是：对 $x^{5}$ 积分。 $d x$ 表示：变量是 $x$ 。

任何指数都可以这样做。我们用 $n$ 表示任意一个指数。

这就是幂法则：

\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c

四个例子，规律始终一样。

记住：指数加 1，除以新的指数，后面加 $+ c$ 。

你来试试

\int x^{9} d x

答案

\frac{1}{10} x^{10} + c

b) $\int x^{4} d x$ （答案： $\frac{1}{5} x^{5} + c$ ）

c) $\int x d x$ （答案： $x = x^{1}$ ，所以 $\frac{1}{2} x^{2} + c$ ）

前面有系数：常数倍法则

幂函数前面有一个数时，这个数保留下来，放到分子上。

之后常常可以约分：

积分	结果
$3 x^{2}$	$\frac{3}{3} x^{3} + c = x^{3} + c$
$6 x$	$\frac{6}{2} x^{2} + c = 3 x^{2} + c$
$2 x^{5}$	$\frac{2}{6} x^{6} + c = \frac{1}{3} x^{6} + c$

单独一个数等于这个数乘 $x^{0}$ ，因为 $x^{0} = 1$ ：

\int 4 d x = \int 4 x^{0} d x = \frac{4}{1} x^{1} + c = 4 x + c

这就是常数倍法则（ $k$ 是常数）：

\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x

记住：前面的数保留，放到分子上。

你来试试

\int 10 x^{4} d x

答案

\frac{10}{5} x^{5} + c = 2 x^{5} + c

b) $\int 12 x^{5} d x$ （答案： $\frac{12}{6} x^{6} + c = 2 x^{6} + c$ ）

c) $\int 7 d x$ （答案： $7 x + c$ ）

和：求和法则

对一个和积分时，每一项分别积分。

检验：求导又得到原来的和。

(\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + c)^{'} = x^{2} + 6 x - 4 ✓

这就是求和法则：

\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

再看三个和，逐项积分：

积分	结果
$4 x^{3} + 2 x$	$x^{4} + x^{2} + c$
$9 x^{2} - 5$	$3 x^{3} - 5 x + c$
$8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 7$	$2 x^{4} - x^{3} + x^{2} - 7 x + c$

记住：逐项积分，最后只写一次 $+ c$ 。

你来试试

\int (6 x^{2} + 4 x - 1) d x

答案

2 x^{3} + 2 x^{2} - x + c

b) $\int (x^{3} - 4 x + 2) d x$ （答案： $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2 x + c$ ）

c) $\int (5 x^{4} + 3 x^{2} - 6) d x$ （答案： $x^{5} + x^{3} - 6 x + c$ ）

分式和根式的积分

分母中含 $x$ 的分式是指数为负的幂： $\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}$ 。然后照常使用幂法则。

化简： $\frac{1}{- 2} x^{- 2} = - \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

检验： $(- \frac{1}{2} x^{- 2})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) x^{- 3} = x^{- 3}$ ✓

指数为负时要小心。加 1 在数轴上就是：向右走一步。

根式也是幂，它的指数是分数： $x = x^{\frac{1}{2}}$ 。

新的指数是 $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ 。除以 $\frac{3}{2}$ 就是乘 $\frac{2}{3}$ 。

\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + c

下表中的 $x^{- \frac{1}{2}}$ ： $- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ ，也是向右一步。

函数	写成幂	原函数
$\frac{1}{x ^{2}}$	$x^{- 2}$	$- x^{- 1} + c$
$\frac{6}{x ^{4}}$	$6 x^{- 4}$	$- 2 x^{- 3} + c$
$3 x$	$x^{\frac{1}{3}}$	$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + c$
$\frac{1}{x}$	$x^{- \frac{1}{2}}$	$2 x^{\frac{1}{2}} + c$

记住：先写成幂，再照常积分。

你来试试

\int \frac{1}{x ^{4}} d x

答案

\int x^{- 4} d x = - \frac{1}{3} x^{- 3} + c

b) $\int \frac{8}{x ^{3}} d x$ （答案： $\int 8 x^{- 3} d x = - 4 x^{- 2} + c$ ）

c) $\int x^{5} d x$ （答案： $\int x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + c$ ）

d) $\int \frac{3}{x} d x$ （答案： $\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x = 6 x^{\frac{1}{2}} + c$ ）

基本积分：1/x、e 的 x 次方、sin x、cos x

有一个指数幂法则处理不了： $- 1$ 。

求导时你学过： $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ， $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ 。

先看 $ln$ ：倒过来读， $ln$ 就是 $\frac{1}{x}$ 的原函数。

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + c

需要绝对值 $∣ x ∣$ ，因为 $ln$ 只对正数有定义，而 $\frac{1}{x}$ 在 0 的左边也有定义。

对 $sin x$ 和 $cos x$ ，把求导的循环倒过来读。

基本积分，每个都带检验：

函数	原函数	检验
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + c$	$(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$
$e^{x}$	$e^{x} + c$	$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$cos x$	$sin x + c$	$(sin x)^{'} = cos x$
$sin x$	$- cos x + c$	$(- cos x)^{'} = sin x$

常数倍法则和求和法则在这里同样适用：

积分	结果
$2 sin x$	$- 2 cos x + c$
$\frac{3}{x}$	$3 ln ∣ x ∣ + c$
$e^{x} - 5 sin x$	$e^{x} + 5 cos x + c$

记住： $\frac{1}{x}$ 、 $e^{x}$ 、 $sin x$ 和 $cos x$ 的积分从导数表倒着读。负号在 $sin x$ 那里。

你来试试

\int 5 e^{x} d x

答案

5 e^{x} + c

b) $\int (- 4 sin x) d x$ （答案： $4 cos x + c$ ）

c) $\int (6 cos x + \frac{2}{x}) d x$ （答案： $6 sin x + 2 ln ∣ x ∣ + c$ ）

d) $\int (x^{3} + \frac{1}{x} + sin x) d x$ （答案： $\frac{1}{4} x^{4} + ln ∣ x ∣ - cos x + c$ ）

里面是 ax + b：除以 a

用链式法则求导时，里面的数会跑到前面。所以积分时要除以这个数。

检验： $(\frac{1}{3} e^{3 x})^{'} = \frac{1}{3} \cdot 3 e^{3 x} = e^{3 x}$ ✓

里面再加上 $+ b$ 也不变，因为求导时 $b$ 消失了。

\int cos (2 x + 1) d x = \frac{1}{2} sin (2 x + 1) + c

函数	数 a	原函数
$e^{2 x}$	$2$	$\frac{1}{2} e^{2 x} + c$
$e^{- x}$	$- 1$	$- e^{- x} + c$
$sin (3 x)$	$3$	$- \frac{1}{3} cos (3 x) + c$
$(2 x + 1)^{3}$	$2$	$\frac{1}{8} (2 x + 1)^{4} + c$

最后一行：外层用幂法则，得 $\frac{1}{4} (2 x + 1)^{4}$ ，再除以 $2$ 。

一般地（ $F$ 是 $f$ 的一个原函数）：

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + c

记住：外层照常积分，再除以 $a$ 。 $b$ 不起作用。

只有里面是 $a x + b$ 时才能这样做。对 $e^{x^{2}}$ ，里面的导数是 $2 x$ ，不是常数，这时不能除以 $2 x$ 。

你来试试

\int e^{4 x} d x

答案

\frac{1}{4} e^{4 x} + c

b) $\int sin (2 x - 3) d x$ （答案： $- \frac{1}{2} cos (2 x - 3) + c$ ）

c) $\int (3 x - 1)^{4} d x$ （答案： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} (3 x - 1)^{5} + c = \frac{1}{15} (3 x - 1)^{5} + c$ ）

d) $\int \frac{1}{2 x + 5} d x$ （答案： $\frac{1}{2} ln ∣2 x + 5∣ + c$ ）

先变形，再积分

乘积没有单独的积分法则。逐个因子积分是错的：对 $\int x \cdot x d x$ 会得到 $\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{4} x^{4}$ ，但它的导数是 $x^{3}$ ，不是 $x^{2}$ 。所以要先变形。

\int (3 x^{2} - 2 x) d x = x^{3} - x^{2} + c

分子是和的分式，每一项都分到分母：

\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x = \int (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + c

积分	变形后	结果
$(2 x - 1) (x + 3)$	$2 x^{2} + 5 x - 3$	$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 3 x + c$
$\frac{x ^{3} + 2 x}{x}$	$x^{2} + 2$	$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + c$
$\frac{4 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$	$4 - x^{- 2}$	$4 x + x^{- 1} + c$

记住：乘积先展开，分式先拆开，然后逐项积分。

你来试试

\int x (x + 4) d x

答案

\int (x^{2} + 4 x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + c

b) $\int \frac{6 x ^{2} + 3}{x} d x$ （答案： $\int (6 x + \frac{3}{x}) d x = 3 x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + c$ ）

c) $\int \frac{2 x + 3}{x} d x$ （答案： $\int (2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}}) d x = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + c$ ）

步骤：不定积分

1. 变形：展开乘积，拆开分式，把根式和分式写成幂。 2. 逐项积分：幂法则、基本积分，里面是 $a x + b$ 时除以 $a$ 。前面的数保留。 3. 最后写一次 $+ c$ 。 4. 检验：求导。

定积分：图像下方的面积

$f (x) = 3 x^{2} + 1$ 的图像下方、从 $x = 0$ 到 $x = 2$ 的面积 $A$ 有多大？上边是弯的。矩形有公式：高乘宽。所以我们放进四个矩形，每个宽 $0.5$ 。它们的高是 $f (0) = 1$ 、 $f (0.5) = 1.75$ 、 $f (1) = 4$ 、 $f (1.5) = 7.75$ 和 $f (2) = 13$ 。

取左边的高，矩形面积之和叫做下和 $U_{4}$ ；取右边的高，叫做上和 $O_{4}$ （4 个矩形）：

U_{4} O_{4} = 0.5 + 0.875 + 2 + 3.875 = 7.25 = 0.875 + 2 + 3.875 + 6.5 = 13.25

所以 $7.25 < A < 13.25$ 。矩形越窄，估计越准。第二个例子： $f (x) = x^{2}$ 从 0 到 3，先用 6 个，再用 12 个，最后用 60 个矩形：

和 $6.875$ 、 $7.91$ 、 $8.78$ 越来越接近一个数：9。这个数叫做定积分，写作 $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ 。0 和 3 是积分的上下限。

不必用矩形来算。原函数 $F (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ 可以直接给出结果：代入上限，代入下限，相减。这总是成立，这就是微积分基本定理。这里你可以看到：结果正好是 9。

面积是 9 个面积单位。第一个例子也对得上： $\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{0}^{2} = 10$ ，而 10 正好在 7.25 和 13.25 之间。

这里不写 $+ c$ ，因为相减时它消掉了： $(F (b) + c) - (F (a) + c) = F (b) - F (a)$ 。

步骤：定积分

一般把下限记作 $a$ ，上限记作 $b$ 。

1. 求原函数 $F$ 。写法： $[F (x)]_{a}^{b}$ ，上下限写在方括号旁边。 2. 代入上限： $F (b)$ 。 3. 代入下限： $F (a)$ 。 4. 相减： $F (b) - F (a)$ 。

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

四个例子：

i) $\int_{1}^{3} 2 x d x = [x^{2}]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$

ii) $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x = [x^{3}]_{0}^{2} = 8 - 0 = 8$

iii) $\int_{- 1}^{2} x^{2} d x = [\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} = \frac{8}{3} - (- \frac{1}{3}) = 3$

iv) $\int_{0}^{3} (- 2 x) d x = [- x^{2}]_{0}^{3} = - 9 - 0 = - 9$

在 iii) 中括号很重要：负负得正。在 iv) 中 $- 2 x$ 的图像在 x 轴下方，所以积分是负的。面积永远不是负的：它取绝对值，这里是 9 个面积单位。

你来试试

\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x

答案

[x^{4}]_{1}^{2} = 16 - 1 = 15

b) $\int_{0}^{1} (6 x^{2} + 2) d x$ （答案： $[2 x^{3} + 2 x]_{0}^{1} = 4 - 0 = 4$ ）

c) $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ （答案： $[e^{x}]_{0}^{2} = e^{2} - 1 \approx 6.39$ ）