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Kosten, Erlös und Gewinn

Ein Unternehmen stellt eine Menge $x$ her und verkauft sie. Die Menge zählt man in Mengeneinheiten ( $ME$ ), zum Beispiel in Stück. Drei Fragen: Was kostet das? Was bringt der Verkauf? Was bleibt übrig?

Die Kosten

Beispiel 1: ein kleines Unternehmen mit einfachen Kosten.

Manche Kosten hat das Unternehmen immer, auch bei $x = 0$ : Miete, Maschinen. Das sind die Fixkosten $K_{f}$ , hier 20 €. Dazu kommen die variablen Kosten $K_{v} (x)$ . Sie wachsen mit der Menge: Material, Strom. Hier sind es 2 € je Stück: bei 4 Stück 8 €, bei 8 Stück 16 €. Beides zusammen ist die Kostenfunktion $K (x) = K_{v} (x) + K_{f}$ , hier $K (x) = 2 x + 20$ .

Diese Kostenfunktion ist eine Gerade, sie heißt linear. Die Fixkosten liest man bei $x = 0$ ab: $K_{f} = K (0) = 20$ .

Oft ist die Kostenkurve aber keine Gerade. Beispiel 2 hat eine neue Kostenfunktion:

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32

Ihre Ableitung brauchen wir gleich. Wir leiten jeden Summanden ab: $x^{3}$ wird $3 x^{2}$ , $- 6 x^{2}$ wird $- 12 x$ , $15 x$ wird $15$ , und die Zahl $32$ fällt weg.

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15

So sieht die Kurve aus. Sie steigt immer, denn mehr Stück kosten immer mehr. Die Ableitung $K^{'} (x)$ ist die Steigung der Tangente. Sie heißt Grenzkosten: ungefähr, was ein Stück mehr kostet. Bei $x = 0, 5$ : $K^{'} (0, 5) = 9, 75$ . Bei $x = 2$ ist die Steigung nur $K^{'} (2) = 3$ . Hier ist sie am kleinsten: Jedes weitere Stück kostet wenig. Bei $x = 4$ ist sie $K^{'} (4) = 15$ . Die Kurve wird wieder steiler. Wo die Steigung am kleinsten ist, wechselt die Kurve von flacher zu steiler. Dort liegt die Kostenkehre, der Wendepunkt.

So eine Kurve heißt ertragsgesetzlich (kubisch). Den Wendepunkt finden wir, wie bei jeder Funktion, mit der zweiten Ableitung $K^{''} (x) = 0$ :

K^{'} (x) K^{''} (x) x = 3 x^{2} - 12 x + 15 = 6 x - 12 = 0 = 2

Die Kosten pro Stück

Die Stückkosten sind die Kosten pro Stück: alle Kosten geteilt durch die Menge.

k (x) = \frac{K ( x )}{x}

Bei $x = 2$ kosten alle Stück zusammen 46 €. Ein Stück kostet also $46 : 2 = 23$ €. Das ist die Steigung der Geraden vom Nullpunkt zu diesem Punkt. Nun fährt der Punkt auf der Kurve nach rechts. Die Gerade fährt mit, und ihre Steigung zeigt immer die Stückkosten $k (x)$ . Nun fährt der Punkt zurück nach links. Bei $x = 4$ ist die Gerade am flachsten und berührt die Kurve. Hier sind die Stückkosten am kleinsten: $k (4) = 60 : 4 = 15$ . Diese Stelle heißt Betriebsoptimum $x_{BO}$ .

Die Gerade berührt die Kurve, sie ist also ihre Tangente. Darum sind dort Grenzkosten und Stückkosten gleich: $K^{'} (4) = 15 = k (4)$ .

Rechnerisch ist das Betriebsoptimum das Minimum von $k (x)$ . Wir teilen jeden Summanden von $K (x)$ durch $x$ :

k (x) = x^{2} - 6 x + 15 + \frac{32}{x}

Zum Ableiten schreiben wir $\frac{32}{x} = 32 x^{- 1}$ . Seine Ableitung ist $- 32 x^{- 2} = - \frac{32}{x ^{2}}$ . Also:

k^{'} (x) = 2 x - 6 - \frac{32}{x ^{2}}

Wir setzen $k^{'} (x) = 0$ und multiplizieren mit $x^{2}$ :

2 x^{3} - 6 x^{2} - 32 = 0

Diese Gleichung löst man durch Probieren. Mit $x = 4$ : $128 - 96 - 32 = 0$ . Also ist $x_{BO} = 4$ , wie im Bild.

Der kleinste Wert $k (4) = 15$ heißt langfristige Preisuntergrenze. Verkauft das Unternehmen ein Stück für 15 €, deckt es gerade noch alle Kosten, auch die Fixkosten. Auf lange Zeit muss der Preis mindestens so hoch sein.

Nun dasselbe nur mit den variablen Kosten.

Wir nehmen die Fixkosten 32 weg. Die Kurve rutscht um 32 nach unten. Übrig bleiben die variablen Kosten $K_{v} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x$ . Die Steigung der Geraden vom Nullpunkt sind jetzt die variablen Stückkosten $k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}$ . Bei $x = 1$ : $10 : 1 = 10$ . Der Punkt fährt wieder nach rechts, die Gerade fährt mit. Nun fährt er zurück nach links. Am flachsten ist die Gerade bei $x = 3$ , mit $k_{v} (3) = 18 : 3 = 6$ . Diese Stelle heißt Betriebsminimum $x_{BM}$ .

Rechnerisch: $K_{v} (x)$ durch $x$ teilen, dann ableiten.

k_{v} (x) k_{v}^{'} (x) x = x^{2} - 6 x + 15 = 2 x - 6 = 0 = 3

Der Wert $k_{v} (3) = 6$ heißt kurzfristige Preisuntergrenze. Die Fixkosten muss das Unternehmen sowieso zahlen, auch wenn es nichts herstellt. Für kurze Zeit reicht darum ein Preis, der die variablen Kosten deckt.

Jedes Minimum hat zwei Namen: einen für die Stelle $x$ und einen für den Wert.

Minimum von	Stelle $x$	Wert
$k_{v} (x)$	Betriebsminimum: 3	kurzfristige Preisuntergrenze: 6 €
$k (x)$	Betriebsoptimum: 4	langfristige Preisuntergrenze: 15 €

Erlös und Gewinn

Der Erlös (auch Umsatz) ist das Geld aus dem Verkauf: Preis mal Menge, $E (x) = p \cdot x$ .

Gibt es viele Anbieter, heißt der Markt Polypol. Dann ist der Preis $p$ fest. Wir nehmen wieder Beispiel 1, $K (x) = 2 x + 20$ , und den Preis $p = 7$ .

Der Erlös $E (x) = 7 x$ ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Jetzt legen wir die Kosten $K (x) = 2 x + 20$ dazu. Liegt $E$ über $K$ , bleibt Geld übrig: Gewinn. Der Gewinn ist der Abstand $G (x) = E (x) - K (x)$ . Liegt $E$ unter $K$ , ist $G (x)$ negativ: Verlust. Wo sich beide schneiden, ist $G (x) = 0$ . Diese Stelle heißt Gewinnschwelle (Break-even-Point). Ab hier macht das Unternehmen Gewinn.

Rechnerisch:

G (x) x = 7 x - (2 x + 20) = 5 x - 20 = 0 = 4

Den Gewinn pro Stück nennt man Stückgewinn: $g (x) = \frac{G ( x )}{x}$ . Bei 8 Stück ist $G (8) = 56 - 36 = 20$ , also $g (8) = 20 : 8 = 2, 5$ . Dasselbe erhält man als Preis minus Stückkosten. Die Stückkosten von Beispiel 1 sind $k (x) = \frac{2 x + 20}{x}$ , also $k (8) = 36 : 8 = 4, 5$ , und $7 - 4, 5 = 2, 5$ . Allgemein gilt $g (x) = p - k (x)$ .

Gibt es nur einen Anbieter, heißt der Markt Monopol. Dann hängt der Preis von der Menge ab. Das sagt die Preis-Absatz-Funktion, hier $p (x) = - 2 x + 40$ . Der Preis ist jetzt keine feste Zahl mehr, sondern eine Funktion.

Je mehr das Unternehmen verkaufen will, desto billiger muss es sein. Bei $x = 0$ steht der Höchstpreis $p (0) = 40$ . Mehr als 40 € zahlt niemand. Bei $x = 20$ ist der Preis 0. Das ist die Sättigungsmenge: Mehr als 20 Stück kauft niemand, auch nicht umsonst. Der Erlös ist wieder Preis mal Menge, also die Fläche eines Rechtecks. Bei $x = 5$ : $5 \cdot 30 = 150$ . Bei $x = 10$ : $10 \cdot 20 = 200$ . Bei $x = 15$ : $15 \cdot 10 = 150$ . Mehr Menge bringt jetzt weniger Erlös. Die Punkte liegen auf $E (x) = p (x) \cdot x = - 2 x^{2} + 40 x$ , einer nach unten geöffneten Parabel. Am Scheitel ist der Erlös am größten. Dort ist die Tangente waagrecht, ihre Steigung ist 0.

Die Ableitung $E^{'} (x)$ heißt Grenzerlös. Der größte Erlös liegt bei $E^{'} (x) = 0$ : $E^{'} (x) = - 4 x + 40 = 0$ , also $x = 10$ .

Beispiel 3: das Monopol mit neuen Kosten $K (x) = 4 x + 60$ .

Die Parabel $E$ und die Gerade $K$ schneiden sich zweimal. Bei $x \approx 1, 9$ liegt die Gewinnschwelle. Ab hier macht das Unternehmen Gewinn. Bei $x \approx 16, 1$ liegt die Gewinngrenze. Ab hier macht es wieder Verlust. Dazwischen liegt $E$ über $K$ . Alle Mengen von 1,9 bis 16,1 bilden die Gewinnzone.

Die beiden Stellen sind die Nullstellen von $G (x)$ :

G (x) = E (x) - K (x) = - 2 x^{2} + 36 x - 60

Wir setzen $G (x) = 0$ und teilen durch $- 2$ :

x^{2} - 18 x + 30 = 0

Mit der pq-Formel: $x = 9 \pm 51$ , also $x \approx 1, 9$ und $x \approx 16, 1$ .

Wo ist der Gewinn am größten?

Der Gewinn ist der Abstand zwischen $E (x) = - 2 x^{2} + 40 x$ und $K (x) = 4 x + 60$ . Bei $x = 3$ ist er 30. Der Abstand fährt nach rechts. Erst wächst er, dann wird er wieder kleiner. Nun fährt er zurück. Am größten ist er bei $x = 9$ , mit $198 - 96 = 102$ . Genau dort hat die Tangente an $E$ die Steigung 4. Die Gerade $K$ hat auch die Steigung 4. Beim größten Gewinn gilt also $E^{'} (x) = K^{'} (x)$ : Grenzerlös gleich Grenzkosten.

So rechnet man den maximalen Gewinn:

1. Aus $G (x) = - 2 x^{2} + 36 x - 60$ folgt $G^{'} (x) = - 4 x + 36 = 0$ , also $x = 9$ . Das ist die gewinnmaximale Menge $x_{ma x}$ . 2. $G^{''} (x) = - 4 < 0$ . Wie bei jedem Hochpunkt heißt das: Maximum. 3. $G (9) = - 162 + 324 - 60 = 102$ . Das ist der maximale Gewinn. 4. Im Monopol noch der Preis: $p (9) = - 18 + 40 = 22$ . Er heißt Cournot-Preis.

Der Punkt $(9 ∣ 22)$ auf $p (x)$ heißt Cournot-Punkt.

Checkliste für die Prüfung

Begriff	So findet man ihn
Fixkosten	$K (0)$
variable Kosten	$K (x) - K_{f}$
Grenzkosten	$K^{'} (x)$
Kostenkehre	$K^{''} (x) = 0$
Stückkosten	$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$
Betriebsoptimum	Minimum von $k (x)$
langfristige Preisuntergrenze	$k (x_{BO})$
Betriebsminimum	Minimum von $k_{v} (x)$
kurzfristige Preisuntergrenze	$k_{v} (x_{BM})$
Erlös	$E (x) = p \cdot x$
Polypol	viele Anbieter, $p$ fest
Monopol	ein Anbieter, Preis-Absatz-Funktion $p (x)$
Höchstpreis	$p (0)$
Sättigungsmenge	Nullstelle von $p (x)$
Grenzerlös	$E^{'} (x)$
Gewinn	$G (x) = E (x) - K (x)$
Gewinnschwelle, Gewinngrenze	Nullstellen von $G (x)$
Gewinnzone	Mengen dazwischen
gewinnmaximale Menge	$G^{'} (x) = 0$ , $G^{''} (x) < 0$
Cournot-Preis	$p (x_{ma x})$
Cournot-Punkt	$(x_{ma x} ∣ p (x_{ma x}))$
Stückgewinn	$g (x) = p - k (x)$