函数重建 函数重建（Rekonstruktion，也叫 Trassierung）要做的是：造出一个满足给定条件的函数。
函数的一些性质已经知道了，我们要从这些性质出发，把函数本身「重建」出来。
以前： 现在： f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 f ( x ) = ? ⟶ ⟵ T ( 3∣ − 4 ) T ( 3∣ − 4 )
动画 Rekonstruktion 德语版。用滑动代替滚动，公式一步一步出现，22 sheets。在新标签页打开。 例 1：极大值点和拐点 求以 H ( 2∣4 ) W ( 3∣2 )
设式： 次数告诉你们要找几个字母：
2 次： 3 次： 4 次： f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = a x 4 + a x 3 b x 3 + + a x 2 b x 2 c x 2 + + + b x c x d x + + + c d e
三次在这里的意思是：要求的是 a b c d x
极大值点需要 f ′ f ′′
f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d
f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c f ′′ ( x ) = 6 a x + 2 b
列方程： 每一个性质都变成一个方程：
I: II: III: IV: H ( 2∣4 ) H ( 2∣4 ) W ( 3∣2 ) W ( 3∣2 ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ f ( 2 ) = 4 f ′ ( 2 ) = 0 f ( 3 ) = 2 f ′′ ( 3 ) = 0 a ⋅ 2 3 + b ⋅ 2 2 + c ⋅ 2 + d = 4 3 a ⋅ 2 2 + 2 b ⋅ 2 + c = 0 a ⋅ 3 3 + b ⋅ 3 2 + c ⋅ 3 + d = 2 6 a ⋅ 3 + 2 b = 0 8 a + 4 b + 2 c + d = 4 12 a + 4 b + c = 0 27 a + 9 b + 3 c + d = 2 18 a + 2 b = 0
看前两行。H ( 2∣4 ) x = 2 y = 4 f ( x ) y H ( 2∣4 ) f ( 2 ) = 4 H m f ′ ( x ) m f ′ ( 2 ) = 0 H ( 2∣4 )
四个字母，四个方程。
求解： f ( x ) a b c d
III: − I: V: V: − II: VI: IV: − 2 ⋅ VI: 27 a 8 a 19 a 19 a 12 a 7 a 18 a 14 a 4 a a + 9 b + 4 b + 5 b + 5 b + 4 b + 1 b + 2 b + 2 b + 3 c + 2 c + 1 c + 1 c + 1 c + d + d = 2 = 4 = − 2 = − 2 = 0 = − 2 = 0 = − 4 = 4 = 1
看带 d + d a
有了 a = 1
IV: II: I: 18 ⋅ 1 + 2 b = 0 12 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 9 ) + c = 0 8 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 9 ) + 2 ⋅ 24 + d = 4 b = − 9 c = 24 d = − 16
结果： a = 1 b = − 9 c = 24 d = − 16
f ( x ) = 1 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 16 = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 16
验算： f ′ ( x ) = 3 x 2 − 18 x + 24 f ( 2 ) = 8 − 36 + 48 − 16 = 4 f ( 3 ) = 27 − 81 + 72 − 16 = 2 f ′′ ( x ) = 6 x − 18 f ′ ( 2 ) = 12 − 36 + 24 = 0 f ′′ ( 3 ) = 18 − 18 = 0
通用步骤 同样的过程再来一遍，这次是一般的写法，适用于这一类的每一道题：
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 由次数设式： f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d 求导数： f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) 把每个性质翻译成一个方程 解方程组： a , b , c , d 写出结果，做验算
记住：有几个字母就要有几个方程。极大值点、极小值点和拐点各给两个方程，鞍点给三个。
每个性质变成一个方程 题目里会出现的所有种类，都画在同一条曲线上：
一个方程 过点 P ( 2∣7 ) 零点在 x = 3 与 y 轴交于 3 斜率为 8 ，在 x = 3 处 水平切线在 x = 4 极值点在 x = 4 处 拐点位置在 x = 3 ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ f ( 2 ) = 7 f ( 3 ) = 0 f ( 0 ) = 3 f ′ ( 3 ) = 8 f ′ ( 4 ) = 0 f ′ ( 4 ) = 0 f ′′ ( 3 ) = 0
两个方程 极大值点 H ( 2∣4 ) 极小值点 T ( 2∣4 ) 拐点 W ( 3∣2 ) 与 x 轴相切于 x = 2 ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ f ( 2 ) = 4 , f ′ ( 2 ) = 0 f ( 2 ) = 4 , f ′ ( 2 ) = 0 f ( 3 ) = 2 , f ′′ ( 3 ) = 0 f ( 2 ) = 0 , f ′ ( 2 ) = 0
三个方程 鞍点 S ( 2∣5 ) ⟶
f ( 2 ) = 5 , f ′ ( 2 ) = 0 , f ′′ ( 2 ) = 0
极大值点和极小值点给出同样的两个方程。到底是哪一个，题目里已经写着了。f ′′ ( 2 ) < 0
你来试试 a) b) c) d) e) f) 水平切线在 x = 5 与 y 轴交于 7 拐点 W ( 4∣1 ) 斜率为 6 ，在 x = 2 处 极小值点 T ( 3∣ − 2 ) 鞍点 S ( 1∣4 ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶
例 2：关于原点中心对称 求关于原点中心对称、以 T ( 2∣ − 16 )
只留奇次： f ( x ) = f ( x ) = a x 3 a x 3 + b x 2 + + c x c x + d
两个字母，两个方程。
f ( x ) = a x 3 + c x f ′ ( x ) = 3 a x 2 + c
I: II: T ( 2∣ − 16 ) T ( 2∣ − 16 ) ⟶ ⟶ f ( 2 ) = − 16 f ′ ( 2 ) = 0 a ⋅ 2 3 + c ⋅ 2 = − 16 3 a ⋅ 2 2 + c = 0 8 a + 2 c = − 16 12 a + c = 0
只有两个方程的时候，代入比相减更短：
II: I: II: 12 a + c = 0 8 a + 2 ⋅ ( − 12 a ) = − 16 c = − 12 ⋅ 1 c = − 12 a − 16 a = − 16 a = 1 c = − 12
这就是代入消元法，走通一个方程组的第二条路。
a = 1 c = − 12
f ( x ) = 1 x 3 − 12 x = x 3 − 12 x
镜射两次得到的点 ( − 3∣9 ) f ( − 3 ) = − 27 + 36 = 9 f ( x ) = − f ( − x ) f ( − x )
例 3：关于 y 轴轴对称 求关于 y 轴轴对称、以 H ( 2∣25 ) x = 3
只留偶次： f ( x ) = f ( x ) = a x 4 a x 4 + b x 3 + + c x 2 c x 2 + d x + + e e
e e = e ⋅ x 0 0
三个字母，三个方程。
f ( x ) = a x 4 + c x 2 + e
f ′ ( x ) = 4 a x 3 + 2 c x
I: II: III: H ( 2∣25 ) H ( 2∣25 ) 零点 x = 3 ⟶ ⟶ ⟶ f ( 2 ) = 25 f ′ ( 2 ) = 0 f ( 3 ) = 0 a ⋅ 2 4 + c ⋅ 2 2 + e = 25 4 a ⋅ 2 3 + 2 c ⋅ 2 = 0 a ⋅ 3 4 + c ⋅ 3 2 + e = 0 16 a + 4 c + e = 25 32 a + 4 c = 0 81 a + 9 c + e = 0
II: III: I: 32 a + 4 c = 0 81 a + 9 ⋅ ( − 8 a ) + e = 0 16 a + 4 ⋅ ( − 8 a ) + ( − 9 a ) = 25 c = − 8 a e = − 9 a − 25 a = 25 a = − 1
a = − 1 c = 8 e = 9
f ( x ) = − 1 x 4 + 8 x 2 + 9 = − x 4 + 8 x 2 + 9
轴对称的意思是镜射一次，关于 y 轴：f ( − x ) = f ( x )
例 4：鞍点 求以 S ( 2∣3 ) − 5
f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d
f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c f ′′ ( x ) = 6 a x + 2 b
I: II: III: IV: 与 y 轴交于 − 5 S ( 2∣3 ) S ( 2∣3 ) S ( 2∣3 ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ f ( 0 ) = − 5 f ( 2 ) = 3 f ′ ( 2 ) = 0 f ′′ ( 2 ) = 0 a ⋅ 0 3 + b ⋅ 0 2 + c ⋅ 0 + d = − 5 a ⋅ 2 3 + b ⋅ 2 2 + c ⋅ 2 + d = 3 3 a ⋅ 2 2 + 2 b ⋅ 2 + c = 0 6 a ⋅ 2 + 2 b = 0 d = − 5 8 a + 4 b + 2 c + d = 3 12 a + 4 b + c = 0 12 a + 2 b = 0
四个字母，四个方程。S ( 2∣3 )
IV: III: II: 12 a + 2 b = 0 12 a + 4 ⋅ ( − 6 a ) + c = 0 8 a + 4 ⋅ ( − 6 a ) + 2 ⋅ 12 a − 5 = 3 b = − 6 a c = 12 a 8 a = 8 a = 1
a = 1 b = − 6 c = 12 d = − 5
f ( x ) = 1 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 5 = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 5
练习 第 1 题：求关于 y 轴轴对称、过原点、并且以 T ( 2∣ − 16 ) a = 1 c = − 8 e = 0 f ( x ) = x 4 − 8 x 2
第 2 题：求以 H ( 0∣4 ) T ( 2∣0 ) a = 1 b = − 3 c = 0 d = 4 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4
第 3 题：求以 S ( 1∣3 ) P ( 3∣11 ) a = 1 b = − 3 c = 3 d = 2 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 2
你来试试的答案 a) b) c) d) e) f) 水平切线在 x = 5 与 y 轴交于 7 拐点 W ( 4∣1 ) 斜率为 6 ，在 x = 2 处 极小值点 T ( 3∣ − 2 ) 鞍点 S ( 1∣4 ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ f ′ ( 5 ) = 0 f ( 0 ) = 7 f ( 4 ) = 1 , f ′′ ( 4 ) = 0 f ′ ( 2 ) = 6 f ( 3 ) = − 2 , f ′ ( 3 ) = 0 f ( 1 ) = 4 , f ′ ( 1 ) = 0 , f ′′ ( 1 ) = 0
原理：为什么条件的个数正好对得上 只要给 x
f ( 2 ) = a ⋅ 2 3 + b ⋅ 2 2 + c ⋅ 2 + d = 8 a + 4 b + 2 c + d
每一个条件正好给出一个这样的方程，而每一个字母都需要一个方程。
3 次 4 次 3 次，中心对称 4 次，轴对称 a , b , c , d a , b , c , d , e a , c a , c , e ⟶ 4 个条件 ⟶ 5 个条件 ⟶ 2 个条件 ⟶ 3 个条件
对称性只是划掉字母，它不提供方程。如果最后少一个方程，那多半是少了某个点的 y
