需求函数（价格函数）与市场均衡

价格函数告诉你：每一个数量，对应买家愿意付的价格。一家企业卖苹果汁，它的价格函数是

p_{N} (x) = 20 - 2 x

其中 $x$ 是数量，单位是数量单位（ME）； $p$ 是价格，单位是每 ME 多少货币单位（GE）。例如：

p_{N} (6) = 20 - 2 \cdot 6 = 8

6 ME 以每 ME 8 GE 的价格卖出。

$p_{N} (x)$ 就是 $y$ ：图像在位置 $x$ 上方的高度。数量在横轴，价格在纵轴。

读出价格

数量越大，价格必须越低才卖得出去。这样一条下降的价格函数叫需求函数，也叫价格-销售函数。

更多例子：

	价格函数	求	计算
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$p_{N} (3)$	$20 - 2 \cdot 3 = 14$
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x$	$p_{N} (2)$	$12 - 3 \cdot 2 = 6$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$	$p_{N} (8)$	$30 - 0, 5 \cdot 8 = 26$
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x$	$p_{N} (5)$	$18 - 1 \cdot 5 = 13$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 4 x$	$p_{N} (4, 5)$	$24 - 4 \cdot 4, 5 = 6$

记住：把数量代进去，出来的就是价格。

你来试试

p_{N} (x) = 16 - 2 x

，求

p_{N} (3)

。

答案

16 - 2 \cdot 3 = 10

最高价和饱和量

曲线有两个端点。上面是数量为 $0$ 时的价格，下面是价格为 $0$ 时的数量。

p_{N} (0) = 20 - 2 \cdot 0 = 20

20 - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{2} = 10

上端叫最高价（Höchstpreis，也叫 Prohibitivpreis）：到了 20 GE 就没有人买了。下端叫饱和量（Sättigungsmenge）：超过 10 ME，市场白送也不要。

更多例子：

	价格函数	最高价 $p_{N} (0)$	饱和量（ $p_{N} (x) = 0$ ）
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$20$	$x = \frac{20}{2} = 10$
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x$	$12$	$x = \frac{12}{3} = 4$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$	$30$	$x = \frac{30}{0 , 5} = 60$
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x$	$18$	$x = \frac{18}{1} = 18$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 4 x$	$24$	$x = \frac{24}{4} = 6$

记住：最高价就是不带 $x$ 的那个数。饱和量就是这个数除以 $x$ 前面的数。

你来试试

p_{N} (x) = 40 - 5 x

。

答案

最高价

40

GE，饱和量

x = \frac{40}{5} = 8

价格函数的斜率

导数 $p_{N}^{'} (x)$ 告诉你：多卖 1 ME，价格变化多少 GE。

p_{N} (x) = 20 - 2 x^{1} \to p_{N}^{'} (x) = - 2 \cdot 1 x^{0} = - 2

每多卖 1 ME，价格就低 2 GE。负号表示下降，而且 $- 2$ 在每一处都一样：下面那条线是水平的。

更多例子：

	价格函数	导数	含义
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x^{1}$	$- 2 \cdot 1 x^{0} = - 2$	每 ME 少 2 GE
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x^{1}$	$- 3 \cdot 1 x^{0} = - 3$	每 ME 少 3 GE
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x^{1}$	$- 0, 5 \cdot 1 x^{0} = - 0, 5$	每 ME 少 0,50 GE
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x^{1}$	$- 1 \cdot 1 x^{0} = - 1$	每 ME 少 1 GE
e)	$p_{A} (x) = 2 + 1 x^{1}$	$1 \cdot 1 x^{0} = 1$	每 ME 多 1 GE

记住：价格函数的导数就是每多 1 ME 的价格变化。负号是降，正号是升。

你来试试

p_{N} (x) = 25 - 4 x

，求

p_{N}^{'} (x)

及其含义。

答案

- 4 \cdot 1 x^{0} = - 4

，每 ME 少 4 GE

列出价格函数

多数题目不给公式，只给两次测量。要从它们得到价格函数 $p_{N} (x) = m x + b$ ，先求 $m$ 。

2 ME 时顾客付 16 GE，5 ME 时只付 10 GE。

推导：

m = \frac{10 - 16}{5 - 2} = \frac{- 6}{3} = - 2

$b$ 从两个点中的任意一个得到。代入 $P_{1} (2 ∣ 16)$ ：

16 = - 2 \cdot 2 + b \Rightarrow 16 = - 4 + b \Rightarrow b = 20

p_{N} (x) = - 2 x + 20

验算，用另一个点：

p_{N} (5) = - 2 \cdot 5 + 20 = 10 ✓

步骤：

1. 由两点求斜率： $m = \frac{p _{2} - p _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 2. 把其中一点代入 $p_{N} (x) = m x + b$ ，解出 $b$ 3. 写出价格函数： $p_{N} (x) = m x + b$ 4. 用另一个点验算

更多例子：

	两点	$m$	$b$	价格函数
a)	$P_{1} (2 ∣ 16)$ ， $P_{2} (5 ∣ 10)$	$\frac{10 - 16}{5 - 2} = - 2$	$16 = - 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 20$	$p_{N} (x) = - 2 x + 20$
b)	$P_{1} (2 ∣ 25)$ ， $P_{2} (6 ∣ 15)$	$\frac{15 - 25}{6 - 2} = - 2, 5$	$25 = - 2, 5 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 30$	$p_{N} (x) = - 2, 5 x + 30$
c)	$P_{1} (5 ∣ 20)$ ， $P_{2} (15 ∣ 10)$	$\frac{10 - 20}{15 - 5} = - 1$	$20 = - 1 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 25$	$p_{N} (x) = - 1 x + 25$

你来试试

P_{1} (1 ∣ 18)

，

P_{2} (4 ∣ 12)

。

答案

m = \frac{12 - 18}{4 - 1} = - 2

，

18 = - 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 20

，所以

p_{N} (x) = - 2 x + 20

经济上有意义的定义域

数量不能是负的，价格也不能是负的。整条直线上只剩两端之间的一段。

对 $p_{N} (x) = 20 - 2 x$ ：

0 \leq x \leq 10

记住：经济上有意义的定义域从 $0$ 到饱和量。

你来试试

p_{N} (x) = 12 - 3 x

。

答案

0 \leq x \leq 4

供给函数

供给函数告诉你：企业愿意以什么价格提供某个数量。它是上升的：数量越大，企业要的钱越多。例如：

p_{A} (x) = 2 + x

p_{A} (6) = 2 + 6 = 8

下端叫最低供给价（Mindestangebotspreis）：低于 2 GE 没有人供货。

更多例子：

	供给函数	最低供给价 $p_{A} (0)$	导数
a)	$p_{A} (x) = 2 + 1 x^{1}$	$2$	$1 \cdot 1 x^{0} = 1$
b)	$p_{A} (x) = 4 + 2 x^{1}$	$4$	$2 \cdot 1 x^{0} = 2$
c)	$p_{A} (x) = 6 + 3 x^{1}$	$6$	$3 \cdot 1 x^{0} = 3$
d)	$p_{A} (x) = 3 + 0, 5 x^{1}$	$3$	$0, 5 \cdot 1 x^{0} = 0, 5$

记住：供给函数上升，它的导数是正的。最低供给价就是不带 $x$ 的那个数。

你来试试

p_{A} (x) = 5 + 2 x

，求最低供给价和

p_{A} (4)

。

答案

5

GE 和

5 + 2 \cdot 4 = 13

市场均衡

买卖成交的条件是：在同一个数量上，买方和卖方说的是同一个价格。同一个价格，就是两个函数的高度相同：

p_{N} (x) = p_{A} (x)

20 - 2 x = 2 + x

20 = 2 + 3 x

18 = 3 x

x = 6

价格代入两个方程中的任意一个都行。两个都可以，因为在这个数量上它们的价格相同：

p_{N} (6) = 20 - 2 \cdot 6 = 8

验算，代入另一个：

p_{A} (6) = 2 + 6 = 8 ✓

均衡量 $x = 6$ ME，均衡价 $p = 8$ GE，即 $S (6 ∣ 8)$ 。

步骤：

1. 令两个价格函数相等： $p_{N} (x) = p_{A} (x)$ 2. 解方程求 $x$ ，这就是均衡量 3. 把这个 $x$ 代入其中一个函数，得到均衡价 4. 用另一个函数验算 5. 用点的形式作答： $S (x ∣ p)$

更多例子：

	需求	供给	令其相等	数量	价格	答案
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$p_{A} (x) = 2 + x$	$20 - 2 x = 2 + x$	$x = \frac{18}{3} = 6$	$2 + 6 = 8$	$S (6 ∣ 8)$
b)	$p_{N} (x) = 12 - x$	$p_{A} (x) = 4 + x$	$12 - x = 4 + x$	$x = \frac{8}{2} = 4$	$4 + 4 = 8$	$S (4 ∣ 8)$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 3 x$	$p_{A} (x) = 6 + 3 x$	$30 - 3 x = 6 + 3 x$	$x = \frac{24}{6} = 4$	$6 + 3 \cdot 4 = 18$	$S (4 ∣ 18)$
d)	$p_{N} (x) = 15 - 0, 5 x$	$p_{A} (x) = 3 + x$	$15 - 0, 5 x = 3 + x$	$x = \frac{12}{1 , 5} = 8$	$3 + 8 = 11$	$S (8 ∣ 11)$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 2 x$	$p_{A} (x) = 4 + 2 x$	$24 - 2 x = 4 + 2 x$	$x = \frac{20}{4} = 5$	$4 + 2 \cdot 5 = 14$	$S (5 ∣ 14)$

记住：令两式相等，解出 $x$ ，把 $x$ 代回去，答案写成 $S (x ∣ p)$ 。

你来试试

p_{N} (x) = 18 - 2 x

和

p_{A} (x) = 6 + x

。

答案

18 - 2 x = 6 + x

，

x = \frac{12}{3} = 4

，

p = 6 + 4 = 10

，即

S (4 ∣ 10)

高于和低于均衡价

	价格	需求量 $x_{N}$	供给量 $x_{A}$	差	名称
a)	$12$ GE	$\frac{20 - 12}{2} = 4$ ME	$12 - 2 = 10$ ME	多 $6$ ME	供过于求（Überangebot）
b)	$8$ GE	$\frac{20 - 8}{2} = 6$ ME	$8 - 2 = 6$ ME	$0$ ME	市场均衡（Marktgleichgewicht）
c)	$6$ GE	$\frac{20 - 6}{2} = 7$ ME	$6 - 2 = 4$ ME	少 $3$ ME	供不应求（Übernachfrage）

记住：价格高于均衡价，货卖不掉；低于均衡价，货不够。只有在交点上两边才对得上。

术语一览

术语	记号	怎么算	在图上
数量	$x$ ，单位 ME	题目给出	横轴
价格	$p$ ，单位 GE	$p = p (x)$	纵轴
需求函数（价格-销售函数）	$p_{N} (x)$	下降的直线	蓝色曲线
供给函数	$p_{A} (x)$	上升的直线	橙色曲线
最高价（Prohibitivpreis）	$p_{N} (0)$	不带 $x$ 的那个数	蓝线与价格轴的交点
饱和量	满足 $p_{N} (x) = 0$ 的 $x$	不带 $x$ 的数除以 $x$ 前的数	蓝线与数量轴的交点
最低供给价	$p_{A} (0)$	不带 $x$ 的那个数	橙线与价格轴的交点
每 ME 的价格变化	$p^{'} (x)$	求导	曲线上的斜率三角形
均衡量	$x$	由 $p_{N} (x) = p_{A} (x)$ 求出	交点，横向读
均衡价	$p$	把 $x$ 代回去	交点，纵向读
经济上有意义的定义域	$0 \leq x \leq x_{s a t}$	从 $0$ 到饱和量	曲线的蓝色一段

练习

求均衡量和均衡价。

a) $p_{N} (x) = 12 - x$ 和 $p_{A} (x) = 4 + x$

b) $p_{N} (x) = 30 - 3 x$ 和 $p_{A} (x) = 6 + 3 x$

c) $p_{N} (x) = 15 - 0, 5 x$ 和 $p_{A} (x) = 3 + x$

d) $p_{N} (x) = 24 - 2 x$ 和 $p_{A} (x) = 4 + 2 x$

e) $p_{N} (x) = 40 - 4 x$ 和 $p_{A} (x) = 10 + x$

f) $p_{N} (x) = 18 - 1, 5 x$ 和 $p_{A} (x) = 3 + 1, 5 x$

详细解答

a) $12 - x = 4 + x$ ； $12 = 4 + 2 x$ ； $8 = 2 x$ ； $x = 4$ ； $p_{A} (4) = 4 + 4 = 8$ ；验算 $p_{N} (4) = 12 - 4 = 8$ ； $S (4 ∣ 8)$

b) $30 - 3 x = 6 + 3 x$ ； $30 = 6 + 6 x$ ； $24 = 6 x$ ； $x = 4$ ； $p_{A} (4) = 6 + 3 \cdot 4 = 18$ ；验算 $p_{N} (4) = 30 - 3 \cdot 4 = 18$ ； $S (4 ∣ 18)$

c) $15 - 0, 5 x = 3 + x$ ； $15 = 3 + 1, 5 x$ ； $12 = 1, 5 x$ ； $x = 8$ ； $p_{A} (8) = 3 + 8 = 11$ ；验算 $p_{N} (8) = 15 - 0, 5 \cdot 8 = 11$ ； $S (8 ∣ 11)$

d) $24 - 2 x = 4 + 2 x$ ； $24 = 4 + 4 x$ ； $20 = 4 x$ ； $x = 5$ ； $p_{A} (5) = 4 + 2 \cdot 5 = 14$ ；验算 $p_{N} (5) = 24 - 2 \cdot 5 = 14$ ； $S (5 ∣ 14)$

e) $40 - 4 x = 10 + x$ ； $40 = 10 + 5 x$ ； $30 = 5 x$ ； $x = 6$ ； $p_{A} (6) = 10 + 6 = 16$ ；验算 $p_{N} (6) = 40 - 4 \cdot 6 = 16$ ； $S (6 ∣ 16)$

f) $18 - 1, 5 x = 3 + 1, 5 x$ ； $18 = 3 + 3 x$ ； $15 = 3 x$ ； $x = 5$ ； $p_{A} (5) = 3 + 1, 5 \cdot 5 = 10, 5$ ；验算 $p_{N} (5) = 18 - 1, 5 \cdot 5 = 10, 5$ ； $S (5 ∣ 10, 5)$