练习

$a=4$, also $\frac{1}{4}{e}^{4x}+c$

$(3x+1{)}^{-2}$, $a=3$, außen $\frac{1}{-1}(3x+1{)}^{-1}$, also $-\frac{1}{3}(3x+1{)}^{-1}+c$

$-2x+100=40\Rightarrow -2x=-60\Rightarrow x=30$, also 30 ME

Höchstpreis $p_N(0)=80$ GE/ME; $-5x+80=0\Rightarrow x=16$, Sättigungsmenge 16 ME, $D_{\ddot{o}k}=[0;16]$; $-5x+80=30\Rightarrow x=10$, also 10 ME

Höchstpreis 40 GE/ME; $x^2+6x-40=0\Rightarrow x=-3\pm 7$, also $4$ oder $-10$: Sättigungsmenge 4 ME, $D_{\ddot{o}k}=[0;4]$; $x^2+6x-16=0\Rightarrow x=-3\pm 5$, also $2$ oder $-8$: 2 ME

Höchstpreis 80 GE/ME; $x^2-80x+1600=0\Rightarrow x=40$, Sättigungsmenge 40 ME, $D_{\ddot{o}k}=[0;40]$; $p_N^{\prime }(x)=0,1x-4$, $p_N^{\prime }(10)=-3$: bei 10 ME muss der Preis für eine ME mehr um etwa 3 GE/ME sinken

$(30\mid 24)$, $(45\mid 18)$; $m=\frac{18-24}{45-30}=-0,4$; $24=-12+n\Rightarrow n=36$; $p_N(x)=-0,4x+36$

$(20\mid 45)$, $(50\mid 30)$; $m=\frac{-15}{30}=-0,5$; $45=-10+n\Rightarrow n=55$; $p_N(x)=-0,5x+55$; Höchstpreis 55 GE/ME

$(40\mid 12)$, $(10\mid 36)$; $m=\frac{24}{-30}=-0,8$; $12=-32+n\Rightarrow n=44$; $p_N(x)=-0,8x+44$; $-0,8x+44=0\Rightarrow x=55$: Sättigungsmenge 55 ME

$c=40$; $400a+20b+40=0$; $40a+b=0\Rightarrow b=-40a$; $400a-800a+40=0\Rightarrow a=0,1$, $b=-4$; $p_N(x)=0,1x^2-4x+40$

$-3x+40=2x+10$ ergibt $x=6$ und den Preis $p_N(6)=22$ GE/ME; $E(x)=22x$, $E^{\prime }(x)=22$, Höchsterlös $E(300)=6600$ GE

$E(x)=-0,1x^2+8x$, $x_E=40$ ME, $p_N(40)=4$ GE/ME, Höchsterlös $E(40)=160$ GE

$p_N(x)=-0,1x+12$, Höchstpreis 12 GE/ME, Sättigungsmenge 120 ME, $x_E=60$ ME, $p_N(60)=6$ GE/ME, Höchsterlös $E(60)=360$ GE

$E^{\prime }(x)=-8x+120=0$ bei $x=15$, hinter der Grenze; $x_E=10$, Höchsterlös $E(10)=80\cdot 10=800$ GE bei 80 GE/ME

$x_E=15$ liegt vor der Grenze; $H(15|900)$, 15 ME zu 60 GE/ME

$E(x)=-5x^2+100x$; $E^{\prime }(x)=-10x+100=0$, $x_E=10$; $E^{\prime \prime }(10)=-10<0$; $p_N(10)=50$; $E(10)=500$. Antwort: $H(10|500)$, 10 ME zu 50 GE/ME bringen 500 GE.

$E^{\prime }(5)=40$ GE/ME, $p_N(5)=60$ GE/ME, $E(5)=300$ GE; mehr verkaufen

$G(x)=-x^2+10x-9$, Nullstellen 1 und 9, $G(0)=-9$, $G(5)=16$, Gewinnzone $1<x<9$

$E(x)=(30-3x)\cdot x=30x-3x^2$; $G(x)=30x-3x^2-(6x+36)=-3x^2+24x-36$; $-3x^2+24x-36=0|:(-3)$ ergibt $x^2-8x+12=0$; $x_{1,2}=4\pm \sqrt{16-12}=4\pm 2$, also $x_1=2$, $x_2=6$; Vorzeichen: $G(0)=-36<0$, $G(4)=12>0$, $G(7)=-15<0$; Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 6 ME, Gewinnzone $2<x<6$

$G(x)=-x^3+6x^2-10$; $G^{\prime }(x)=-3x(x-4)=0$ bei 0 und 4; $G^{\prime \prime }(4)=-12<0$, $H(4|22)$; Ränder $G(0)=-10$, $G(5)=15$; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn 22 GE

$G(x)=-2x^2+24x-40$, $0\le x\le 15$; $G^{\prime }(x)=-4x+24=0$, $x=6$; $G^{\prime \prime }(x)=-4<0$; $G(6)=32$; Ränder $G(0)=-40$, $G(15)=-130$; 6 ME, maximaler Gewinn 32 GE

$E^{\prime }(x)=18-4x$, $K^{\prime }(x)=2$, $18-4x=2$ ergibt $x=4$; $G(x)=-2x^2+16x-12$, $G^{\prime \prime }(x)=-4<0$; Ränder $G(0)=-12$, $G(9)=-30$; 4 ME, maximaler Gewinn $G(4)=20$ GE

$G(x)=-2x^2+12x-10$, $G^{\prime }(x)=-4x+12=0$ ergibt $x_C=3$, $G^{\prime \prime }(x)=-4<0$; Ränder $G(0)=-10$, $G(8)=-42$; $p_C=p_N(3)=10$, $C(3|10)$, maximaler Gewinn $G(3)=8$ GE

$G(x)=-2x^2+20x-32$, $0\le x\le 12$; $x=5$; $G^{\prime \prime }(x)=-4<0$; $G(5)=18$; Ränder $G(0)=-32$, $G(12)=-80$; $p_C=14$; $C(5|14)$, maximaler Gewinn 18 GE

MKK $(6|3)$, $K_{\min }=24$ GE

MKK $(10|5)$, $K_{\min }=40$ GE) b) $r_2=\frac{250}{r_1^2}$, $q_1=8$, $q_2=2$ (Lösung: MKK $(5|10)$, $K_{\min }=60$ GE) c) $r_2=\frac{8}{r_1-3}+2$, $r_1>3$, $q_1=4$, $q_2=2$ (Lösung: MKK $(5|6)$, $K_{\min }=32$ GE

$K(r_1)=2r_1+\frac{200}{r_1}$; $K^{\prime }(r_1)=2-\frac{200}{r_1^2}=0$, also $r_1^2=100$, $r_1=10$; $K^{\prime \prime }(10)=\frac{400}{1000}=0,4>0$; $r_2=\frac{50}{10}=5$; $K_{\min }=20+20=40$ GE) b) Rechenweg zu Übung 1b (Lösung: $K(r_1)=8r_1+\frac{500}{r_1^2}$; $K^{\prime }(r_1)=8-\frac{1000}{r_1^3}=0$, also $r_1^3=125$, $r_1=5$; $K^{\prime \prime }(5)=\frac{3000}{625}=4,8>0$; $r_2=\frac{250}{25}=10$; $K_{\min }=40+20=60$ GE) c) Rechenweg zu Übung 1c (Lösung: $K(r_1)=4r_1+\frac{16}{r_1-3}+4$; $K^{\prime }(r_1)=4-\frac{16}{(r_1-3{)}^2}=0$, also $(r_1-3{)}^2=4$, $r_1=5$; $r_1=1$ entfällt, denn $r_1>3$; $K^{\prime \prime }(5)=\frac{32}{8}=4>0$; $r_2=\frac{8}{2}+2=6$; $K_{\min }=20+12=32$ GE

$r_2=\frac{30}{3}-\frac{6}{3}\cdot r_1=10-2r_1$, Achsenabschnitte $(0|10)$ und $(5|0)$

MKK $(8|4)$, $K_{\min }=32$ GE, $r_2=8-0,5r_1$

MKK $(4|3)$, $K_{\min }=24$ GE, $r_2=6-0,75r_1$) b) $r_2=\frac{2}{r_1-1}+3$, $r_1>1$, $q_1=6$, $q_2=3$ (Lösung: MKK $(2|5)$, $K_{\min }=27$ GE, $r_2=9-2r_1$) c) Isoquante $r_2=\frac{36}{r_1}$: Bei welchem Preisverhältnis ist $(9|4)$ die MKK? (Lösung: $q_1:q_2=4:9$) d) Isoquante $r_2=\frac{12}{r_1}$, $q_1=3$. Faktor 2 wird teurer: $q_2=9$ statt 4. Neue MKK? Was kostet das alte Rezept $(4|3)$ jetzt? (Lösung: neue MKK $(6|2)$, $K_{\min }=36$ GE; das alte Rezept kostet 39 GE

$-\frac{12}{r_1^2}=-\frac{3}{4}$, also $r_1^2=16$, $r_1=4$; $r_2=3$; $K_{\min }=12+12=24$; $r_2=\frac{24}{4}-\frac{3}{4}{r}_1=6-0,75r_1$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{24}{r_1^3}>0$) b) Rechenweg zu Übung 2b (Lösung: $-\frac{2}{(r_1-1{)}^2}=-\frac{6}{3}$, also $(r_1-1{)}^2=1$, $r_1=2$; $r_1=0$ entfällt, denn $r_1>1$; $r_2=\frac{2}{1}+3=5$; $K_{\min }=12+15=27$; $r_2=9-2r_1$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{4}{(r_1-1{)}^3}>0$) c) Rechenweg zu Übung 2c (Lösung: $r_2^{\prime }(9)=-\frac{36}{81}=-\frac{4}{9}=-\frac{q_1}{q_2}$, also $\frac{q_1}{q_2}=\frac{4}{9}$, zum Beispiel $q_1=4$ und $q_2=9$) d) Rechenweg zu Übung 2d (Lösung: $-\frac{12}{r_1^2}=-\frac{3}{9}$, also $r_1^2=36$, $r_1=6$; $r_2=2$; $K_{\min }=18+18=36$; $r_2=4-\frac{1}{3}{r}_1$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{24}{r_1^3}>0$; altes Rezept: $3\cdot 4+9\cdot 3=39$ GE

MKK $(18|4,5)$, $K_v(90)=54+54=108$ GE

$K(r_1)=2r_1+\frac{72}{r_1}$; $K^{\prime }(r_1)=2-\frac{72}{r_1^2}=0$, also $r_1^2=36$, $r_1=6$; $K^{\prime \prime }(6)=\frac{144}{216}>0$; $r_2=3$; $K_{\min }=12+12=24$; MKK $(6|3)$, 24 GE

$K(r_1)=2r_1+\frac{200}{r_1}$; $K^{\prime }=2-\frac{200}{r_1^2}=0$, also $r_1^2=100$, $r_1=10$; $K^{\prime \prime }(10)=\frac{400}{1000}=0,4>0$; $r_2=5$; $K_{\min }=20+20=40$; MKK $(10|5)$, 40 GE) b) $r_2=\frac{250}{r_1^2}$, $q_1=8$, $q_2=2$ (Lösung: $K(r_1)=8r_1+\frac{500}{r_1^2}$; $K^{\prime }=8-\frac{1000}{r_1^3}=0$, also $r_1^3=125$, $r_1=5$; $K^{\prime \prime }(5)=\frac{3000}{625}=4,8>0$; $r_2=\frac{250}{25}=10$; $K_{\min }=40+20=60$; MKK $(5|10)$, 60 GE) c) $r_2=\frac{8}{r_1-3}+2$, $r_1>3$, $q_1=4$, $q_2=2$ (Lösung: $K(r_1)=4r_1+\frac{16}{r_1-3}+4$; $K^{\prime }=4-\frac{16}{(r_1-3{)}^2}=0$, also $(r_1-3{)}^2=4$, $r_1=5$; $r_1=1$ entfällt, denn $r_1>3$; $K^{\prime \prime }(5)=\frac{32}{8}=4>0$; $r_2=\frac{8}{2}+2=6$; $K_{\min }=20+12=32$; MKK $(5|6)$, 32 GE

$r_2=\frac{30}{3}-\frac{6}{3}\cdot r_1=10-2r_1$; Achsenabschnitte $(0|10)$ und $(5|0)$

$-\frac{32}{r_1^2}=-0,5$, also $r_1^2=64$, $r_1=8$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{64}{r_1^3}>0$; $r_2=4$; $K_{\min }=16+16=32$; $r_2=8-0,5r_1$; MKK $(8|4)$, 32 GE

$-\frac{12}{r_1^2}=-\frac{3}{4}$, also $r_1^2=16$, $r_1=4$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{24}{r_1^3}>0$; $r_2=3$; $K_{\min }=12+12=24$; $r_2=6-0,75r_1$; MKK $(4|3)$, 24 GE) b) $r_2=\frac{2}{r_1-1}+3$, $r_1>1$, $q_1=6$, $q_2=3$ (Lösung: $-\frac{2}{(r_1-1{)}^2}=-2$, also $(r_1-1{)}^2=1$, $r_1=2$; $r_1=0$ entfällt, denn $r_1>1$; $r_2^{\prime \prime }=\frac{4}{(r_1-1{)}^3}>0$; $r_2=5$; $K_{\min }=12+15=27$; $r_2=9-2r_1$; MKK $(2|5)$, 27 GE) c) $r_2=\frac{36}{r_1}$. Bei welchem Preisverhältnis ist $(9|4)$ die MKK? (Lösung: $r_2^{\prime }(9)=-\frac{36}{81}=-\frac{4}{9}$, also $q_1:q_2=4:9$, zum Beispiel $q_1=4$, $q_2=9$) d) $r_2=\frac{12}{r_1}$, $q_1=3$. Faktor 2 wird teurer: $q_2=9$ statt 4. Bestimmt die neue MKK und die Kosten des alten Rezepts $(4|3)$ zu den neuen Preisen. (Lösung: $-\frac{12}{r_1^2}=-\frac{3}{9}$, also $r_1^2=36$, $r_1=6$; $r_2=2$; $K_{\min }=18+18=36$; $r_2=4-\frac{1}{3}{r}_1$; altes Rezept: $3\cdot 4+9\cdot 3=39$ GE; neue MKK $(6|2)$, 36 GE

$-\frac{144}{r_1^2}=-0,25$, also $r_1^2=576$, $r_1=24$; $r_2=6$; $K_v(120)=72+72=144$ GE; MKK $(24|6)$; $1,2\cdot 120=144$, ja

a) $G(x)=9x-(5x+36)=4x-36$ b) $4x-36=0$, also $x=9$: Gewinnschwelle 9 ME. Probe: $E(9)=K(9)=81$

a) $G(x)=20x-(12x+100)=8x-100$ b) $8x-100=0$, also $x=12,5$: Gewinnschwelle 12,5 ME. Probe: $E(12,5)=K(12,5)=250$

C(A) = A + 144 · A⁻¹, C'(A) = 1 − 144/A² = 0, A = 12; C''(A) = 288/A³ > 0; K = 3, minimale Kosten 24 €

a) √(A · K) = 6, also A · K = 36 und K = 36/A. b) C(A) = 9A + 36 · A⁻¹, C'(A) = 9 − 36/A² = 0, A = 2; C''(A) = 72/A³ > 0; K = 18, minimale Kosten 36 €

C(A) = A + 4 · A⁻², C'(A) = 1 − 8/A³ = 0, A = 2; C''(A) = 24/A⁴ > 0; K = 1, minimale Kosten 3 €

a) Ja, die 5 ist drin. b) Die verschiedenen Elemente sind 4, 8 und 1, also 3.

Nein, die 5 liegt nicht in der zweiten Menge.

a) ℤ b) ℚ, denn 0,25 = 1/4 c) ℝ d) ℕ, denn 10/5 = 2

a) {2; 3; 4} = S b) {1; 2; 3; 4; 7} = T c) ∅, denn kein Element von S liegt außerhalb von T.

a) 2, 7 und 13 sind schon Primzahlen, nur die 8 ist neu: ℙ ∪ {8}. b) Neu zu den Primzahlen kommen nur 6 und 8: ℙ ∪ {6; 8}.

a) −3 < x ≤ 4 b) {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; ]−3; 4] = (−3; 4]

a) $L=\{-5;5\}$ b) $L=\{\}$

a) ja b) nein, 5 fehlt

a) $-2$, also $\mathbb{Z}$ b) $\frac{1}{2}$, also $\mathbb{Q}$ c) $3$, also $\mathbb{N}$

a) $\{-1;0;1\}$ b) $\{0;1;2\}$

a) $[3;\infty [$ b) $]-\infty ;0[={\mathbb{R}}^{-}$ c) $]-1;5]$

a) $\{2;5\}$ b) $\{1\}$ c) $(A\setminus B)\setminus C=\{1\}\setminus \{3\}=\{1\}$, aber $A\setminus (B\setminus C)=A\setminus \{2\}=\{1;3\}$.

a) $]3;5]$; 3 fehlt in $]3;7[$, 5 liegt in beiden. b) $[0;7[$; 7 gehört nicht dazu.

a) $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ b) $D=\mathbb{R}\setminus \{-3;3\}$

a) $\{-1;0;1;2;3\}$; −2 gehört nicht dazu b) $\{\}$, keine natürliche Zahl ist negativ.

a) zum Beispiel $\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 4\}$ b) $\{x\in \mathbb{R}\mid -2\le x<5\}$

a) falsch, $\mathbb{N}$ enthält keine negativen Zahlen. b) wahr, $0,75=\frac{3}{4}$. c) falsch, $\sqrt{2}$ ist irrational. d) falsch, $\{0\}$ enthält die 0. e) wahr, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. f) falsch, links von ⊆ steht eine Menge; richtig ist $3\in \{1;2;3\}$.

a) $A\cup B=\{1;2;3\}$, mit $C$ geschnitten: $\{3\}$ b) $B\cap C=\{3\}$, mit $A$ vereinigt: $\{1;2;3\}$

a) leerer Kreis bei −2, voller Punkt bei 3, Strecke dazwischen; $-2<x\le 3$ b) voller Punkt bei 0, Strecke bis zur Pfeilspitze; $x\ge 0$, also ${\mathbb{R}}_0^{+}$

$\{-1;0;1\}$; −1 gehört dazu, 2 nicht.

a) $\{4\}$ b) $\{-4;4\}$ c) $\{\}$

a) ja, jede Primzahl ist eine natürliche Zahl b) $\{2;3\}$; 1 ist keine Primzahl.

a) $x^7$ b) $y^6$ c) $x^{12}$

a) $8x^3$ b) $\frac{x^2}{9}$

a) $5x^{-2}$ b) $x^{\frac{3}{4}}$ c) $x^{-\frac{1}{3}}$

a) $16$ b) $-16$ c) $\frac{1}{2}$

$v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$, nur positiv, denn gesucht ist nur die Größe der Geschwindigkeit ohne Richtung

a) richtig b) falsch c) falsch

a) ja b) nein, 5 fehlt in $B$

a) $\{4;6\}$ b) $\{2;4;6;8;10\}$

Suchen: $G^{\prime }(x)=-4x+16=0$, also $x=4$. Prüfen: $G^{\prime \prime }(4)=-4<0$. Vergleichen: $G(4)=26$, $G(0)=-6$, $G(10)=-46$. Preis: $p(4)=12$. Ergebnis: $H(4\mid 26)$, $C(4\mid 12)$.

Suchen: $G^{\prime }(x)=-x^2+8x-7=0$, also $x=4\pm 3$, $x_1=1$, $x_2=7$. Prüfen: $G^{\prime \prime }(1)=6>0$ Tiefpunkt, $G^{\prime \prime }(7)=-6<0$ Hochpunkt. Vergleichen: $G(7)=\frac{92}{3}$, $G(0)=-2$, $G(10)=-\frac{16}{3}$. Preis: $p(7)=16$. Ergebnis: $H(7\mid \frac{92}{3})$, $C(7\mid 16)$.