Übungen

p_{N} (x) = - 5 x + 80

, dazu die Menge bei 30 GE/ME.

Lösung

Höchstpreis

p_{N} (0) = 80

GE/ME;

- 5 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 16

, Sättigungsmenge 16 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 16]

;

- 5 x + 80 = 30 \Rightarrow x = 10

, also 10 ME

})

p_{N} (x) = - x^{2} - 6 x + 40

, dazu die Menge bei 24 GE/ME.

Lösung

Höchstpreis 40 GE/ME;

x^{2} + 6 x - 40 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 7

, also

4

oder

- 10

: Sättigungsmenge 4 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 4]

;

x^{2} + 6 x - 16 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 5

, also

2

oder

- 8

: 2 ME

p_{N} (x) = 0, 05 x^{2} - 4 x + 80

, dazu

p_{N}^{'} (10)

und seine Bedeutung.

Lösung

Höchstpreis 80 GE/ME;

x^{2} - 80 x + 1600 = 0 \Rightarrow x = 40

, Sättigungsmenge 40 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 40]

;

p_{N}^{'} (x) = 0, 1 x - 4

p_{N}^{'} (10) = - 3

: bei 10 ME muss der Preis für eine ME mehr um etwa 3 GE/ME sinken

)

a) „30 ME werden gekauft, wenn eine ME 24 GE kostet. Bei 18 GE/ME sind es 45 ME.“ Stellt die lineare Preisfunktion auf.

Lösung

(30 ∣ 24)

(45 ∣ 18)

;

m = \frac{18 - 24}{45 - 30} = - 0, 4

;

24 = - 12 + n \Rightarrow n = 36

;

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 36

)

a) „Bei 45 GE/ME werden 20 ME nachgefragt, bei 30 GE/ME 50 ME.“ Lineare Preisfunktion und Höchstpreis?

Lösung

(20 ∣ 45)

(50 ∣ 30)

;

m = \frac{- 15}{30} = - 0, 5

;

45 = - 10 + n \Rightarrow n = 55

;

p_{N} (x) = - 0, 5 x + 55

; Höchstpreis 55 GE/ME

)

a) „40 ME werden gekauft, wenn eine ME 12 GE kostet. Kostet eine ME 36 GE, werden 10 ME gekauft.“ Lineare Preisfunktion und Sättigungsmenge?

Lösung

(40 ∣ 12)

(10 ∣ 36)

;

m = \frac{24}{- 30} = - 0, 8

;

12 = - 32 + n \Rightarrow n = 44

;

p_{N} (x) = - 0, 8 x + 44

;

- 0, 8 x + 44 = 0 \Rightarrow x = 55

: Sättigungsmenge 55 ME

)

a) „Höchstpreis 40 GE/ME. Die Sättigungsmenge ist 20 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“ Quadratische Preisfunktion?

Lösung

c = 40

;

400 a + 20 b + 40 = 0

;

40 a + b = 0 \Rightarrow b = - 40 a

;

400 a - 800 a + 40 = 0 \Rightarrow a = 0, 1

b = - 4

;

p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 4 x + 40

)

a) Auf einem Markt gilt

p_{N} (x) = - 3 x + 40

und

p_{A} (x) = 2 x + 10

, mit

x

in Mio. ME. Ein Anbieter kann höchstens 300 ME herstellen. Wie lauten

E (x)

und

E^{'} (x)

? Wie groß ist sein Höchsterlös?

Lösung

- 3 x + 40 = 2 x + 10

ergibt

x = 6

und den Preis

p_{N} (6) = 22

GE/ME;

E (x) = 22 x

E^{'} (x) = 22

, Höchsterlös

E (300) = 6600

)

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 8

Lösung

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 8 x

x_{E} = 40

ME,

p_{N} (40) = 4

GE/ME, Höchsterlös

E (40) = 160

)

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 12 x

, bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge.

Lösung

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 12

, Höchstpreis 12 GE/ME, Sättigungsmenge 120 ME,

x_{E} = 60

ME,

p_{N} (60) = 6

GE/ME, Höchsterlös

E (60) = 360

)

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 10 ME.

Lösung

E^{'} (x) = - 8 x + 120 = 0

bei

x = 15

, hinter der Grenze;

x_{E} = 10

, Höchsterlös

E (10) = 80 \cdot 10 = 800

GE bei 80 GE/ME

)

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 20 ME.

Lösung

x_{E} = 15

liegt vor der Grenze;

H (15 ∣ 900)

, 15 ME zu 60 GE/ME

)

p_{N} (x) = - 5 x + 100

Lösung

E (x) = - 5 x^{2} + 100 x

;

E^{'} (x) = - 10 x + 100 = 0

x_{E} = 10

;

E^{''} (10) = - 10 < 0

;

p_{N} (10) = 50

;

E (10) = 500

. Antwort:

H (10 ∣ 500)

, 10 ME zu 50 GE/ME bringen 500 GE.

)

a) 5 ME

Lösung

E^{'} (5) = 40

GE/ME,

p_{N} (5) = 60

GE/ME,

E (5) = 300

GE; mehr verkaufen

)

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 14 - x

und

K (x) = 4 x + 9

. Bestimmt die Gewinnzone.

Lösung

G (x) = - x^{2} + 10 x - 9

, Nullstellen 1 und 9,

G (0) = - 9

G (5) = 16

, Gewinnzone

1 < x < 9

)

Bestimmt Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone. a) Monopol:

p_{N} (x) = 30 - 3 x

K (x) = 6 x + 36

Lösung

E (x) = (30 - 3 x) \cdot x = 30 x - 3 x^{2}

;

G (x) = 30 x - 3 x^{2} - (6 x + 36) = - 3 x^{2} + 24 x - 36

;

- 3 x^{2} + 24 x - 36 = 0 ∣ : (- 3)

ergibt

x^{2} - 8 x + 12 = 0

;

x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 12 = 4 \pm 2

, also

x_{1} = 2

x_{2} = 6

; Vorzeichen:

G (0) = - 36 < 0

G (4) = 12 > 0

G (7) = - 15 < 0

; Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 6 ME, Gewinnzone

2 < x < 6

)

a) Polypol, Marktpreis 15 GE je ME,

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 10

, höchstens 5 ME. Bestimmt die gewinnmaximale Menge und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10

;

G^{'} (x) = - 3 x (x - 4) = 0

bei 0 und 4;

G^{''} (4) = - 12 < 0

H (4 ∣ 22)

; Ränder

G (0) = - 10

G (5) = 15

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn 22 GE

)

a) Monopol:

p_{N} (x) = 30 - 2 x

K (x) = 6 x + 40

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 40

0 \leq x \leq 15

;

G^{'} (x) = - 4 x + 24 = 0

x = 6

;

G^{''} (x) = - 4 < 0

;

G (6) = 32

; Ränder

G (0) = - 40

G (15) = - 130

; 6 ME, maximaler Gewinn 32 GE

)

a) Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 18 - 2 x

und

K (x) = 2 x + 12

. Bestimmt die gewinnmaximale Menge mit

E^{'} (x) = K^{'} (x)

und den maximalen Gewinn.

Lösung

E^{'} (x) = 18 - 4 x

K^{'} (x) = 2

18 - 4 x = 2

ergibt

x = 4

;

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 12

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 12

G (9) = - 30

; 4 ME, maximaler Gewinn

G (4) = 20

)

a) Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 16 - 2 x

und

K (x) = 4 x + 10

. Bestimmt den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 10

G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0

ergibt

x_{C} = 3

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 10

G (8) = - 42

;

p_{C} = p_{N} (3) = 10

C (3 ∣ 10)

, maximaler Gewinn

G (3) = 8

)

p_{N} (x) = 24 - 2 x

K (x) = 4 x + 32

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 20 x - 32

0 \leq x \leq 12

;

x = 5

;

G^{''} (x) = - 4 < 0

;

G (5) = 18

; Ränder

G (0) = - 32

G (12) = - 80

;

p_{C} = 14

;

C (5 ∣ 14)

, maximaler Gewinn 18 GE

)

a) Jetzt du: Isoquante

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK und

K_{m i n}

Lösung

MKK

(6 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

)

r_{2} = \frac{50}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(10 ∣ 5)

K_{m i n} = 40

GE) b)

r_{2} = \frac{250}{r _{1}^{2}}

q_{1} = 8

q_{2} = 2

(Lösung: MKK

(5 ∣ 10)

K_{m i n} = 60

GE) c)

r_{2} = \frac{8}{r _{1} - 3} + 2

r_{1} > 3

q_{1} = 4

q_{2} = 2

(Lösung: MKK

(5 ∣ 6)

K_{m i n} = 32

)

a) Rechenweg zu Übung 1a

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

;

K^{'} (r_{1}) = 2 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 100

r_{1} = 10

;

K^{''} (10) = \frac{400}{1000} = 0, 4 > 0

;

r_{2} = \frac{50}{10} = 5

;

K_{m i n} = 20 + 20 = 40

GE) b) Rechenweg zu Übung 1b (Lösung:

K (r_{1}) = 8 r_{1} + \frac{500}{r _{1}^{2}}

;

K^{'} (r_{1}) = 8 - \frac{1000}{r _{1}^{3}} = 0

, also

r_{1}^{3} = 125

r_{1} = 5

;

K^{''} (5) = \frac{3000}{625} = 4, 8 > 0

;

r_{2} = \frac{250}{25} = 10

;

K_{m i n} = 40 + 20 = 60

GE) c) Rechenweg zu Übung 1c (Lösung:

K (r_{1}) = 4 r_{1} + \frac{16}{r _{1} - 3} + 4

;

K^{'} (r_{1}) = 4 - \frac{16}{( r _{1} - 3 ) ^{2}} = 0

, also

(r_{1} - 3)^{2} = 4

r_{1} = 5

;

r_{1} = 1

entfällt, denn

r_{1} > 3

;

K^{''} (5) = \frac{32}{8} = 4 > 0

;

r_{2} = \frac{8}{2} + 2 = 6

;

K_{m i n} = 20 + 12 = 32

)

a) Jetzt du:

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

, Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

)

a) Jetzt du: Isoquante

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

MKK

(8 ∣ 4)

K_{m i n} = 32

GE,

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

)

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(4 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

GE,

r_{2} = 6 - 0, 75 r_{1}

) b)

r_{2} = \frac{2}{r _{1} - 1} + 3

r_{1} > 1

q_{1} = 6

q_{2} = 3

(Lösung: MKK

(2 ∣ 5)

K_{m i n} = 27

GE,

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

) c) Isoquante

r_{2} = \frac{36}{r _{1}}

: Bei welchem Preisverhältnis ist

(9 ∣ 4)

die MKK? (Lösung:

q_{1} : q_{2} = 4 : 9

) d) Isoquante

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

. Faktor 2 wird teurer:

q_{2} = 9

statt 4. Neue MKK? Was kostet das alte Rezept

(4 ∣ 3)

jetzt? (Lösung: neue MKK

(6 ∣ 2)

K_{m i n} = 36

GE; das alte Rezept kostet 39 GE

)

a) Rechenweg zu Übung 2a

Lösung

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{4}

, also

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

;

r_{2} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} r_{1} = 6 - 0, 75 r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

) b) Rechenweg zu Übung 2b (Lösung:

- \frac{2}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - \frac{6}{3}

, also

(r_{1} - 1)^{2} = 1

r_{1} = 2

;

r_{1} = 0

entfällt, denn

r_{1} > 1

;

r_{2} = \frac{2}{1} + 3 = 5

;

K_{m i n} = 12 + 15 = 27

;

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{4}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0

) c) Rechenweg zu Übung 2c (Lösung:

r_{2}^{'} (9) = - \frac{36}{81} = - \frac{4}{9} = - \frac{q _{1}}{q _{2}}

, also

\frac{q _{1}}{q _{2}} = \frac{4}{9}

, zum Beispiel

q_{1} = 4

und

q_{2} = 9

) d) Rechenweg zu Übung 2d (Lösung:

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{9}

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

r_{2} = 2

;

K_{m i n} = 18 + 18 = 36

;

r_{2} = 4 - \frac{1}{3} r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

; altes Rezept:

3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 39

)

a) Jetzt du: Für 90 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{81}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (90)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

Lösung

MKK

(18 ∣ 4, 5)

K_{v} (90) = 54 + 54 = 108

)

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{72}{r _{1}}

;

K^{'} (r_{1}) = 2 - \frac{72}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

K^{''} (6) = \frac{144}{216} > 0

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

; MKK

(6 ∣ 3)

, 24 GE

)

r_{2} = \frac{50}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

;

K^{'} = 2 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 100

r_{1} = 10

;

K^{''} (10) = \frac{400}{1000} = 0, 4 > 0

;

r_{2} = 5

;

K_{m i n} = 20 + 20 = 40

; MKK

(10 ∣ 5)

, 40 GE) b)

r_{2} = \frac{250}{r _{1}^{2}}

q_{1} = 8

q_{2} = 2

(Lösung:

K (r_{1}) = 8 r_{1} + \frac{500}{r _{1}^{2}}

;

K^{'} = 8 - \frac{1000}{r _{1}^{3}} = 0

, also

r_{1}^{3} = 125

r_{1} = 5

;

K^{''} (5) = \frac{3000}{625} = 4, 8 > 0

;

r_{2} = \frac{250}{25} = 10

;

K_{m i n} = 40 + 20 = 60

; MKK

(5 ∣ 10)

, 60 GE) c)

r_{2} = \frac{8}{r _{1} - 3} + 2

r_{1} > 3

q_{1} = 4

q_{2} = 2

(Lösung:

K (r_{1}) = 4 r_{1} + \frac{16}{r _{1} - 3} + 4

;

K^{'} = 4 - \frac{16}{( r _{1} - 3 ) ^{2}} = 0

, also

(r_{1} - 3)^{2} = 4

r_{1} = 5

;

r_{1} = 1

entfällt, denn

r_{1} > 3

;

K^{''} (5) = \frac{32}{8} = 4 > 0

;

r_{2} = \frac{8}{2} + 2 = 6

;

K_{m i n} = 20 + 12 = 32

; MKK

(5 ∣ 6)

, 32 GE

)

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

; Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

)

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

- \frac{32}{r _{1}^{2}} = - 0, 5

, also

r_{1}^{2} = 64

r_{1} = 8

;

r_{2}^{''} = \frac{64}{r _{1}^{3}} > 0

;

r_{2} = 4

;

K_{m i n} = 16 + 16 = 32

;

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

; MKK

(8 ∣ 4)

, 32 GE

)

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

q_{2} = 4

Lösung

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{4}

, also

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

;

r_{2} = 6 - 0, 75 r_{1}

; MKK

(4 ∣ 3)

, 24 GE) b)

r_{2} = \frac{2}{r _{1} - 1} + 3

r_{1} > 1

q_{1} = 6

q_{2} = 3

(Lösung:

- \frac{2}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - 2

, also

(r_{1} - 1)^{2} = 1

r_{1} = 2

;

r_{1} = 0

entfällt, denn

r_{1} > 1

;

r_{2}^{''} = \frac{4}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0

;

r_{2} = 5

;

K_{m i n} = 12 + 15 = 27

;

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

; MKK

(2 ∣ 5)

, 27 GE) c)

r_{2} = \frac{36}{r _{1}}

. Bei welchem Preisverhältnis ist

(9 ∣ 4)

die MKK? (Lösung:

r_{2}^{'} (9) = - \frac{36}{81} = - \frac{4}{9}

, also

q_{1} : q_{2} = 4 : 9

, zum Beispiel

q_{1} = 4

q_{2} = 9

) d)

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

. Faktor 2 wird teurer:

q_{2} = 9

statt 4. Bestimmt die neue MKK und die Kosten des alten Rezepts

(4 ∣ 3)

zu den neuen Preisen. (Lösung:

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{9}

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

r_{2} = 2

;

K_{m i n} = 18 + 18 = 36

;

r_{2} = 4 - \frac{1}{3} r_{1}

; altes Rezept:

3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 39

GE; neue MKK

(6 ∣ 2)

, 36 GE

)

Für 120 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{144}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (120)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

. Liegt der Punkt auf der Geraden?

Lösung

- \frac{144}{r _{1}^{2}} = - 0, 25

, also

r_{1}^{2} = 576

r_{1} = 24

;

r_{2} = 6

;

K_{v} (120) = 72 + 72 = 144

GE; MKK

(24 ∣ 6)

;

1, 2 \cdot 120 = 144

, ja

Erklärt in: [M4 g9 v1] Gewinnfunktion und Gewinnschwelle

)

Ein Betrieb verkauft zum Preis von 9 GE je ME. Seine Kosten sind

K (x) = 5 x + 36

. a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion. b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle.

Lösung

G (x) = 9 x - (5 x + 36) = 4 x - 36

4 x - 36 = 0

, also

x = 9

: Gewinnschwelle 9 ME. Probe:

E (9) = K (9) = 81

)

Ein Betrieb verkauft zum Preis von 20 GE je ME. Seine Kosten sind

K (x) = 12 x + 100

. a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion. b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle.

Lösung

G (x) = 20 x - (12 x + 100) = 8 x - 100

8 x - 100 = 0

, also

x = 12, 5

: Gewinnschwelle 12,5 ME. Probe:

E (12, 5) = K (12, 5) = 250

Erklärt in: [M4 g9 v1] Gewinnfunktion und Gewinnschwelle

¡)

Die Isoquante ist A · K = 36. Arbeit kostet 1 € je Einheit, Kapital 4 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

C(A) = A + 144 · A⁻¹, C'(A) = 1 − 144/A² = 0, A = 12; C''(A) = 288/A³ > 0; K = 3, minimale Kosten 24 €

Erklärt in: [M4 mkk-frei v1] Minimalkostenkombination

¢)

Die Produktionsfunktion ist x = 2 · √(A · K). Dabei ist √(A · K) = (A · K)^0,5. Es sollen x = 12 Einheiten hergestellt werden. Arbeit kostet 9 €, Kapital 1 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Isoquante. b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

a) √(A · K) = 6, also A · K = 36 und K = 36/A. b) C(A) = 9A + 36 · A⁻¹, C'(A) = 9 − 36/A² = 0, A = 2; C''(A) = 72/A³ > 0; K = 18, minimale Kosten 36 €

Erklärt in: [M4 mkk-frei v1] Minimalkostenkombination

£)

Die Isoquante ist K = 4/A². Beide Faktoren kosten 1 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

C(A) = A + 4 · A⁻², C'(A) = 1 − 8/A³ = 0, A = 2; C''(A) = 24/A⁴ > 0; K = 1, minimale Kosten 3 €

Erklärt in: [M4 mkk-frei v1] Minimalkostenkombination

¤)

a) Ist 5 ∈ {1; 3; 5; 7}? b) Bestimmen Sie |{4; 8; 4; 8; 1}|.

Lösung

a) Ja, die 5 ist drin. b) Die verschiedenen Elemente sind 4, 8 und 1, also 3.

¥)

Gilt {1; 4; 5} ⊆ {1; 2; 3; 4; 7}?

Lösung

Nein, die 5 liegt nicht in der zweiten Menge.

¦)

Geben Sie den kleinsten Zahlbereich an: a) −7 b) 0,25 c) π d) 10/5

Lösung

a) ℤ b) ℚ, denn 0,25 = 1/4 c) ℝ d) ℕ, denn 10/5 = 2

§)

S = {2; 3; 4} liegt ganz in T = {1; 2; 3; 4; 7}. Bestimmen Sie a) S ∩ T b) S ∪ T c) S \ T.

Lösung

a) {2; 3; 4} = S b) {1; 2; 3; 4; 7} = T c) ∅, denn kein Element von S liegt außerhalb von T.

¨)

G = {2; 7; 8; 13}, H = {5; 6; 7}. Bestimmen Sie a) ℙ ∪ G b) G ∪ H ∪ ℙ.

Lösung

a) 2, 7 und 13 sind schon Primzahlen, nur die 8 ist neu: ℙ ∪ {8}. b) Neu zu den Primzahlen kommen nur 6 und 8: ℙ ∪ {6; 8}.

©)

a) Schreiben Sie ]−3; 4] als Bedingung. b) x ∈ ℤ, x ∈ ]−3; 4]: Geben Sie alle x an. Schreiben Sie das Intervall auch mit runden Klammern.

Lösung

a) −3 < x ≤ 4 b) {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; ]−3; 4] = (−3; 4]

ª)

Geben Sie die Lösungsmenge an. a)

x^{2} = 25

x^{2} = - 9

Lösung

L = {- 5; 5}

L = {}

«)

B = {1; 2; 3; 4; 7}

. a) Gilt

{1; 7} \subseteq B

? b) Gilt

{4; 5} \subseteq B

Lösung

a) ja b) nein, 5 fehlt

¬)

Geben Sie den kleinsten Zahlbereich an. a)

- \frac{8}{4}

0, 5

9

Lösung

- 2

, also

Z

\frac{1}{2}

, also

Q

3

, also

N

)

Geben Sie in aufzählender Form an. a)

{x \in Z ∣ - 1 \leq x < 2}

{x \in N ∣ x \leq 2}

Lösung

{- 1; 0; 1}

{0; 1; 2}

®)

Schreiben Sie als Intervall. a)

x \geq 3

x < 0

- 1 < x \leq 5

Lösung

[3; \infty [

] - \infty; 0 [= R^{-}

] - 1; 5]

¯)

{1; 2; 5} \cap {2; 3; 5; 7}

{1; 2; 5} ∖ {2; 3; 5; 7}

c) Zeigen Sie mit

A = {1; 2; 3}

B = {2; 3}

C = {3}

, dass auch bei lauter

∖

die Klammer zählt.

Lösung

{2; 5}

{1}

(A ∖ B) ∖ C = {1} ∖ {3} = {1}

, aber

A ∖ (B ∖ C) = A ∖ {2} = {1; 3}

°)

[0; 5] \cap] 3; 7 [

[0; 5] \cup] 3; 7 [

Lösung

] 3; 5]

; 3 fehlt in

] 3; 7 [

, 5 liegt in beiden. b)

[0; 7 [

; 7 gehört nicht dazu.

±)

Geben Sie die Definitionsmenge an. a)

f (x) = \frac{3}{x + 1}

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 9}

Lösung

D = R ∖ {- 1}

D = R ∖ {- 3; 3}

²)

Geben Sie in aufzählender Form an. a)

{x \in Z ∣ - 2 < x \leq 3}

{x \in N ∣ x < 0}

Lösung

{- 1; 0; 1; 2; 3}

; −2 gehört nicht dazu b)

{}

, keine natürliche Zahl ist negativ.

³)

Geben Sie in beschreibender Form an. a)

{1; 2; 3; 4}

[- 2; 5 [

Lösung

a) zum Beispiel

{x \in N ∣ 1 \leq x \leq 4}

{x \in R ∣ - 2 \leq x < 5}

´)

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr ist. Begründen Sie. a)

- 4 \in N

0, 75 \in Q

2 \in Q

{0} = {}

{} \subseteq {1; 2}

3 \subseteq {1; 2; 3}

Lösung

a) falsch,

N

enthält keine negativen Zahlen. b) wahr,

0, 75 = \frac{3}{4}

. c) falsch,

2

ist irrational. d) falsch,

{0}

enthält die 0. e) wahr, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. f) falsch, links von ⊆ steht eine Menge; richtig ist

3 \in {1; 2; 3}

µ)

A = {1; 2}

B = {2; 3}

C = {3; 4}

. Bestimmen Sie a)

(A \cup B) \cap C

A \cup (B \cap C)

Lösung

A \cup B = {1; 2; 3}

, mit

C

geschnitten:

{3}

B \cap C = {3}

, mit

A

vereinigt:

{1; 2; 3}

¶)

Stellen Sie das Intervall an der Zahlengeraden dar und schreiben Sie es als Ungleichung. a)

] - 2; 3]

[0; \infty [

Lösung

a) leerer Kreis bei −2, voller Punkt bei 3, Strecke dazwischen;

- 2 < x \leq 3

b) voller Punkt bei 0, Strecke bis zur Pfeilspitze;

x \geq 0

, also

R_{0}^{+}

·)

x \in Z

und

x \in [- 1; 2 [

. Geben Sie alle

x

an.

Lösung

{- 1; 0; 1}

; −1 gehört dazu, 2 nicht.

¸)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge. a)

x^{2} = 16

x \in N

x^{2} = 16

x \in Z

x^{2} = - 1

x \in R

Lösung

{4}

{- 4; 4}

{}

¹)

Die Primzahlen sind die natürlichen Zahlen mit genau zwei Teilern (1 und sich selbst):

P = {2; 3; 5; 7; 11; \dots}

. a) Gilt

P \subseteq N

? b) Bestimmen Sie

P \cap {1; 2; 3; 4}

Lösung

a) ja, jede Primzahl ist eine natürliche Zahl b)

{2; 3}

; 1 ist keine Primzahl.

º)

Vereinfachen Sie. a)

x^{4} \cdot x^{3}

\frac{y ^{9}}{y ^{3}}

(x^{4})^{3}

Lösung

x^{7}

y^{6}

x^{12}

»)

Vereinfachen Sie. a)

(2 x)^{3}

(\frac{x}{3})^{2}

Lösung

8 x^{3}

\frac{x ^{2}}{9}

¼)

Schreiben Sie als Potenz. a)

\frac{5}{x ^{2}}

4 x^{3}

\frac{1}{3 x}

Lösung

5 x^{- 2}

x^{\frac{3}{4}}

x^{- \frac{1}{3}}

½)

Berechnen Sie. a)

(- 4)^{2}

- 4^{2}

2^{- 1}

Lösung

16

- 16

\frac{1}{2}

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

¾)

Lösen Sie die Gleichung

x + 9 = 14

Lösung

x = 5

¿)

Lösen Sie die Gleichung

6 x - 4 = 32

Lösung

x = 6

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

À)

Lösen Sie die Gleichung

3 (x - 2) = 15

Lösung

x = 7

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Á)

Lösen Sie die Gleichung

x^{2} - 3 = 46

Lösung

x = \pm 7

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Â)

Lösen Sie die Gleichung

7 x + 1 = 4 x + 13

Lösung

x = 4

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Ã)

Stellen Sie die Formel für die Spannung

U = R \cdot I

nach

I

um.

Lösung

I = \frac{U}{R}

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Ä)

Stellen Sie die Formel für die Energie

E = \frac{1}{2} m v^{2}

nach

v

um;

m

ist hier die Masse.

Lösung

v = \frac{2 E}{m}

, nur positiv, denn gesucht ist nur die Größe der Geschwindigkeit ohne Richtung

Erklärt in: [M4 m2 v1 A3] 2.3 Gleichungen umstellen

Å)

Sei

M = {1; 3; 5; 7}

. Richtig oder falsch? a)

5 \in M

4 \in M

7 \in / M

Lösung

a) richtig b) falsch c) falsch

Erklärt in: [M4 mg v1] Mengen

Æ)

Sei

B = {2; 4; 6; 8}

. Ist die Menge Teilmenge von

B

? a)

{4; 8}

{4; 5}

Lösung

a) ja b) nein, 5 fehlt in

B

Erklärt in: [M4 mg v1] Mengen

Ç)

Sei

A = {2; 4; 6}

und

B = {4; 6; 8; 10}

. Bestimmen Sie a)

A \cap B

A \cup B

Lösung

{4; 6}

{2; 4; 6; 8; 10}

Erklärt in: [M4 mg v1] Mengen

m3 (wir)

a) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6

p (x) = 20 - 2 x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0

, also

x = 4

. Prüfen:

G^{''} (4) = - 4 < 0

. Vergleichen:

G (4) = 26

G (0) = - 6

G (10) = - 46

. Preis:

p (4) = 12

. Ergebnis:

H (4 ∣ 26)

C (4 ∣ 12)

Erklärt in: Gewinnfunktion und Gewinnmaximum

b) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2

p (x) = 23 - x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - x^{2} + 8 x - 7 = 0

, also

x = 4 \pm 3

x_{1} = 1

x_{2} = 7

. Prüfen:

G^{''} (1) = 6 > 0

Tiefpunkt,

G^{''} (7) = - 6 < 0

Hochpunkt. Vergleichen:

G (7) = \frac{92}{3}

G (0) = - 2

G (10) = - \frac{16}{3}

. Preis:

p (7) = 16

. Ergebnis:

H (7 ∣ \frac{92}{3})

C (7 ∣ 16)

Erklärt in: Gewinnfunktion und Gewinnmaximum

c) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - x^{2} + 12 x - 8

p (x) = 16 - x

0 \leq x \leq 4

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0

, also

x = 6

, außerhalb des Bereichs. Vergleichen:

G (0) = - 8

G (4) = 24

. Preis:

p (4) = 12

. Ergebnis: 24 GE bei 4 ME, Preis 12 GE/ME,

P (4 ∣ 24)

Erklärt in: Gewinnfunktion und Gewinnmaximum

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6

p (x) = 20 - 2 x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0 \Rightarrow x = 4

. Prüfen:

G^{''} (4) = - 4 < 0

, Hochpunkt. Vergleichen:

G (4) = - 32 + 64 - 6 = 26

G (0) = - 6

G (10) = - 200 + 160 - 6 = - 46

. Also

x_{m a x} = 4

G_{m a x} = 26

. Preis:

p (4) = 20 - 8 = 12

H (4∣26)

C (4∣12)

. Antwort: 26 GE bei 4 ME, Preis 12 GE/ME.

Erklärt in: Vom Abstand zweier Kurven zum Preis der besten Menge

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2

p (x) = 23 - x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - x^{2} + 8 x - 7 = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 x + 7 = 0 \Rightarrow x = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3

, also

x_{1} = 1

x_{2} = 7

. Prüfen:

G^{''} (x) = - 2 x + 8

G^{''} (1) = 6 > 0

Tiefpunkt,

G^{''} (7) = - 6 < 0

Hochpunkt. Vergleichen:

G (7) = - \frac{343}{3} + 196 - 49 - 2 = \frac{92}{3}

G (0) = - 2

G (10) = - \frac{1000}{3} + 400 - 70 - 2 = - \frac{16}{3}

. Also

x_{m a x} = 7

G_{m a x} = \frac{92}{3}

. Preis:

p (7) = 23 - 7 = 16

H (7∣ \frac{92}{3})

C (7∣16)

. Antwort:

\frac{92}{3}

GE, etwa 30,67 GE, bei 7 ME, Preis 16 GE/ME.

Erklärt in: Vom Abstand zweier Kurven zum Preis der besten Menge

G (x) = - x^{2} + 12 x - 8

p (x) = 16 - x

0 \leq x \leq 4

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 6

. Die 6 liegt außerhalb von

0 \leq x \leq 4

, eine Prüfung entfällt. Vergleichen:

G (0) = - 8

G (4) = - 16 + 48 - 8 = 24

. Also

x_{m a x} = 4

G_{m a x} = 24

. Die Tangente bei 4 steigt:

G^{'} (4) = 4

. Der Punkt heißt darum

P (4∣24)

. Preis:

p (4) = 16 - 4 = 12

. Antwort: 24 GE bei 4 ME, zugehöriger Preis 12 GE/ME.

Erklärt in: Vom Abstand zweier Kurven zum Preis der besten Menge

Bestimmt jeweils die Gewinnfunktion, soweit sie noch nicht gegeben ist, die wirtschaftlich sinnvollen Nullstellen, Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone für

x \geq 0

. a)

K (x) = 40 x + 120

p = 70

GE/ME. b)

K (x) = x^{2} + 4 x + 45

p = 18

GE/ME. c)

G (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 8

Lösung

G (x) = 30 x - 120

. Aus

30 x - 120 = 0

folgt

x = 4

. Gewinnschwelle: 4 ME; keine Gewinngrenze; Gewinnzone:

x > 4

. b)

G (x) = - x^{2} + 14 x - 45

. Die pq-Formel ergibt

x = 7 \pm 49 - 45 = 7 \pm 2

, also 5 und 9. Gewinnschwelle: 5 ME; Gewinngrenze: 9 ME; Gewinnzone:

5 < x < 9

. c)

G (1) = 0

. Nach Polynomdivision:

G (x) = (x - 1) (- x^{2} + 2 x + 8)

. Aus

x^{2} - 2 x - 8 = 0

folgt

x = 1 \pm 3

, also 4 und

- 2

. Die negative Menge entfällt. Gewinnschwelle: 1 ME; Gewinngrenze: 4 ME; Gewinnzone:

1 < x < 4

Erklärt in: Ab welcher Menge entsteht Gewinn?

Ein Betrieb hat K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}24x^2 + 30x + 500. Wo liegt die Kostenkehre?

Lösung

K''(x) = 0{,}006x - 0{,}48 = 0, also x = 80.

Erklärt in: m3 2.1 Wo die Kosten kehren

Eine Bäckerei hat die Nachfragefunktion

x (p) = 160 - 4 p

und die Kosten

K (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 09 x^{2} + 5 x + 150

. a) Stellt

p (x)

und

E (x)

auf. b) Rechnet

E (40)

und

K (40)

aus.

Lösung

p (x) = 40 - 0, 25 x

und

E (x) = 40 x - 0, 25 x^{2}

; b)

E (40) = 1600 - 400 = 1200

€ und

K (40) = 64 - 144 + 200 + 150 = 270

€

Erklärt in: [m3 IR 3 20:20] Kosten + Erlös

Ein Betrieb hat

p (x) = 40 - 0, 25 x

. Stellt E(x) auf und rechnet E(40) aus.

Lösung

E (x) = (40 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 40 x

E (40) = 1200

Erklärt in: [m3 IR 4 20:59] Kosten + Erlös

Ein Betrieb hat

p (x) = 40 - 0, 25 x

. Stellt E(x) auf und rechnet E(40) aus.

Lösung

E (x) = (40 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 40 x

E (40) = 1200

Erklärt in: [m3 IR 5 21:30] Kosten + Erlös

Ein Betrieb hat

p (x) = 40 - 0, 25 x

. Stellt E(x) auf und rechnet E(40) aus.

Lösung

E (x) = (40 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 40 x

E (40) = 1200

Erklärt in: [m3 IR 6 21:55] Kosten + Erlös

mathegusskomplett

K (x) = 4 x + 60

, Preis 12 GE je ME. Wie lauten

E (x)

und

G (x)

? Wie groß ist der Gewinn bei 5 ME und bei 10 ME?

Lösung

E (x) = 12 x

G (x) = 12 x - (4 x + 60) = 8 x - 60

G (5) = - 20

GE, also 20 GE Verlust,

G (10) = 20

GE Gewinn

Erklärt in: [Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

K (x) = 0, 5 x^{2} + 10 x + 100

. Wie groß sind

k (5)

und

k_{v} (5)

Lösung

k (5) = 0, 5 \cdot 5 + 10 + \frac{100}{5} = 32, 5

GE je ME,

k_{v} (5) = 0, 5 \cdot 5 + 10 = 12, 5

GE je ME

Erklärt in: [Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

Ein Monopolist verkauft zum Preis

p_{N} (x) = 48 - 4 x

, seine Kapazitätsgrenze ist 15 ME. Wie lautet

D_{\overset{o}{¨} k}

Lösung

48 - 4 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 12

; 12 liegt unter 15, also

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 12]

Erklärt in: [Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32

. Wie groß sind

K^{'} (2)

und

K^{'} (5)

Lösung

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15

K^{'} (2) = 3

GE je ME,

K^{'} (5) = 30

GE je ME. Bei 2 ME kostet eine ME mehr etwa 3 GE, bei 5 ME etwa 30 GE.

Erklärt in: [Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

Monopol mit

E (x) = 40 x - 2 x^{2}

und

K (x) = 8 x + 50

. Lohnt sich bei 6 ME eine ME mehr? Und bei 9 ME?

Lösung

G^{'} (x) = 40 - 4 x - 8 = 32 - 4 x

;

G^{'} (6) = 8 > 0

, ja;

G^{'} (9) = - 4 < 0

, nein

Erklärt in: [Diff] Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft: Begriffsdefinitionen

Wie viel wird bei 40 GE/ME gekauft?

Lösung

- 2 x + 100 = 40 \Rightarrow x = 30

, also 30 ME

Erklärt in: [Diff] Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht

„30 ME werden gekauft, wenn eine ME 24 GE kostet. Bei 18 GE/ME sind es 45 ME.“

Lösung

(30 ∣ 24), (45 ∣ 18)

m = \frac{18 - 24}{45 - 30} = - 0, 4

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 36

Erklärt in: [Diff] Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht

p_{N} (x) = - x + 50

und

p_{A} (x) = x + 10

Lösung

- x + 50 = x + 10 \Rightarrow 40 = 2 x \Rightarrow x = 20

p_{N} (20) = p_{A} (20) = 30

MG (20 ∣ 30)

Erklärt in: [Diff] Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht

Überschuss und verkaufte Menge bei 56 GE/ME?

Lösung

Nachfrage

- 2 x + 100 = 56 \Rightarrow x = 22

, Angebot

3 x + 20 = 56 \Rightarrow x = 12

, Nachfrageüberschuss 10 ME, verkauft 12 ME

Erklärt in: [Diff] Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht

K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 98

Lösung

K^{''} (x) = 6 x - 24 = 0

x = 4

K^{'''} (4) = 6 \neq = 0

W (4 ∣ 170)

, kleinste Grenzkosten

K^{'} (4) = 2

GE je ME

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

K (x) = 0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128

Lösung

a = 0, 5 > 0

b = - 6 < 0

b^{2} = 36 < 45 = 3 a c

d = 128 \geq 0

: ertragsgesetzliche Kostenfunktion

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

K (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 50

Lösung

b^{2} = 144 > 120 = 3 a c

: keine Kostenfunktion. Probe: Kostenkehre bei 2,

K^{'} (2) = 24 - 48 + 20 = - 4 < 0

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

K (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 30 x + 144

Lösung

2 x^{3} - 8 x^{2} - 144 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 4 x^{2} - 72 = 0

x = 6

, Rest

x^{2} + 2 x + 12

ohne Nullstelle,

k (6) = 36 - 48 + 30 + 24 = 42

: Betriebsoptimum 6 ME, kleinste Stückkosten 42 GE je ME. Probe

K^{'} (6) = 108 - 96 + 30 = 42

✓

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 98

Lösung

k_{v} (x) = x^{2} - 12 x + 50

2 x - 12 = 0

, Betriebsminimum 6 ME, kurzfristige Preisuntergrenze

k_{v} (6) = 36 - 72 + 50 = 14

GE je ME, Probe

K^{'} (6) = 108 - 144 + 50 = 14

✓

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

Fixkosten 64 GE, Kostenkehre bei 2 ME, dort Grenzkosten 6 GE je ME, Gesamtkosten bei 1 ME: 84 GE.

Lösung

K (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 64

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

Fixkosten 20 GE, Kostenkehre bei 1 ME, dort Grenzkosten 2 GE je ME, Gesamtkosten bei 2 ME: 26 GE.

Lösung

K (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 20

Erklärt in: [Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

Auf einem Markt gilt

p_{N} (x) = - 3 x + 40

und

p_{A} (x) = 2 x + 10

, mit

x

in Mio. ME. Ein Anbieter kann höchstens 300 ME herstellen. Wie lauten

E (x)

und

E^{'} (x)

? Wie groß ist sein Höchsterlös?

Lösung

- 3 x + 40 = 2 x + 10

ergibt

x = 6

und den Preis

p_{N} (6) = 22

GE/ME;

E (x) = 22 x

E^{'} (x) = 22

, Höchsterlös

E (300) = 6600

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 8

Lösung

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 8 x

x_{E} = 40

ME,

p_{N} (40) = 4

GE/ME, Höchsterlös

E (40) = 160

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 12 x

, bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge.

Lösung

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 12

, Höchstpreis 12 GE/ME, Sättigungsmenge 120 ME,

x_{E} = 60

ME,

p_{N} (60) = 6

GE/ME, Höchsterlös

E (60) = 360

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 10 ME.

Lösung

E^{'} (x) = - 8 x + 120 = 0

bei

x = 15

, hinter der Grenze;

x_{E} = 10

, Höchsterlös

E (10) = 80 \cdot 10 = 800

GE bei 80 GE/ME

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 20 ME.

Lösung

x_{E} = 15

liegt vor der Grenze;

H (15 ∣ 900)

, 15 ME zu 60 GE/ME

Erklärt in: [Diff] Gewinnfunktion, Gewinnzone und Gewinnmaximum

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 14 - x

und

K (x) = 4 x + 9

. Bestimmt die Gewinnzone.

Lösung

G (x) = - x^{2} + 10 x - 9

, Nullstellen 1 und 9,

G (0) = - 9

G (5) = 16

, Gewinnzone

1 < x < 9

Polypol, Marktpreis 15 GE je ME,

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 10

, höchstens 5 ME. Bestimmt die gewinnmaximale Menge und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10

;

G^{'} (x) = - 3 x (x - 4) = 0

bei 0 und 4;

G^{''} (4) = - 12 < 0

H (4 ∣ 22)

; Ränder

G (0) = - 10

G (5) = 15

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn 22 GE

Erklärt in: [Diff] Gewinnfunktion, Gewinnzone und Gewinnmaximum

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 18 - 2 x

und

K (x) = 2 x + 12

. Bestimmt die gewinnmaximale Menge mit

E^{'} (x) = K^{'} (x)

und den maximalen Gewinn.

Lösung

E^{'} (x) = 18 - 4 x

K^{'} (x) = 2

18 - 4 x = 2

ergibt

x = 4

;

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 12

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 12

G (9) = - 30

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn

G (4) = 20

Erklärt in: [Diff] Gewinnfunktion, Gewinnzone und Gewinnmaximum

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 16 - 2 x

und

K (x) = 4 x + 10

. Bestimmt den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 10

G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0

ergibt

x_{C} = 3

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 10

G (8) = - 42

;

p_{C} = p_{N} (3) = 10

C (3 ∣ 10)

, maximaler Gewinn

G (3) = 8

Erklärt in: [Diff] Gewinnfunktion, Gewinnzone und Gewinnmaximum

p_{N} (x) = 100 - 2 x

an der Stelle

x = 20

Lösung

ε (20) = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{60}{20} = - 1, 5

. Beim Preis 60 GE je ME gilt: Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Nachfrage um etwa 1,5 %.

Erklärt in: [Diff] Elastizität

{)

p_{N} (x) = 60 - 3 x

an der Stelle

x = 15

. Bringt ein höherer oder ein niedrigerer Preis mehr Erlös?

Lösung

p = 15

ε = \frac{1}{- 3} \cdot \frac{15}{15} \approx - 0, 33

, unelastisch. Preis

+ 1 %

: Erlös etwa

(1 - 0, 33) % = + 0, 67 %

. Preis erhöhen.

Erklärt in: [Diff] Elastizität

p_{N} (x) = 80 - 4 x

. Bei welcher Menge ist der Erlös am größten? Sucht die Stelle mit

ε = - 1

Lösung

\frac{80 - 4 x}{- 4 x} = - 1

, also

80 - 4 x = 4 x

und

x = 10

, Preis 40 GE je ME,

E = 400

GE. Probe:

E^{'} (x) = 80 - 8 x = 0

bei

x = 10

✓

Erklärt in: [Diff] Elastizität

})

Isoquante

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(6 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

, Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

)

Isoquante

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

MKK

(8 ∣ 4)

K_{m i n} = 32

GE,

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

)

Für 90 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{81}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (90)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

Lösung

MKK

(18 ∣ 4, 5)

K_{v} (90) = 108

Erklärt in: [M5 mkk v1] Minimalkostenkombination

m5

Ein Betrieb stellt eine Menge her, für die

A \cdot K = 25

gilt. Eine Arbeitsstunde kostet 1 €, eine Maschinenstunde 4 €. Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

K = \frac{25}{A}

C (A) = A + \frac{100}{A}

C^{'} (A) = 1 - \frac{100}{A ^{2}} = 0

, also

A = 10

K = 2, 5

C (10) = 10 + 10 = 20

€.

Für eine Menge gilt

A^{2} \cdot K = 64

. Eine Arbeitsstunde kostet 2 €, eine Maschinenstunde 1 €. Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

K = \frac{64}{A ^{2}}

C (A) = 2 A + \frac{64}{A ^{2}}

C^{'} (A) = 2 - \frac{128}{A ^{3}} = 0

, also

A^{3} = 64

A = 4

K = 4

C (4) = 8 + 4 = 12

€.

Erklärt in: [M5 mkk v1] Minimalkostenkombination

Berechne die Kosten der Mischung

(8 ∣ 2)

Lösung

8 + 4 \cdot 2 = 8 + 8 = 16

, also 16 €.

Ein Betrieb produziert nach der Produktionsfunktion

x = 2 \cdot A \cdot K

. Eine Arbeitsstunde kostet 1 €, eine Maschinenstunde 4 €. Der Betrieb will 16 Stück herstellen. a) Stellen Sie die Gleichung der Isoquante auf. b) Stellen Sie die Kostenfunktion in Abhängigkeit von

A

auf. c) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten. d) Geben Sie die Gleichung der Isokostengeraden für die minimalen Kosten an.

Lösung

2 \cdot A \cdot K = 16

, durch 2:

A \cdot K = 8

, quadrieren:

A \cdot K = 64

, also

K = \frac{64}{A}

. b)

C (A) = A + 4 \cdot \frac{64}{A} = A + \frac{256}{A}

. c)

C^{'} (A) = 1 - \frac{256}{A ^{2}} = 0

A^{2} = 256

A = 16

;

C^{''} (A) = \frac{512}{A ^{3}} > 0

, Tiefpunkt;

K = \frac{64}{16} = 4

;

C (16) = 16 + 16 = 32

. Minimalkostenkombination: 16 Arbeitsstunden und 4 Maschinenstunden, minimale Kosten 32 €. d)

A + 4 K = 32

, also

K = 8 - \frac{1}{4} A

; sie berührt die Isoquante in

(16 ∣ 4)

Für die Produktion einer Menge gilt

A \cdot K = 25

. Eine Arbeitsstunde kostet 1 €, eine Maschinenstunde 4 €. Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

K = \frac{25}{A}

C (A) = A + \frac{100}{A}

C^{'} (A) = 1 - \frac{100}{A ^{2}} = 0

, also

A = 10

K = 2, 5

C (10) = 10 + 10 = 20

€.

Wie im Beispiel gilt

A \cdot K = 16

, und eine Arbeitsstunde kostet 1 €. Die Maschinenstunde wird teurer und kostet jetzt 9 €. Bestimmen Sie die neue Minimalkostenkombination. Setzt der Betrieb mehr oder weniger Kapital ein als vorher?

Lösung

C (A) = A + \frac{144}{A}

C^{'} (A) = 1 - \frac{144}{A ^{2}} = 0

A = 12

K = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}

C = 12 + 12 = 24

€. Vorher

K = 2

, jetzt weniger Kapital und mehr Arbeit.

Ein Betrieb produziert nach

x = A \cdot K

. Eine Arbeitsstunde kostet 1 €, eine Maschinenstunde 9 €. Er will 3 Stück herstellen. Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

A \cdot K = 9

K = \frac{9}{A}

C (A) = A + \frac{81}{A}

C^{'} (A) = 1 - \frac{81}{A ^{2}} = 0

A = 9

K = 1

C = 9 + 9 = 18

€.